Sifat-sifat Pangkat Bulat Positif
12 12
Buku Guru Kelas X
Latihan 1.2
Buktikan sendiri untuk m n. Jelaskan perbedaan hasilnya dengan kasus a.
Sifat-3
Jika a bilangan real dan a ≠ 0, m dan n adalah bilangan bulat positif, maka
a
m n
= a
mn
Bukti: a
a a
a a
m n
m m
m m
n faktor
= ×
× × ×
...
= a a a
a a a a
a
m faktor m faktor
× × × ×
× × × × ...
...
× × × ×
× × × ×
a a a a
a a a a
m faktor m f
... ...
...
a aktor
n faktor
= a a a a
m n faktor
× × × ×
×
... a
a
m n
m n
=
×
terbukti
Misalkan a bilangan real dan a
≠ 0, m bilangan bulat positif.
a
m 1
= p adalah
bilangan real positif, sehingga p
m
= a.
Deinisi 1.4
Diskusi
Minta siswa berdiskusi dengan temannya satu kelompok, apakah syarat m dan
n bilangan positif diperlukan untuk Sifat 3 dan Sifat 4. Bagaimana jika m dan n adalah salah satu atau keduanya bilangan negatif.
13
Matematika
Contoh 1.2
a Buktikan jika a ∈ R,
a 1
dan
n m
, ma
maka
a a
n m
, maka
Bukti: Karena
a 1
dan
n m
, ma
maka n – m 0 dan a
n
0, a
m
0. Akibatnya, berlaku ⇔
a a
a
n m
n m
=
−
Lihat Sifat-1 di atas
⇔ a
a
n m
= 1
1 Mengapa
a a
n m
n
1
? Beri alasanmu ⇔
a a
a a
n m
m m
× ×
1 1
Karena
a
n m
, ,
.
⇔
a a
n m
, maka
terbukti b Perlukah syarat a 1?
Misalkan kita ambil a bilangan real yang memenuhi
a 1
dan
n m
, ma
. Apakah yang terjadi?
Pilih a = –2, dengan
n m
, ma
, pilih n = 3 dan m = 2, apakah yang terjadi? –2
3
= –2 × –2 × –2 = –8 –2
2
= –2 × –2 = 4 Dengan demikian, a
n
= –8 4 = a
m
atau
a a
n m
. Jadi, tidak benar bahwa
a a
n m
, maka
bila
a 1
dan
n m
, ma
. Jadi, syarat a adalah bilangan real, dan
a 1
dan
n m
, ma
tidak boleh dikurangi syarat cukup untuk membuktikan
a a
n m
, maka
.
Diskusi
Berdiskusilah dengan temanmu satu kelompok. Analisis pernyataan pada Contoh 1.2
• Apa akibatnya bila syarat a 1 tidak dipenuhi? • Perlukah diperkuat dengan syarat n m
, ma
0? Jelaskan • Bolehkah syarat a 1 di atas diganti a ≥ 1? Jelaskan
• Bila tidak boleh, modiikasi ketentuan di atas supaya berlaku untuk a ≥ 1?. Bagaimanakah bila 0
1 a
dan a 0?
• Buat aturan hubungan antara a
n
dan a
m
untuk bermacam-macam nilai a di atas
• Buat laporan terkait hasil diskusi kelompokmu.
14 14
Buku Guru Kelas X
Contoh 1.3
Terapkan berbagai sifat eksponen untuk menentukan hasil operasi bilangan pada soal yang disajikan pada contoh. Ujilah kebenaran hasilnya
1. 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2 5
2 5
× =
× × × × × ×
faktor faktor
= × × × × × × =
=
+
2 2
2 2
2 2
2 2
2
7 7
2 5 faktor
2.
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
5 5
= × × × ×
× × × ×
= =
1 2
3.
2 2
2
3 2
3 3
= ×
= × ×
× × ×
= × × × × × 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3
6 faktor
faktor fakto
rr
= 2
6
4. 2
3 2
3 2
3 2
3
3
× =
× ×
× ×
× = × × × × ×
= ×
2 2 2 3 3 3 2
3
3 3
3 3
faktor faktor
5. 2
3 2
3 2
3 2
3
3
=
×
×
= × ×
× ×
= 2 2 2
3 3 3 2
3
3
3 3
3 faktor
faktor
dengan menggunakan Sifat-3 dengan menggunakan Sifat-1
dengan menggunakan Sifat-2 kasus b
dengan menggunakan Deinisi 1.1
dengan menggunakan Deinisi 1.1
15
Matematika
Diskusi
• Arahkan siswa berdiskusi dengan temannya untuk memperoleh rumus perpangkatan sebagai hasil pemahaman terhadap Contoh 1.4 dan Contoh 1.5
di atas. Masih ingatkah kamu, disebut sifat apakah dalam konsep perkalian? • Minta siswa membuat laporan hasil diskusi kelompoknya.
Contoh 1.4
Buktikan jika a 1 dan n m dengan n dan m bilangan bulat negatif maka a
n
a
m
. Bukti:
Karena n m dengan n dan m bilangan bulat negatif, maka –n dan –m adalah bilangan bulat positif dan –m –n.
Karena a 1 maka a
a a
a
m n
n m
− −
= 1 Gunakan sifat
1 1
a a
m m
−
= atau
. a
a
n m
1 ⇔ a
n
a
m
terbukti
Contoh 1.5
Berdasarkan sifat bilangan 7, tentukan bilangan satuan dari 7
1234
tanpa menghitung tuntas. Perhatikan bilangan satuan dari perpangkatan dari 7 berikut?
Perpangkatan 7 Nilai
Bilangan Satuan
7
1
7 7
7
2
49 9
7
3
343 3
7
4
2401 1
7
5
16807 7
7
6
117649 9
7
7
823543 3
7
8
5764801 1
♦ Minta siswa melanjutkan langkah berikutnya untuk menemukan satuan dari 71234. Cermati sifat satuan pada tabel di atas, saat periode keberapa berulang. Selanjutnya
manfaatkan sifat-sifat perpangkatan dan perkalian dari bilangan berpangkat.
16 16
Buku Guru Kelas X
Bilangan tersebut mempunyai bilangan satuan yang berulang untuk periode 4 sehingga, kita dapat operasikan:
7
1234
= 7
4 × 308 + 2
. Dengan menggunakan sifat eksponen, maka kita peroleh:
7
1234
= 7
4 x 308
× 7
2
Ingat: a
m+n
= a
m
x a
n
7
1234
= 7
4 308
× 7
2
Ingat: a
m ×n
= a
m n
= a
n m
7
1234
= 7
4 308
× 7
2
sehingga satuan dari [7
1234
] = satuan dari [7
4 308
× 7
2
] Satuan dari [7
1234
] = satuan dari [1
308
] × satuan dari [7
2
] Satuan dari [7
1234
] = 1 × 9
Satuan dari [7
1234
] = 9 Jadi, angka terakhir dari 71234 adalah 9.
Demikian juga bila 7 diganti dengan angka yang lain [1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9]