Analisis Konvergensi KONVERGENSI METODE ITERASI VARIASIONAL

Bukti. Diambil sembarang solusi deret dari persamaan 4.11 yang konvergen, misalkan ∅ = ∑ ∞ = sehingga lim →∞ = , 4.17 ∑ [ + − ] = = + − . 4.18 Persamaan 4.17 disubstitusikan ke persamaan 4.18 menjadi ∑ [ + − ] ∞ = = lim →∞ − = − . 4.19 Operator � merupakan turunan m terhadap t yang dilambangkan dengan � = � . Kedua ruas pada persamaan 4.19 diturunkan menggunakan operator L, maka diperoleh ∑ �[ + − ] ∞ = = −�[ ] = . 4.20 Seperti yang telah didefinisikan pada persamaan 4.10, diperoleh persamaan sebagai berikut �[ + − ] = �[�[ + + + ] − �[ + + + − ]] 4.21 ketika nilai dan menggunakan definisi dari persamaan 4.9 sehingga diperoleh �[ + − ] = � { [ − − � − − �[ + + + ] − � �[ + + + − ] + �[ + + + ] − �[ + + + − ]] �} , . 4.22 Operator L pada persamaan 4.22 merupakan turunan yang bergantung pada nilai m, sedangkan notasi integral pada ruas kanan persamaan 4.22 pun merupakan integral yang bergantung pada nilai m. Oleh karena hal tersebut, maka ruas kiri pada persamaan 4.22 adalah turunan ke m dari integral m, diperoleh �[ + − ] = �[ ] + �[ + + + ] − �[ + + + − ] 4.23 Bentuk berikut merupakan suatu bentuk berhingga dari suatu deret yang konvergen ∑ �[ + − ] = = �[ ] + �[ ] − +�[ ] + �[ + ] − �[ ] +�[ ] + �[ + + ] − �[ + ] +�[ ] + �[ + + ] − �[ + + − ]. 4.24 Bentuk berikut merupakan bentuk tak berhingga dari suatu deret yang konvergen ∑ �[ + − ] ∞ = = �[∑ ∞ = ] + �[∑ ∞ = ] − . 4.25 Dari persamaan 4.20 dan 4.25 diperoleh bahwa deret ∅ = ∑ ∞ = merupakan solusi dari persamaan 4.1. Teorema 4.2 sudah terbukti. ∎ Teorema 4.3. Diberikan solusi deret ∑ ∞ = yang konvergen ke solusi . Jika deret terpotong ∑ = digunakan sebagai pendekatan menuju solusi pada persamaan 4.11 maka error maksimal � diperkirakan seperti berikut � − + ‖ ‖ 4.26 Bukti. Bentuk pertidaksamaan dari persamaan 4.15 pada Teorema 4.1 yaitu ‖� − � ‖ − − − + ‖ ‖, . 4.27 Untuk nilai → ∞ maka � → , sehingga ‖ − ∑ = ‖ − − − + ‖ ‖. 4.28 Oleh karena maka nilai − − selalu positif, sehingga persamaan 4.28 menjadi ‖ − ∑ = ‖ − + ‖ ‖. 4.29 Persamaan 4.26 sudah terbukti maka Teorema 4.3 sudah terbukti. ∎ Kesimpulannya, Teorema 4.1 dan 4.2 menyatakan bahwa solusi iterasi variasional dari persamaan diferensial nonlinear pada persamaan 4.1 diperoleh menggunakan rumus iterasi 4.8 dan 4.10 akan konvergen menuju solusi eksak dengan syarat ∃ seperti ‖�[ + + + + ]‖ ‖�[ + + + ]‖‖ + ‖ ‖ ‖,∀ ∈ ℕ { }. Dengan kata lain, jika didefinisikan untuk setiap ∈ ℕ { } untuk parameter berikut = { ‖� + ‖ ‖� ‖ , ‖ ‖ ≠ , ‖ ‖ = 4.30 maka solusi deret ∑ ∞ = akan konvergen menuju solusi eksak saat , ∀ ∈ ℕ { }. Lebih lanjut lagi, seperti yang telah dinyatakan pada Teorema 4.3 bahwa maksimum dari nilai mutlak pemotongan errornya diperkirakan seperti ‖ − ∑ = ‖ − + ‖ ‖ dimana nilai = max { , = , , … , }. Catatan Ketika berhingga dengan = , , … , nilainya boleh lebih dari satu dan untuk akan konvergen menuju solusi eksak. Dengan kata lain, beberapa kondisi awal yang berhingga tidak mempengaruhi kekonvergenan dari solusi deret sehingga ‖� − � ‖ − − − − ‖ + ‖ , 4.31 Pada kasus ini, kekonvergenan pendekatan metode iterasi variasional bergantung pada untuk .

C. Pendekatan Metode Iterasi Variasional dan Hasil Konvergensi

Pada bagian ini, akan membahas tentang penggunaan pendekatan alternatif metode iterasi variasional untuk kasus-kasus persamaan diferensial parsial nonlinear dan hasil konvergensi. Andaikan terdapat persamaan diferensial parsial nonlinear berikut � �� �, + � �, = �, , , 4.32 dimana ∈ ℕ, � adalah suatu operator nonlinear dan �, adalah suatu fungsi analitik yang diketahui, dengan syarat awal sebagai berikut �, = � , = , , … , − . 4.33 Solusi iterasi variasional �, = ∑ �, ∞ = diperoleh dengan rumus iterasi berikut = ∑ � � − = 4.34 + = [ − − � − − � �� [ + + ] �, � + � �[ + + ] �, � − �, � ] � akan konvergen menuju solusi eksak dari persamaan 4.32 saat ∃ bahwa ‖ + ‖ ‖ ‖, ∀ ∈ ℕ { }.

D. Contoh Analisis Konvergensi Metode Iterasi Variasional pada Persamaan

Gelombang Difusi Pada bagian ini, akan diberikan contoh penggunaan konvergensi dan hasil konvergensi pada persamaan gelombang difusi. Penulis ingin mengetahui tingkat kekonvergenan pada persamaan gelombang difusi karena pada bab sebelumnya solusinya telah ditemukan dengan menggunakan metode iterasi variasional. Langkah-langkah untuk memberikan hasil konvergensi pada persamaan gelombang difusi berpedoman dari bagian sebelumnya yaitu persamaan 4.34. Diberikan persamaan gelombang difusi persamaan 3.15 dan persamaan 3.16. Rumus iterasi untuk persamaan 3.15 dapat ditentukan seperti pada persamaan 4.34 berikut �, = 4.35 + = − [ � �� [ �, ] + � �� [ � ] − [ �, ] � �� [ �, ] − � � ] �, � �. Dengan menggunakan rumus iterasi diperoleh hasil iterasi sebagai berikut �, = � + 4.36 �, = � + − 4.37 �, = � + − 4.38 �, = � + − 4.39 Dapat disimpulkan bahwa solusi iterasi tersebut konvergen menuju solusi eksak � �, = � + − . Di ambil sembarang t dan x, misalkan saja = dan � = untuk mempermudah dalam perhitungan ‖ ‖ maka ‖ ‖ = . + = 4.40 ‖ ‖ = . + − = 4.41 ‖ ‖ = . + − = 4.42 ‖ ‖ = . + − = 4.43 Seperti pada persamaan 4.30, hasil konvergensi dari persamaan 4.36 sampai dengan persamaan 4.39 yaitu = ‖� ‖ ‖� ‖ = ⁄ = ,75 4.40 = ‖� ‖ ‖� ‖ = ⁄ ⁄ = 4.41 = ‖� ‖ ‖� ‖ = ⁄ ⁄ = 4.42 Hasil konvergensi persamaan 4.40 sampai dengan persamaan 4.43 telah memenuhi syarat sesuai dengan pernyataan pada bagian catatan sehingga persamaan 3.15 konvergen menuju solusi eksak.