Persamaan Gelombang Air Dangkal
permasalahan sehingga mempermudah dalam perhitungan. persamaan gelombang air dangkal dimensi satu sangat relevan untuk menentukan aliran sungai.
Diberikan persamaan gelombang air dangkal sebagai berikut
{
ℎ + ℎ
�
+ ℎ
�
= , + ℎ
�
+
�
= −�
�
, 3.1
di sini fungsi ℎ �, adalah kedalaman atau ketinggian air, fungsi �, adalah
kecepatan aliran air, � � adalah topografi, t adalah variabel waktu dan x adalah
variabel ruang. Diasumsikan kondisi awal dari persamaan 3.1 sebagai berikut
ℎ �, = +
exp −� + exp −� , �,
= ℎ �, ,� � = − exp −�
+ exp −� .
3.2 Dari persamaan 3.2 berarti permukaan air mendatar secara horisontal memiliki
persamaan ℎ �,
+ � � = , dan debit air selalu konstan dimanapun memiliki persamaan
�, . ℎ �, = .
Dengan menggunakan metode iterasi variasional, dapat dibentuk suatu fungsi koreksi dari sistem persamaan 3.1 sebagai berikut
ℎ
�+
�, = ℎ
�
�, + ∫ � � ℎ
�
+ ũ
�
ℎ
��
+ ℎ
�
ũ
��
��, 3.3
�+
�, =
�
�, + ∫ � �
�
+ ℎ
��
+
�
ũ
��
− �
′
� ��, 3.4
dimana � dan � adalah pengali Lagrange; ũ
��
dan ℎ̃
��
adalah variasi terbatas. Teknik integral parsial seperti pada persamaan 2.3 dan 2.4 sangat diperlukan
untuk memperoleh kondisi stasioner sebagai berikut �
′
� = , 3.5a
+ � � |
�=
= , 3.5b
dan
�
′
� = , 3.6a
+ � � |
�=
= , 3.6b
Persamaan 3.5a dan 3.6a adalah persamaan Euler-Lagrange. Persamaan 3.5b dan 3.6b adalah syarat batas. Dari syarat batas tersebut diperoleh nilai
pengali Lagrange � = � = − . Subtitusi nilai pengali Lagrange ke dalam fungsi
koreksi persamaan 3.3 dan 3.4 sehingga memberikan rumus iterasi variasional sebagai berikut
ℎ
�+
�, = ℎ
�
�, − ∫ ℎ
��
+
�
ℎ
��
+ ℎ
� ��
��, 3.7
�+
�, =
�
�, − ∫
�
+ ℎ
��
+
� ��
− �
′
� ��. 3.8
Dengan menggunakan rumus iterasi variasional 3.7 dan 3.8 dapat diperoleh nilai pendekatan pertama dan kedua dari solusi analitik berikut
ℎ �, = +
ex −� +ex −�
3.9 �, =
+
ex −� +ex −�
3.10 ℎ �, = ℎ �,
3.11
�, = − � ∗ exp −�
− exp − � − exp −� −
+ exp −� + exp −�
3.12
ℎ �, = − + exp −�
+ exp −� − exp − � ∗ �
− exp − � ∗ � − exp − � ∗ + exp −� ∗ � −
exp − � − exp − � ∗ −
exp − � − exp −� ∗ −
exp − � − exp −� −
3.13
�, = −
+ ex −�
− −
exp − � − exp − � ∗ � +
exp − � ∗ � +
exp − � ∗ � + exp − � ∗ � +
� ∗ exp − � ∗ + exp − � ∗ � +
exp − � ∗ � + exp − � ∗ � −
exp − � ∗ � + exp − � ∗ � +
exp − � ∗ � − exp − � ∗ � + � ∗ exp −� ∗ −
exp − � −
exp − � − exp − � ∗ � +
exp − � ∗ � − exp − � −
exp − � ∗ −
exp − � ∗ − exp − � ∗ −
exp − � ∗ −
exp − � − exp −� +
exp −� ∗ � +
exp −�
3.14
Berikut ini adalah grafik perilaku yang menggambarkan solusi iterasi variasional.
a ℎ �,
b �,
Gambar 3.1. Grafik hasil iterasi
ℎ �, dan �, pada persamaan gelombang
air dangkal. Grafik pada Gambar 3.1 diperoleh dengan bantuan Software Maple dimensi tiga.
Dari grafik tersebut dapat diamati bahwa jika variabel waktu semakin membesar, maka perilaku grafik menunjukkan tidak realistis secara fisik karena permukaan
air akan semakin menuju tak hingga. Oleh karena itu, saat waktu membesar solusi dari iterasi variasional tidak akurat. Agar solusi iterasi variasional lebih akurat
maka dibutuhkan iterasi yang lebih besar. Iterasi yang dihasilkan dari persamaan gelombang air dangkal akan konvergen menuju solusi eksak dengan waktu yang
sangat lambat. Dalam kasus ini, metode iterasi variasional hanya berlaku untuk variabel waktu yang kecil.