Terminologi Dasar Graph Trees

2.2 Terminologi Dasar Graph

Definisi 2.5 Adjancent Dua buah verteks pada undirected graph, u adjancent dengan v dengan , u v adalah edge pada graph tersebut. Definisi 2.6 Incident Sebuah sembarang edge , e u v dikatakan incident dengan verteks u dan v. Definisi 2.7 Path Sebuah path adalah sebuah barisan dari himpunan verteks 1 2 , , ..., n v v v dengan 1 1 , n n v v n n e v v E untuk semua 1, ..., n n . Definisi 2.8 Cycle Sebuah cycle adalah sebuah path 1 2 , , ..., n v v v dengan edge 1 2 2 3 1 , , , , ..., , n n v v v v v v sekaligus dengan edge 1 , n v v . Definisi 2.9 Connected Sebuah graph tak-berarah G disebut connected graph untuk setiap pasang verteks u dan v di dalam himpunan V terdapat path dari u ke v. Definisi 2.10 Cut-set Cut-set dari connected graph G adalah himpunan edge. Jika salah satu edge tersebut tidak terdapat di G akan menyebabkan G tidak terhubung. Jadi, cut-set selalu menghasilkan dua buah komponen terhubung.

2.3 Trees

Tree adalah bentuk khusus dari graph. Adapun definisi dari tree adalah sebagai berikut: Universitas Sumatera Utara Definisi 2.11 Tree Sebuah graph , T V E disebut sebuah tree apabila memenuhi kondisi di bawah ini: 1. T merupakan connected graph 2. T tidak mengandung cycle Sebuah graph , T V E yang merupakan tree dicontohkan pada Gambar 2.3 di bawah ini: Gambar 2.3 Sebuah graph yang merupakan tree Untuk selanjutnya akan dijelaskan beberapa sifat-sifat properties pada tree. Teorema 2.1 Misalkan , T V E adalah sebuah tree dengan paling sedikit 2 dua verteks, untuk setiap pasangan verteks yang berbeda , x y V , terdapat unique path lintasan khusus di T dari x ke y. Bukti Selama T connected, terdapat sebuah path dari x ke y, misalkan menjadi 1 , , ..., 1 r v x v v y Kemudian anggap keterbalikan dari kondisi ini sehingga terdapat path yang berbeda 1 , , ..., 2 s u x u u y Di sini akan diperlihatkan T akan mempunyai cycle. Path 1 dan 2 merupakan path yang berbeda, untuk i N sedemikian hingga 1 1 1 1 , , ..., i i i i v u v u v u te ta p i v u 1 v 4 v 7 v 5 v 8 v 3 v 6 v 2 v Universitas Sumatera Utara Perhatikan himpunan verteks 1 2 , , ..., i i r v v v . Selama kedua path 1 dan 2 berakhir di y, maka kedua path tersebut akan bertemu kembali di y, sehingga untuk setiap 1, 2, ..., j i i r sedemikian hingga j l v u untuk setiap 1, 2, ..., l i i s . Maka kedua path tersebut akan membentuk cycle. Hal ini kontradiktif dengan syarat T adalah sebuah tree. Teorema 2.2 Misalkan , T V E adalah sebuah tree dengan paling sedikit 2 dua verteks. Kemudian graph yang diperoleh dari T dengan menghapus sebuah edge sehingga menjadi dua komponen, masing-masing komponen tersebut adalah tree. Bukti Diberikan , u v E , di mana , T V E . Kemudian edge ini dihapus, sehingga terdapat , G V E , di mana \ , E E u v . Didefinisikan relasi R pada V sebagai berikut. Dua verteks , x y V memenuhi xRy jika dan hanya jika x y atau merupakan unique path di T dari x ke y dan tidak termasuk edge , u v . Di sini diperlihatkan R adalah relasi yang ekuivalen pada V, dengan dua golongan ekuivalen u dan v . Di sini juga diperlihatkan u dan v merupakan dua komponen dari G, juga selama T tidak mempunyai cycle, akan terbentuk dua komponen. Teorema 2.3 Jika , T V E adalah sebuah tree , maka 1 E V . Bukti Pembuktian akan dilakukan dengan menginduksi jumlah verteks dari , T V E . Jelas hasil adalah benar untuk 1 V . Misalkan hasil adalah benar untuk V k . Misalkan , T V E dengan 1 V k . Jika dihapus sembarang edge dari T, maka akan dihasilkan dua komponen graph. Akan didefinisikan ke dua komponen tersebut oleh Universitas Sumatera Utara 1 1 1 , T V E dan 2 2 2 , T V E Dari sini jelas 1 V k dan 2 V k . Dari induksi tersebut diketahui bahwa 1 1 1 E V dan 2 2 1 E V Sehingga 1 2 V V V dan 1 2 1 E E E , sehingga 1 E V Definisi 2.12 Spanning tree , G V E merupakan sebuah connected graph , maka sebuah subset T dari E disebut sebuah spanning tree dari G apabila T memenuhi dua kondisi berikut: 1. Setiap verteks di V terhubung oleh tepat satu edge di T. 2. Edge di T memenuhi kondisi tree. Contoh 2.1 Diberikan sebuah graph seperti gambar di bawah ini: Gambar 2.4 Graph G dengan 6 verteks dan 7 edge Dari graph Gambar 2.4 bisa dibentuk beberapa spanning tree sebagai berikut: Gambar 2.5 Spanning tree yang dibentuk dari graph pada Gambar 2.4 3 v 1 v 2 v 6 v 5 v 4 v 3 v 1 v 2 v 6 v 5 v 4 v 3 v 1 v 2 v 6 v 5 v 4 v 3 v 1 v 2 v 6 v 5 v 4 v Universitas Sumatera Utara

2.4 Minimum Spanning Tree