Diasumsikan kondisi awal dari persamaan 3.48 sebagai berikut � �,
= . sech . � dan �,
= . 3.49
Suatu fungsi koreksi dari sistem persamaan 3.48 dapat dibentuk menjadi �
�+
�, = �
�
�, + ∫ � � [
��
�
�,� ��
−
�ũ
�
�,� ��
] ��, 3.50
�+
�, =
�
�, + ∫ � � [
�
�
�,� ��
−
��̃
�
�,� ��
− �̃
�
�, �
��̃
�
�,� ��
] ��.
3.51 dimana
� dan � adalah pengali Lagrange; ̃
��
dan �̃
��
adalah variasi terbatas. Kondisi stasioner persamaan 3.50 dan 3.51 dapat diperoleh sebagai berikut
�
′
� = , 3.52a
+ � � |
�=
= , 3.52b
dan �
′
� = , 3.53a
+ � � |
�=
= , 3.53b
Persamaan 3.52a dan 3.53a adalah persamaan Euler-Lagrange. Persamaan 3.52b dan 3.53b merupakan syarat batas. Subtitusi nilai pengali
Lagrange ke dalam fungsi koreksi persamaan 3.50 dan 3.51 sehingga diperoleh rumus iterasi variasional sebagai berikut
�
�+
�, = �
�
�, − ∫ [
��
�
�,� ��
−
�
�
�,� ��
] ��, 3.54
�+
�, =
�
�, − ∫ [
�
�
�,� ��
−
��
�
�,� ��
− �
�
�, �
��
�
�,� ��
] ��.
3.55 Dengan menggunakan rumus iterasi variasional 3.54 dan 3.55 dapat
diperoleh nilai pendekatan pertama, kedua, dan ketiga dari solusi analitik berikut � �, = . sech
. � 3.56
�, = 3.57
� �, = . sech . �
3.58
�, = − . sech .
� tanh
. � − . sech . � tanh . �
3.59
� �, = .
c sh . � + c sh . � −
c sh . � − c sh . �
3.60
�, = − . sech .
� tanh
. � − . sech . � tanh . �
3.61
� �, = .
c sh . � + c sh . � −
c sh . � − c sh . �
3.62
�, = − .
cosh . � cosh . �
+ cosh . �
8
+ cosh . �
− cosh . �
8
− cosh . �
+ cosh . �
8
− cosh . �
+ cosh . � −
cosh . � +
cosh . � +
sinh . �
3.63
Berikut ini adalah grafik perilaku yang menggambarkan solusi iterasi variasional.
a � �, dimensi tiga b
�, dimensi tiga
c � �, dimensi dua d �, dimensi dua
Gambar 3.5. Grafik hasil iterasi
� �, dan �, pada persamaan gelombang
elastik. Grafik pada Gambar 3.5 diperoleh dengan bantuan Software Maple dimensi tiga.
Dari Grafik 3.5a dapat diamati bahwa regangan � mencapai titik maksimum di
0,1 saat � = . Jika waktu bertambah maka regangan akan semakin tinggi
merambat ke kiri dan kanan. Dari Grafik 3.5b menggambarkan bahwa saat kecepatan berkurang maka perambatan gelombang ke arah kiri dan pada saat
kecepatan bertambah maka perambatan gelombang ke arah kanan.
F. Persamaan Gelombang Akustik
Paparan pada bagian ini akan disajikan solusi iterasi pendekatan analitik dengan menggunakan metode iterasi variasional untuk persamaan gelombang
akustik. Referensi pada bagian ini dikaji ulang dari buku karangan Wazwaz 2009 dan artikel karangan LeVeque 2002.
Persamaan gelombang elastik adalah suatu pemodelan untuk perambatan gelombang. Persamaan gelombang elastik dapat disederhanakan menjadi
persamaan gelombang akustik dengan beberapa asumsi. Akustik termasuk
gelombang bunyi. Model dari persamaan gelombang akustik berupa perubahan tekanan dan kecepatan dari suatu sistem. Salah satu penerapan persamaan
gelombang akustik dalam kehidupan sehari-hari yang sering kita lakukan misalnya saat kita berbicara dalam satu ruangan yang sama, kita dapat
mendengarkan suara orang yang sedang berbicara merupakan suatu bentuk perambatan gelombang bunyi.
Persamaan yang akan digunakan untuk memodelkan masalah dalam bahasan penulisan ini adalah persamaan gelombang akustik dimensi satu bergantung pada
variabel ruang dan waktu. Persamaan gelombang akustik yang dibahas dalam penulisan ini adalah bentuk penyederhanaan dari artikel karya LeVeque 2002
dengan beberapa asumsi. Secara umum, persamaan gelombang akustik dimensi satu sebagai berikut
{
+ � �
�
= , � �
+
�
= , 3.64
di sini �, adalah tekanan, �, adalah kecepatan, � � adalah massa jenis
dan � � adalah koefisien dari satuan tegangan kelembaman. Diasumsikan
� � = dan � � = agar mempermudah perhitungan dan menjadi lebih sederhana sehingga menjadi bentuk berikut
{
+
�
= , +
�
= . 3.65
Diasumsikan kondisi awal dari persamaan 3.65 sebagai berikut �,
= . sech . � dan �,
= . 3.66
Fungsi koreksi dari sistem persamaan 3.65 dapat disusun dengan menggunakan langkah-langkah metode iterasi variasional diperoleh
�+
�, =
�
�, + ∫ � � [
�
�
�,� ��
+
�ũ
�
�,� ��
] ��, 3.67
�+
�, =
�
�, + ∫ � � [
�
�
�,� ��
+
� ̃
�
�,� ��
] ��. 3.68
dengan � dan � adalah pengali Lagrange; ̃
��
dan �̃
��
adalah variasi terbatas. Kondisi stasioner persamaan 3.67 dan 3.68 sebagai berikut
�
′
� = , 3.69a
+ � � |
�=
= , 3.69b
dan �
′
� = , 3.70a
+ � � |
�=
= , 3.70b
Persamaan 3.69a dan 3.70a adalah persamaan Euler-Lagrange. Persamaan 3.69b dan 3.70b termasuk ke dalam syarat batas. Sekarang,
subtitusi nilai pengali Lagrange ke dalam fungsi koreksi persamaan 3.67 dan 3.68 diperoleh rumus iterasi variasionalnya yaitu
�+
�, =
�
�, − ∫ [
�
�
�,� ��
+
�
�
�,� ��
] ��, 3.71
�+
�, =
�
�, − ∫ [
�
�
�,� ��
+
�
�
�,� ��
] ��. 3.72
Dengan menggunakan rumus iterasi variasional 3.71 dan 3.72 dapat diperoleh nilai pendekatan pertama, kedua, dan ketiga dari solusi analitik berikut
�, = . sech . �
3.73 �, =
3.74 �, = . sech
. � 3.75
�, = . sech . � tanh . � 3.76
�, = . sech . � − . − . sech . � tanh . � +
3.77