Persamaan Gelombang Akustik METODE ITERASI VARIASIONAL UNTUK

�+ �, = � �, + ∫ � � [ � � �,� �� + �ũ � �,� �� ] ��, 3.67 �+ �, = � �, + ∫ � � [ � � �,� �� + � ̃ � �,� �� ] ��. 3.68 dengan � dan � adalah pengali Lagrange; ̃ �� dan �̃ �� adalah variasi terbatas. Kondisi stasioner persamaan 3.67 dan 3.68 sebagai berikut � ′ � = , 3.69a + � � | �= = , 3.69b dan � ′ � = , 3.70a + � � | �= = , 3.70b Persamaan 3.69a dan 3.70a adalah persamaan Euler-Lagrange. Persamaan 3.69b dan 3.70b termasuk ke dalam syarat batas. Sekarang, subtitusi nilai pengali Lagrange ke dalam fungsi koreksi persamaan 3.67 dan 3.68 diperoleh rumus iterasi variasionalnya yaitu �+ �, = � �, − ∫ [ � � �,� �� + � � �,� �� ] ��,⁡ 3.71 �+ �, = � �, − ∫ [ � � �,� �� + � � �,� �� ] ��. 3.72 Dengan menggunakan rumus iterasi variasional 3.71 dan 3.72 dapat diperoleh nilai pendekatan pertama, kedua, dan ketiga dari solusi analitik berikut �, = ⁡ . ⁡sech . � 3.73 �, = 3.74 �, = ⁡ . ⁡sech . � 3.75 �, = . ⁡sech⁡ . � tanh . � 3.76 �, = . sech . � − . − . sech . � tanh . � + 3.77 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ . sech . � . − . tanh . � �, = . ⁡sech⁡ . � tanh . � 3.78 �, = . sech . � − . − . sech . � tanh . � + ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ . sech . � . − . tanh . � 3.79 �, = ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ . sech⁡ . � tanh . � − ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ . − . sech ⁡ . � tanh⁡ . � + ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ . sech⁡ . � tanh⁡ . � . − . tanh⁡ . � 3.80 Berikut ini adalah grafik perilaku yang menggambarkan solusi iterasi variasional. a �, dimensi tiga b �, dimensi tiga c ⁡ �, dimensi dua d �, dimensi dua Gambar 3.6. Grafik hasil iterasi � �, dan �, pada persamaan gelombang akustik. Grafik pada Gambar 3.6 diperoleh dengan bantuan Software MATLAB dimensi dua. Dari Grafik 3.6c dapat diamati bahwa tekanan ⁡ mencapai titik maksimum di 0,1 saat � = . Jika waktu bertambah maka tekanan akan semakin tinggi merambat ke kiri dan kanan. Dari Grafik 3.6d menggambarkan bahwa saat kecepatan berkurang maka perambatan gelombang ke arah kiri dan pada saat kecepatan bertambah maka perambatan gelombang ke arah kanan. Hasil penelitian pada bab ini telah dipresentasikan pada Conference on Fundamental and Applied Science for Advanced Technology 2016 dan sudah diterbitkan di Jurnal International AIP Conference Proceedings serta pada Conference on Theoretical Physics and Nonlinear Phenomena dan akan terbit di Jounal of Physics Confererence Series pada 2017. 48

BAB IV KONVERGENSI METODE ITERASI VARIASIONAL

Pada bab ini akan membahas tentang konvergensi metode iterasi variasioal pada persamaan diferensial parsial nonlinear dan contoh penggunaan persamaan diferensial parsial nonlinear. Bahasan tentang konvergensi metode iterasi variasional diperoleh dari artikel karya Odibat 2010.

A. Pendekatan Alternatif Metode Iterasi Variasional

Pada bagian ini, akan memaparkan tentang pendekatan alternatif metode iterasi variasional. Metode iterasi variasional dapat diimplementasikan, dipercaya dan efisien dalam menyelesaikan permasalahan pada persamaan diferensial parsial nonlinear. Diberikan persamaan 2.1 berikut: � + � = , 4.1 dimana � adalah operator linear yang didefinisikan sebagai � = � dengan ∈ ℕ, � adalah operator nonlinear, dan adalah suatu bentuk suku nonhomogen memiliki nilai awal = , = , , … , − 4.2 dimana adalah bilangan real. Dengan menggunakan metode iterasi variasional dapat dibentuk suatu fungsi koreksi dari persamaan 2.1 yaitu sebagai berikut: + = + � � { � � � + �ũ � − � } � , 4.3 dimana � adalah suatu pengali Lagrange yang dapat diidentifikasi secara optimal dengan teori variasional, dan ũ adalah suatu variasi terbatas yang dilambangkan dengan ũ = , + = + � � { � � � − � } � , 4.4 menggunakan teknik integral parsial dari persamaan 2.3 dan 2.4, dapat diperoleh nilai pengali Lagrange � � sebagai berikut � � = − , untuk = , 4.5 � � = � − , untuk = , 4.6 dan rumus umum nilai pengali Lagrange 4.5 dan 4.6 adalah � � = − − � − − , untuk . 4.7 Substitusi persamaan 4.7 ke dalam persamaan 4.3 diperoleh rumus iterasi sebagai berikut + = + − − � − − { � � � + � � − � } �. 4.8 Sekarang, didefinisikan operator �[ ] sebagai berikut �[ ] = [ − − � − − � � + � � − � ] � �, 4.9 Iterasi dari persamaan 4.9 , = , , , , … = = �[ ] = �[ + ] + = �[ + + + ] 4.10 dari persamaan 4.10 diperoleh rumus umum yaitu = lim →∞ = ∑ . ∞ = Persamaan 4.1 dapat didiferensialkan menggunakan persamaan 4.9 dan 4.10 menghasilkan solusi berbentuk = ∑ . ∞ = 4.11 Pendekatan awal = dapat dipilih jika itu memenuhi syarat awal dan syarat batas dari persoalan. Keberhasilan suatu metode tergantung dari pendekatan awal yang dipilih. Syarat awal pada persamaan 4.2 cocok untuk digunakan dalam penyelesaian persamaan 4.1. Rumus umum dari persamaan 12 dapat dituliskan dalam bentuk seperti = ∑ . − = 4.12

B. Analisis Konvergensi

Bagian ini akan membahas tentang konvergensi metode iterasi variasional berdasarkan fakta-fakta yang diketahui dari pendekatan alternatif pada bagian sebelumnya. Teorema 4.1. Diberikan operator � ∶ � → �. Solusi deret persamaan 4.11 akan konvergen jika ∃ sedemikian sehingga ‖�[ + + + + ]‖ ‖�[ + + + ]‖ ‖ + ‖ ‖ ‖, ∀ ∈ ℕ { }. Bukti. Didefinisikan barisan {� } = ∞ sebagai berikut