∫ �
�
′′
� �
= �
�
′
�
− �
′
� �
+ ∫ �
� � �
.
2.4
Berikut ini contoh penggunaan metode iterasi variasional untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial non-homogen
+ =
, ,
= , ,
= . 2.5
Solusi
Dari persamaan 2.5, dapat dibentuk suatu fungsi koreksi seperti pada persamaan 2.2 sebagai berikut
+
, =
, + ∫ � �
�
�
,� ��
+
�ũ
�
,� �
− ũ , �
�. 2.6 Dari persamaan 2.6, dapat diperoleh kondisi stasioner sebagai berikut
, � : {�
′
= , .7a + �
= , .7b dan memberikan nilai pengali Lagrange yaitu
� � = − . 2.8 Sekarang, kita substitusikan persamaan 2.8 ke persamaan 2.6 sehingga
membentuk rumus iterasi sebagai berikut
+
, =
, − ∫
�
�
�, ��
+
�
�
�, �
− �,
�, . 2.9
Kita dapat memilih ,
= ,
= dari persamaan 2.10. Substitusikan ,
= ,
= ke persamaan 2.9 dan kita peroleh pendekatan iterasi sebagai berikut
, = ,
, =
, − ∫
� ,�
��
+
� ,�
�
− , �
� =
+ ,
, =
, − ∫
� ,�
��
+
� ,�
�
− , �
� =
+ +
, ,
= ,
− ∫
� ,
�
+
� ,
�
− , ,
= +
+ +
= ,
= + +
+ +
. Jadi, secara umum hasil dari iterasi tersebut dapat dituliskan dalam bentuk
sebagai berikut ,
= lim
→∞
, . Solusi eksak dari persamaan 2.3 adalah
, =
.
G. Teorema Titik Tetap Banach
Bahasan tentang Teorema Titik Tetap Banach ini berasal dari referensi buku karangan Kreyszig 1989. Dalam bahasan ini akan dibahas tentang definisi dari
Teorema Titik Tetap Banach.
Teorema Titik Tetap Banach merupakan teorema ketunggalan dari suatu titik tetap pada suatu pemetaan yang disebut kontraksi dari ruang metrik lengkap
ke dalam dirinya sendiri. Ruang Banach sendiri memiliki arti yaitu ruang vektor bernorma yang lengkap jika barisan Cauchy konvergen.
Teorema Titik Tetap Banach memberikan syarat cukup suatu fungsi dari ruang metrik lengkap terhadap dirinya sendiri yang memiliki titik tetap tunggal.
Teorema Titik Tetap Banach diterapkan untuk menjamin eksistensi dan ketunggalan penyelesaian persamaan diferensial linear orde satu. Setiap pemetaan
kontraksi di ruang metrik lengkap hanya mempunyai titik tetap tunggal.
H. Ruang Metrik dan Ruang Vektor Bernorma
Bahasan tentang ruang metrik dan ruang vektor bernorma ini berasal dari referensi buku karangan Muslikh 2012.
Ruang metrik memperluas konsep jarak. Definisi dari metrik bermanfaat untuk mengetahui aplikasi yang lebih umum dari konsep jarak.
Ruang metrik X;d adalah himpunan X dan metrik pada X fungsi jarak pada X didefinisikan sebagai fungsi
∶ �×� → ℝ, yang memenuhi:
a. ;
untuk setiap , ∈ �, dengan ≠ .
b. ;
= untuk setiap � �, jika dan hanya jika = . c.
; =
; untuk setiap , ∈ �. d.
; ;
+ ; untuk setiap , , ∈ �.
Ruang metrik � disebut ruang metrik lengkap jika setiap barisan Cauchy di �
merupakan barisan konvergen di �.
Ruang vektor bernorma adalah ruang vektor X dengan pemetaan ∥ ∥: � →
+
, dengan sifat-sifat
a. ∥ ∥
untuk setiap ∈ �.
b. ∥ ∥ = jika dan hanya jika = ∈ � .
c. ∥
∥ = | | ∥ ∥ untuk setiap ∈ � dan skalar a. d.
∥ + ∥ ∥ ∥ +∥ ∥ untuk setiap , ∈ �.
I. Ruang Hilbert
Bahasan tentang ruang Hilbert ini berasal dari referensi diktat Suryawan 2014.
Ruang Hilbert adalah ruang hasil kali dalam yang lengkap ruang metriknya lengkap. Ruang Hilbert pula merupakan suatu ruang vektor bernorma yang
lengkap yang normanya itu diinduksi dari hasil kali dalam. Ruang hasil kali dalam
seringkali disebut ruang pra-Hilbert.
J. Barisan Konvergen dan Deret Konvergen
Teori tentang barisan konvergen dan deret konvergen ini berasal dari referensi diktat Sukarjono 2008. Dalam bahasan ini akan dipaparkan tentang
definisi barisan dan deret serta barisan konvergen dan deret konvergen. Barisan adalah suatu pemetaan yang berkorespondensi satu-satu dari
himpunan bilangan asli ke himpunan bilangan real. Barisan dapat dikatakan sebagai suatu aturan yang mengawankan setiap bilangan asli dengan bilangan real
