Graik Fungsi Kuadrat 10 MATEMATIKA BUKU SISWA

258 258 Buku Guru Kelas X • Meminta siswa mencerminkan graik fungsi kuadrat  drat y = fx =  4 20 x 2 , x  R da       –        terhadap Sumbu-x dan menyelidiki sifat-sifat graik fungsi kuadrat yang ditemukan. Diharapkan siswa melakukan hal berikut. Kita cerminkan graik fungsi kuadrat  drat y = fx =  4 20 x 2 , x  R da       –        ’ ’ terhadap Sumbu-x atau garis y = 0. Dengan mengingat kembali sifat-sifat pencerminan bahwa arah benda dengan bayangannya selalu berlawanan arah. Sehingga nilai fungsi kuadrat  drat y = fx =  4 20 x 2 , x  R da       –        ’ ’ ’ berubah dari bernilai positif menjadi negatif. Perubahan tersebut diikuti perubahan fungsinya dari  drat y = fx =  4 20 x 2 , x  R da       –         ’ ’ ’ ’ menjadi y = fx = –  =  4 20 x 2 , x  R da       –         ’ ’ ’ ’ . Secara lengkap bayangan graik persamaan fungsi kuadrat y = fx setelah dicerminkan terhadap Sumbu-x adalah sebagai berikut. Ciri-ciri fungsi kuadrat R dan parabola hasil pencer- minan terhadap sumbu-x Gambar-7.14 adalah sebagai berikut. • Koeisien x 2 adalah a = – • Kurva terbuka ke bawah • Memiliki titik puncak titik balik maksimum di titik O0, 0                lah a = -  4 20     –  ’ ’ ’ ’     258           njadi y = fx = -  4 20 x 2 , x          –  1 2 3 4 5 6 10 20 30 40 50 60 70 2 -1 ’ ’ ’ ’     10 -1 1 2 3 4 5 6 -2 -3 -4 -5 -6 20 30 40 50 60 257                     –  1 2 3 4 5 6 10 20 30 40 50 60 70 2 -1 D ’ ’ ’ ’   fx =  4 20 x 2 , x  R 257                     –  ’ ’ ’ ’ fx = -  4 20 x 2 , x  R   259 Matematika • Memiliki sumbu simetri yang membagi dua daerah kurva sama besar, yaitu garis y = 0 dan nilai minimum f0 = 0 • Nilai diskriminan, D = b 2 – 4ac = 0 • Kurva menyinggung Sumbu x pada titik O0, 0 ♦ Meminta siswa menyimpulkan hasil pencerminan graik fungsi kuadrat di atas. Disimpulkan Misalkan gx = ax 2 , x ∈ R, jika dicerminkan terhadap Sumbu-x maka diperoleh gx = -ax 2 , x ∈ R dengan sumbu simetri adalah Sumbu-y dan memiliki titik puncak O 0, 0. ♦ Mengajak siswa menemukan persamaan garis simetri dan titik puncak graik fungsi kuadrat dengan mengajukan Masalah-7.12 berikut. Masalah-7.8 Diberikan fungsi kuadrat fx = ax 2 + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0. a. Temukan persamaan garis simetri sumbu simetri dan titik puncak graik fungsi kuadrat tersebut. b. Temukan graik fungsi kuadrat fx = ax 2 + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0 dari graik fungsi kuadrat gx = ax 2 , x ∈ R, a ≠ 0. c. Temukan titik potong graik dengan sumbu x dan sumbu y. d. Temukan sifat-sifat graik fungsi kuadrat fx = ax 2 + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0 terkait nilai koeisien a dan titik puncak parabola. ♦ Diharapkan siswa melakukan hal berikut. Alternatif Penyelesaian Berdasar Deinisi 7.2, bentuk umum fungsi kuadrat adalah fx = ax 2 + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0. f x ax bx c a f x a x b a x c a a , , = + + ≠ ⇒ = + +       ≠ 2 2 260 260 Buku Guru Kelas X ⇒ = + + − +       ≠ ⇒ = +       f x a x b a x b a b a c a a f x a x b a , 2 2 2 2 2 2 4 4 2 − − −       ≠ b ac a a 2 2 4 4 , ⇒ = +       − −       f x a x b a b ac a 2 2 2 4 4 , a a f x a x b a D a a ≠ ⇒ = − −       − −       ≠ 2 4 2 , Misalkan gx = ax 2 , x ∈ R, a ≠ 0 f x a x b a D a a g x ax x R , , = − −             + −       ≠ = ∈ 2 4 2 2 dan      ⇒ = − −             + −       f x g x b a D a 2 4 Graik fungsi f x g x b a D a = − −             + −       2 4 adalah graik fungsi kuadrat gx = ax 2 , x ∈ R, yang digeser sejauh g x b a = − −       2 4 satuan kearah Sumbu-x dan digeser sejauh D a + −       2 4 satuan ke arah Sumbu-y. • Meminta salah satu kelompok mendemonstrasikan di papan tulis, pergeseran graik persamaan fungsi kuadrat gx = ax 2 , x ∈ R, a ≠ 0 menjadi graik persamaan fungsi kuadrat f x g x b a D a = − −             + −       2 4 dan menyimpulkan arah pergeseran. Diharapkan siswa menyimpulkan hal berikut. Sesuai dengan sifat transformasi geser diperoleh arah pergeseran sebagai berikut. a. Graik persamaan fungsi gx = ax 2 , x ∈ R digeser dalam arah Sumbu-x positif untuk mendapatkan graik persamaan fungsi f x g x b a D a = − −             + −       2 4 jika dan hanya jika ab 0 a dan b berlawanan tanda. b. Graik persamaan fungsi gx = ax 2 , x ∈ R digeser dalam arah Sumbu-x negatif untuk mendapatkan graik persamaan fungsi f x g x b a D a = − −             + −       2 4 jika dan hanya jika ab 0 a dan b bertanda sama. 261 Matematika c. Graik persamaan fungsi gx = ax 2 , x ∈ R digeser dalam arah Sumbu-y positif untuk mendapatkan graik persamaan fungsi f x g x b a D a = − −             + −       2 4 jika dan hanya jika D a −    2 4 0 a dan b berlawanan tanda. d. Graik gx = ax 2 , x ∈ R digeser dalam arah Sumbu-y negatif untuk mendapatkan graik fungsi f x g x b a D a = − −             + −       2 4 jika dan hanya jika D a −    2 4 0 a dan b bertanda sama. Meminta siswa menyimpulkan aturan menentukan persamaan garis sumbu simetri dan titik puncak graik fungsi kuadrat. Diharapkan siswa menyimpulkan sebagai berikut. ♦ Meminta siswa menyimpulkan aturan menentukan persamaan garis sumbu simetri dan titik puncak graik fungsi kuadrat. Diharapkan siswa menyimpulkan sebagai berikut. Sifat-4 Graik fungsi kuadrat fx = ax 2 + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0, memiliki a. Persamaan sumbu simetri x = 2 −b a dan b. Titik puncak , . 2 4 − − b D P a a • Dari beberapa sajian graik persamaan fungsi kuadrat sebelumnya turunkan sifat- sifat graik persamaan fungsi kuadrat dan menyajikan beberapa kemungkinan kondisi graik tersebut terkait dengan koeisien x 2 , nilai diskriminan dan nilai fungsi tersebut. Dari fungsi kuadrat f x a x b a D a = − −             + −       2 4 2 , dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0, dapat diturunkan beberapa sifat. 262 262 Buku Guru Kelas X Pada gambar berikut diperlihatkan berbagai kemungkinan letak parabola terhadap Sumbu-x. Sifat-7 Graik persamaan fungsi kuadrat fx = ax 2 + bx + c, dengan a, b, c bilangan real dan a ≠ 0. Misal D = b 2 – 4ac D adalah diskriminan a. Jika D 0 maka graik y = fx memotong Sumbu-x pada dua titik berbeda b. Jika D = 0 maka graik y = fx menyinggung Sumbu-x pada satu titik c. Jika D 0 maka graik y = fx tidak memotong Sumbu-x Sifat-5 Jika a 0, maka graik persamaan fungsi kuadrat fx = ax 2 + bx + c, dengan a, b, dan c bilangan real a ≠ 0 terbuka ke atas dan memiliki titik balik minimum ≠ 0, dapat diturunkan beberapa sifat   um P a b 2  , a D 4  .   b  D  ≠ 0. Misal – Sifat-6 Jika a 0, maka graik persamaan fungsi kuadrat fx = ax 2 + bx + c, dengan a, b, dan c bilangan real a ≠ 0 terbuka ke bawah dan memiliki titik balik maksimum , . 2 4 − − b D P a a 263 Matematika

3. Hubungan Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat

♦ Meminta siswa mencermati kembali Deinisi-1 dan Deinisi-2, dan menemukan keterkaitan kedua konsep, serta menyatakan konsep yang satu dari konsep yang lain. Kita cermati konsep persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat sebagai berikut. • Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan aljabar yang dinyatakan dalam bentuk ax 2 + bx + c = 0, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0. • Fungsi kuadrat adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk fx = ax 2 + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0. Berdasarkan kedua konsep di atas jelas kelihatan bahwa pembuat nol fungsi kuadrat y = fx = ax 2 + bx + c, adalah nilai x yang jika disubtitusikan ke persamaan fungsi kuadrat tersebut mengakibatkan ax 2 + bx + c = 0. Nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 inilah yang menjadikan fx = 0 dan titik x 1 , 0 dan x 2 , 0 adalah titik-titik potong kurva fungsi kuadrat tersebut terhadap sumbu-x. Jadi persamaan kuadrat dapat diperoleh dari fungsi kuadrat dengan mengganti nilai fungsi f dengan suatu bilangan real. Sifat-8 Jika sebuah fungsi kuadrat diberi nilai k, dengan k ∈ R maka diperoleh sebuah persamaan kuadrat. 264 264 Buku Guru Kelas X 1. Sebuah fungsi kuadrat mempunyai nilai maksimum -3 pada saat x = 2, sedangkan untuk x = - 2 fungsi bernilai -11. Tentukan fungsi kuadrat tersebut 2. Tentukan luas minimum segi empat EFGH di bawah ini 3. Temukan graik fungsi kuadrat fx = 4x 2 – 8x + 3 dari graik fungsi kuadrat gx = 4x 2 Uji Kompetensi 7.4 4. Persegi ABCD dengan panjang sisinya a cm. Pada sisi AB diberi titik E dengan panjang AE adalah x cm. Diantara sisi BC diberi titik F dengan panjang BF = AE. Panjang EB = FC. Tentukan luas minimum DEF 5. Daerah asal fungsi kuadrat fx = -2x 2 + 4x + 3 adalah himpunan A = {x |-2 ≤ x ≤ 3, x ∈ R . Tentukan daerah hasil fungsi f 6. Gambarkanlah graik fungsi kuadrat di bawah ini.untuk setiap x bilangan real a. fx = 3x 2 +5x-4, x ∈ R. b. fx =-2x 2 –3x+7, x ∈ R. Projek Rancanglah masalah nyata yang melibatkan graik fungsi kuadrat pada bidang teknik bangunan dan isika. Buatlah pemecahan masalah tersebut dengan menerapkan berbagai sifat graik fungsi kuadrat yang telah kamu pelajari. Buat laporan hasil kerjamu dan sajikan di depan kelas. 265 Matematika Telah kita temukan konsep dan aturan yang berlaku pada persamaan dan fungsi kuadrat. Beberapa hal yang penting sebagai pegangan kita untuk mendalami dan melanjutkan materi pada bahasan berikutnya, dapat dirangkum sebagai berikut. 1. Bentuk umum Persamaan kuadrat adalah ax 2 + bx + c = 0, dengan a, b, c ∈ R dan a ≠ 0. 2. Untuk menentukan akar-akar suatu persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan cara berikut. Memfaktorkan. Melengkapkan Bentuk Kuadrat Sempurna. Menggunakan Rumus abc. Rumus untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat atau sering disebut dengan Rumus abc adalah sebagai berikut. WA     ≠ 0 Rumus abc adalah sebagai ber a ac b b x 2 4 2 2 , 1     Jumlah dan Hasil Kali Akar-Ak b     3. Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat Akar-akar persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0, berhubungan erat dengan koeisien- koeisien a, b, dan c. Jika x 1 dan x 2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat, maka berlaku. SWA     ≠ 0     ku. a b x x    2 1      ≠ 0     b    a c x x  2 1 . dan 4. Bentuk persamaan kuadrat dengan akar-akar x 1 dan x 2 adalah x - x 1 x – x 2 = 0 5. Karakteristik Graik Fungsi Kuadrat Fungsi kuadrat memiliki bentuk umum dengan a, b, c ∈ R dan a ≠ 0. Dari bentuk aljabar tersebut, graik fungsi kuadrat dapat diilustrasikan sebagi bentuk lintasan lengkung atau parabola dengan karakteristik sebagai berikut. a. Jika a 0, maka parabola terbuka ke atas. b. Jika a 0, maka parabola terbuka ke bawah. c. Jika D 0, maka parabola tidak memotong maupun menyinggung sumbu x. d. Jika D = 0, maka parabola menyinggung sumbu x. e. Jika D 0, maka parabola memotong sumbu x di dua titik.

D. PENUTUP