Analisis Konvergensi KONVERGENSI METODE ITERASI VARIASIONAL
Bukti.
Diambil sembarang solusi deret dari persamaan 4.11 yang konvergen, misalkan ∅
= ∑
∞ =
sehingga lim
→∞
= , 4.17
∑ [
+
− ]
=
=
+
− . 4.18
Persamaan 4.17 disubstitusikan ke persamaan 4.18 menjadi ∑ [
+
− ]
∞ =
= lim
→∞
− = − .
4.19 Operator
� merupakan turunan m terhadap t yang dilambangkan dengan � =
�
. Kedua ruas pada persamaan 4.19 diturunkan menggunakan operator L, maka
diperoleh ∑
�[
+
− ]
∞ =
= −�[ ] = . 4.20
Seperti yang telah didefinisikan pada persamaan 4.10, diperoleh persamaan sebagai berikut
�[
+
− ] = �[�[ + + + ] − �[ +
+ +
−
]] 4.21
ketika nilai dan menggunakan definisi dari persamaan 4.9 sehingga
diperoleh �[
+
− ] = � { [
− −
� −
−
�[ + + + ] −
�
�[ + + +
−
] + �[ + + + ] −
�[ + + +
−
]] �} , .
4.22
Operator L pada persamaan 4.22 merupakan turunan yang bergantung pada nilai m, sedangkan notasi integral pada ruas kanan persamaan 4.22 pun merupakan
integral yang bergantung pada nilai m. Oleh karena hal tersebut, maka ruas kiri pada persamaan 4.22 adalah turunan ke m dari integral m, diperoleh
�[
+
− ] = �[ ] + �[ + + + ] − �[ +
+ +
−
]
4.23 Bentuk berikut merupakan suatu bentuk berhingga dari suatu deret yang
konvergen ∑
�[
+
− ]
=
= �[ ] + �[ ] − +�[ ] + �[ + ] − �[ ]
+�[ ] + �[ + + ] − �[ + ]
+�[ ] + �[ + + ] − �[ + +
−
]. 4.24
Bentuk berikut merupakan bentuk tak berhingga dari suatu deret yang konvergen ∑
�[
+
− ]
∞ =
= �[∑
∞ =
] + �[∑
∞ =
] − .
4.25 Dari persamaan 4.20 dan 4.25 diperoleh bahwa deret
∅ = ∑
∞ =
merupakan solusi dari persamaan 4.1. Teorema 4.2 sudah terbukti. ∎
Teorema 4.3.
Diberikan solusi deret ∑
∞ =
yang konvergen ke solusi . Jika deret
terpotong ∑
=
digunakan sebagai pendekatan menuju solusi pada
persamaan 4.11 maka error maksimal �
diperkirakan seperti berikut �
− +
‖ ‖ 4.26
Bukti.
Bentuk pertidaksamaan dari persamaan 4.15 pada Teorema 4.1 yaitu
‖� − � ‖
−
−
− +
‖ ‖, .
4.27 Untuk nilai
→ ∞ maka � → , sehingga
‖ − ∑
=
‖
−
−
− +
‖ ‖. 4.28
Oleh karena maka nilai −
−
selalu positif, sehingga persamaan 4.28 menjadi
‖ − ∑
=
‖
− +
‖ ‖. 4.29
Persamaan 4.26 sudah terbukti maka Teorema 4.3 sudah terbukti. ∎
Kesimpulannya, Teorema 4.1 dan 4.2 menyatakan bahwa solusi iterasi variasional dari persamaan diferensial nonlinear pada persamaan 4.1 diperoleh
menggunakan rumus iterasi 4.8 dan 4.10 akan konvergen menuju solusi eksak dengan syarat
∃ seperti ‖�[ + + +
+
]‖ ‖�[ +
+ + ]‖‖
+
‖ ‖ ‖,∀ ∈ ℕ { }. Dengan kata lain, jika didefinisikan
untuk setiap ∈ ℕ { } untuk parameter berikut
= {
‖�
+
‖ ‖� ‖
, ‖ ‖ ≠ , ‖ ‖ =
4.30 maka solusi deret
∑
∞ =
akan konvergen menuju solusi eksak saat
, ∀ ∈ ℕ { }. Lebih lanjut lagi, seperti yang telah dinyatakan pada Teorema 4.3 bahwa maksimum dari nilai mutlak pemotongan errornya
diperkirakan seperti ‖
− ∑
=
‖
− +
‖ ‖ dimana nilai =
max { , = , , … , }.
Catatan
Ketika berhingga dengan = , , … , nilainya boleh lebih dari satu dan
untuk akan konvergen menuju solusi eksak. Dengan kata lain, beberapa
kondisi awal yang berhingga tidak mempengaruhi kekonvergenan dari solusi
deret sehingga ‖� − � ‖
−
−
− −
‖
+
‖ , 4.31
Pada kasus ini, kekonvergenan pendekatan metode iterasi variasional bergantung pada untuk
.