265
Matematika
Telah kita temukan konsep dan aturan yang berlaku pada persamaan dan fungsi kuadrat. Beberapa hal yang penting sebagai pegangan kita untuk mendalami dan
melanjutkan materi pada bahasan berikutnya, dapat dirangkum sebagai berikut. 1. Bentuk umum Persamaan kuadrat adalah
ax
2
+ bx + c = 0, dengan a, b, c ∈ R dan a
≠ 0. 2. Untuk menentukan akar-akar suatu persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan
cara berikut. Memfaktorkan.
Melengkapkan Bentuk Kuadrat Sempurna. Menggunakan Rumus abc.
Rumus untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat atau sering disebut dengan
Rumus abc adalah sebagai berikut.
WA
≠ 0
Rumus abc adalah sebagai ber
a ac
b b
x 2
4
2 2
, 1
Jumlah dan Hasil Kali Akar-Ak
b
3. Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat
Akar-akar persamaan kuadrat ax
2
+ bx + c = 0, berhubungan erat dengan koeisien-
koeisien a, b, dan c. Jika x
1
dan x
2
merupakan akar-akar persamaan kuadrat, maka berlaku.
SWA
≠ 0
ku. a
b x
x
2 1
≠ 0
b
a c
x x
2 1
.
dan 4. Bentuk persamaan kuadrat dengan akar-akar x
1
dan x
2
adalah x - x
1
x – x
2
= 0 5. Karakteristik Graik Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat memiliki bentuk umum dengan a, b, c ∈ R dan a
≠ 0. Dari bentuk aljabar tersebut, graik fungsi kuadrat dapat diilustrasikan sebagi bentuk
lintasan lengkung atau parabola dengan karakteristik sebagai berikut. a. Jika
a 0, maka parabola terbuka ke atas. b. Jika
a 0, maka parabola terbuka ke bawah. c. Jika
D 0, maka parabola tidak memotong maupun menyinggung sumbu x. d. Jika
D = 0, maka parabola menyinggung sumbu x. e. Jika
D 0, maka parabola memotong sumbu x di dua titik.
D. PENUTUP
266 266
Buku Guru Kelas X
6. Langkah-langkah yang diperlukan untuk membuat sketsa graik fungsi kuadrat y = ax
2
+ bx adalah sebagai berikut a.
Menentukan titik potong dengan sumbu x, diperoleh jika y = 0. b.
Menentukan titik potong dengan sumbu y, diperoleh jika x = 0. c.
Menentukan persamaan sumbu simetri 2
= − b
x a
. d. Menentukan nilai ekstrim graik
4 =
− D
y a
. e. Koordinat titik balik sebuah graik fungsi kuadrat adalah
, 2
4
−
b D
a a
. Kita telah menemukan berbagai konsep dan sifat-sifat yang berlaku pada
persamaan dan fungsi kuadrat. Demikian juga, kita telah terapkan dalam berbagai pemecahan masalah nyata. Selanjutnya akan kita bahas tentang geometri terkait
kedudukan titik, garis, sudut, dan bidang pada bidang datar dan ruang dimensi tiga. Penguasaan kamu pada materi pada setiap bahasan akan bermanfaat dalam mendalami
materi selanjutnya.
Kompetensi Dasar Pengalaman Belajar
Kompetensi Dasar Pengalaman Belajar
A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR
Setelah mengikuti pembelajaran ini siswa mampu: 1. menghayati pola hidup disiplin, kritis,
bertanggungjawab, konsisten dan jujur serta menerapkannya dalam kehidupan sehari-hari;
2. menghayati kesadaran hak dan kewajiban serta toleransi terhadap berbagai perbedaan di
dalam masyarakat majemuk sebagai gambaran menerapkan nilai-nilai matematis;
3. menghayati rasa percaya diri, motivasi internal dan sikap peduli lingkungan melalui kegiatan
kemanusiaan dan bisnis dan dalam kehidupan sehari-hari;
4. memahami konsep perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku melalui penyelidikan dan
diskusi tentang hubungan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian dalam beberapa segitiga siku-
siku sebangun; 5. menemukan sifat-sifat dan hubungan antar
perbandingan trigonometri dalam segitiga siku- siku;
6. memahami dan menentukan hubungan perbandingan trigonometri dari sudut di setiap
kuadran, memilih dan menerapkan dalam penyelesaian masalah nyata dan matematika.
7. memahami konsep fungsi Trigonometri dan menganalisis graik fungsinya serta menentukan
hubungan nilai fungsi Trigonometri sudut-sudut istimewa.
Melalui pembelajaran materi trigonometri, siswa memperoleh pengalaman belajar:
•
menemukan konsep perbandingan trigonometri melalui pemecahan masalah otentik;
•
berkolaborasi memecahkan masalah aktual dengan pola interaksi sosial kultur;
•
berpikir tingkat tinggi berpikir kritis dan kreatif dalam menyelidiki dan mengaplikasikan
konsep trigonometri dalam memecahkan masalah otentik.
Trigonometri
Bab
• Sudut • Derajat
• Radian • Kuadran
• Perbandingan Sudut Sinus,Cosinus, tangen,
cotangen, cosecan, dan secan
• Identitas trigonometri
268 268
Buku Guru Kelas X
B. PETA KONSEP
Segitiga Siku-siku
Segitiga
Segitiga Siku-siku
Perbandingan Sisi-sisi dalam Segitiga
Materi Prasayarat
Masalah Otentik
sec α
cos α
cosec α
tan α
tan α
sin α
cot α
269
Matematika
C. MATERI PEMBELAJARAN
Sebelum memahami menemukan konsep dasar sudut, terlebih dahulu perkenalkan kepada siswa tentang ukuran sudut dalam derajat dan radian, ajukan pada siswa
Gambar 8.1. Biarkan siswa lebih dahulu memahami besarnya rotasi. Berikan pemahaman kepada siswa tentang ukuran sudut dalam derajat dan
radian Ajak siswa untuk mencermati Gambar 8.1
1. Ukuran Sudut Derajat dan Radian
Pada umumnya, ada dua ukuran yang digunakan untuk menentukan besar suatu sudut, yaitu derajat dan radian. Tanda “
O
” dan “rad” berturut-turut menyatakan simbol derajat dan radian. Singkatnya, putaran penuh = 360
O
, atau 1
O
didefenisikan sebagai besarnya sudut yang dibentuk oleh
1 360
kali putaran penuh. Cermati gambar berikut ini
1 360
putaran 1
4 putaran
putaran 1
2 an
putaran 1 putaran
Gambar 8.1 Deskripsi besar rotasi
Tentunya, dari Gambar 8.1, kamu dapat mendeskripsikan untuk beberapa satuan putaran yang lain. Sebelum kita memahami hubungan “derajat dengan radian”, mari
kita pelajari teori mengenai radian. Satu radian diartikan sebagai ukuran sudut pusat α yang
panjang busurnya sama dengan jari-jari, perhatikan Gambar 8.2.
Jika besar ∠ =
= =
AOB AB
OA OB
α , ,
maka α = AB
r = 1
radian. Jika panjang busur tidak
sama dengan r, maka cara menentukan besar sudut tersebut dalam satuan radian
diselesaikan menggunakan rumus perbandingan:
Gambar 8.2 Ukuran radian
Besar ∠ =
AOB AB
r rad
Deinisi 8.1
270 270
Buku Guru Kelas X
Lebih lanjut, hubungan satuan derajat dengan satuan radian, bahwa 1 putaran penuh sama dengan 2π rad. Seperti dinyatakan dalam deinisi berikut.
Deinisi 8.2
360
O
= 2 � rad atau 1
O
= ≠
180 rad atau 1 rad = 57,3
O
Perhatikan hubungan secara aljabar antara derajat dengan radian berikut ini.
Deinisi 8.3
1. ≠
1 3
1 4
putaran = ≠
1 3
1 4
× 360
O
= 90
O
⇔ 90
O
= 90 ×
≠ 180
rad = ≠
180 1
2 3 � rad.
2. ≠
1 2
1 3
putaran = ≠
1 2
1 3
× 360
O
= 120
O
⇔ 120
O
= 120 ×
≠ 180
rad = ≠
1 4
2 3
� rad. 3.
≠ 180
1 2
putaran = ≠
180 1
2 × 360
O
= 180
O
⇔ 180
O
= 180 ×
≠ 180
rad = � rad. 4.
≠ 1
4 2
3 putaran =
≠ 1
4 2
3 × 360
O
= 240
O
⇔ 240
O
= 240 ×
≠ 180
rad = ≠
3 2
4 3
� rad. 5.
≠ 2
3 3
4 putaran =
≠ 2
3 3
4 × 360
O
= 270
O
⇔ 270
O
= 270 ×
≠ 180
rad = ≠
3 4
3 2
� rad.
♦ Minta siswa untuk memahami contoh 1.
Contoh 8.1
Perhatikan jenis ukuran sudut berikut ini, dan ubahlah. 1.
1 5
π rad = ... putaran = ...° 2
1 5
1 6
putaran = ... rad = ...°
3. 135° = ... rad = ... putaran 4. Sudut yang dibentuk jarum jam, saat pukul 14.40, sama dengan berapa radian?.
5. Jika suatu alat pemancar berputar 60 putaran dalam setiap menit, berapa besar putaran dalam derajat per detik? Berapa putaran dalam radian per detik?
271
Matematika
Penyelesaian 1. 1 putaran = 360° = 2π rad. Jadi,
1 6
1 2
putaran = π rad. Oleh karena itu, 1
5 π rad =
1 5
× 1
6 1
2 putaran =
1 10
putaran = 1
10 ×
360° = 36°. 2. Karena 1 putaran = 2π rad,
1 5
1 6
putaran = 1
5 1
6 ×
2π rad = 1
2 1
3 π rad =
1 2
1 3
π × 180
O
≠ = 60°.
3. 135° = 135° × ≠
180 rad =
2 3
3 4
π rad = 2
3 3
4 ×
1 6
1 2
putaran =
1 6
2 5
3 10
putaran. 4. Sudut yang terbentuk pada pukul 11.55 adalah 30°, 30° = 30° ×
≠ 180
rad = 1
5 1
6 π rad.
5. Jika setiap menit, alat tersebut melakukan rotasi sebanyak 60 putaran, artinya dalam 1 detik.
Pemancar berputar sebanyak 1 putaran. Karena 1 putaran penuh = 360°, jadi pemacar tersebut berputar sebesar 360°detik. Selanjutnya, 360° = 2π rad, artinya
pemancar tersebut berputar sebesar 2π raddetik. 360°, pertama sekali diperkenalkan oleh bangsa Babilonia.
Hitungan satu tahun pada kalender Babilonia, yaitu sebanyak 365 hari. Dalam kajian geometris, sudut dideinisikan sebagai hasil rotasi dari sisi awal
initial side ke sisi akhir terminal side. Selain itu, arah putaran memiliki makna
dalam sudut. Suatu sudut bertanda “positif” jika arah putarannya berlawanan dengan arah putaran jarum jam, dan bertanda “negatif” jika arah putarannya searah dengan
jarum jam. Arah putaran sudut juga dapat diperhatikan pada posisi sisi akhir terhadap sisi awal. Untuk memudahkannya, mari kita cermati deskripsi berikut ini.
Sisi awal Sisi akhir
Sisi akhir Sisi awal
a. Sudut bertanda positif
Gambar 8.3 Sudut berdasarkan arah putaran
b. Sudut bertanda negatif
