Gambar 3.3 Graph yang dibentuk dari permasalahan
Knapsack
Jika permasalahan
minimum spanning tree
yang memenuhi kendala biaya diselesaikan pada graph Gambar 3.3, maka semua
edge
, i i
masuk ke dalam solusi optimal. Untuk mendapatkan struktur
spanning tree
telah dimiliki untuk setiap
1, ...,
i n
maka berkesempatan untuk memilih
edge
, 1
i i
atau
edge
, 1
i i
.
Salah satu
edge
, 1
i i
adalah bagian dari solusi optimal
T
dari permasalahan
minimum spanning tree
yang memenuhi kendala biaya pada graph di atas, maka
1
i
x
.
1 { ,
1} :
{ , 1}
i
if i i T
x if
i i T
Permasalahan
Knapsack
bisa direduksi kedalam permasalahan
minimum spanning tree
yang memenuhi kendala biaya. Selama permasalahan
knapsack
adalah NP-Hard, maka permasalahan
minimum spanning tree
dengan memenuhi kendala biaya juga termasuk dalam NP-Hard.
3.5 Kondisi
minimum spanning tree
yang memenuhi kendala biaya dengan menggunakan algoritma Balas
Simulasi 1. Penyelesaian minimum spanning tree yang memenuhi kendala biaya pada
sebuah graph
,
e e
d c
0, 0 1
2
1 2
n
n
1 n
1 n
1 1
, a
b
, 0
M
, 0
M
0, 0
2 2
, a
a
0, 0
,
n n
a b
, 0
M
, 0
M
0, 0
,
n n
a b
Universitas Sumatera Utara
Gambar 3.4 Graph tak-berarah dengan 5 verteks dan 6
edge
Graph pada Gambar 3.4 adalah sebuah bentuk simulasi dari permasalahan
minimum spanning tree
yang memenuhi kendala biaya. Graph tersebut mempunyai 5 verteks dan 6
edge.
Pada setiap
edge
diberikan dua nilai sekaligus yaitu
,
e e
d c
di mana
e
d
merupakan jarak dan
e
c
merupakan biaya pada masing-masing
edge
dan untuk selanjutnya akan ditemukan nilai optimal dari
minimum spanning tree
yang memenuhi kendala biaya yang telah ditentukan dan dalam simulasi ini telah
ditetapkan jumlah biaya
C
=15. Untuk menentukan nilai kelayakan biaya
C,
harus memenuhi
m in
e e T
C c
T S T G
dengan ketentuan
S T G
adalah himpunan
spanning tree
dari graph.
Minimum spanning tree
terhadap nilai biaya dari Gambar 3.4 adalah :
Gambar 3.5
Minimum spanning tree
terhadap nilai biaya dari graph Gambar 3.4
A ,
e e
d c
1 5 C
E D
C B
1
x
2
x
4
x
6
x
3
x
5
x
5, 6 10, 2
4, 7 2, 9
8, 4 11,1
e
x
A ,
e e
d c
E D
C B
1
x
2
x
6
x
3
x
5, 6 10, 2
8, 4 11,1
e
x
Universitas Sumatera Utara
Dengan jumlah total biaya adalah 13, di mana memenuhi kelayakan nilai biaya
e
C c
pada kondisi
minimum spanning tree
yang memenuhi kendala biaya. Untuk selanjutnya permasalahan diformulasikan ke dalam bentuk umum
pemrograman 0-1 seperti di bawah ini:
1 2
3 4
5 6
1 2
3 4
5 6
4 5
6 1
2 3
4 1
2 3
4 5
6
5 1 0
8 4
2 1 1
4 2
3 6
2 4
7 9
1 5 0,1 ,
{1, 2, 3, ..., 6}
e
M in im ize Z
x x
x x
x x
Su b je c t to x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x e
Dalam penyelesaian permasalahan pemrograman 0-1 dengan menggunakan
metode Balas terlebih dulu menformulasi permasalahan kedalam bentuk umum metode Balas, sehingga didapat model baru yaitu:
5 4
1 3
2 6
1 2
3 4
5 6
1 2
3 4
5 6
4 5
6 1
2 3
4 1
2 3
4 5
6
2 4
5 8
1 0 1 1
4 1
4 2
2 3
3 4
6 2
4 7
9 1 5
5 0,1
{1, 2, 3, ..., 6}
e
M in im ize Z
x x
x x
x x
Su b je c t to x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x e
Solusi:
Iterasi 1:
Karena model berbentuk minimalisasi dan semua koefisien dari setiap variabel bernilai
nonnegative
sehingga untuk mendapatkan nilai
Z
minimal semua variabel diberi nilai
1
e
x
sehingga fungsi pembatas
Z
dan infisibel pada kendala
1
maka harus dilakukan percabangan pada variabel
5
x
.
Gambar 3.6 Iterasi 1
Z 0,
: 1 Z
In f
Universitas Sumatera Utara
Iterasi 2:
Percabangan di
5
1 x
menghasilkan fungsi pembatas
2
Z
dan infisibel pada kendala
1
, sedangkan untuk
5
x
menghasilkan fungsi pembatas
4
Z
juga infisibel pada kendala
1
. Untuk selanjutnya akan dilakukan percabangan pada variabel
4
x
di
bud node
yang memiliki fungsi pembatas
Z
minimum.
Gambar 3.7 Iterasi 2
Iterasi 3:
Percabangan di
4
1 x
menghasilkan fungsi pembatas
6
Z
dan
imposible
pada kendala
5
. Hal ini dikarenakan untuk percabangan selanjutnya pada
node
ini tidak akan membuat kendala
5
fisibel sehingga
node
ini disebut terukur
fathomed
. Sedangkan untuk
5
x
menghasilkan fungsi pembatas
7
Z
juga infisibel pada kendala
1
. Dalam dalam pemilihan percabangan motode balas menggunakan sistem
depth-first node selection,
selanjutnya percabangan akan dilakukan pada
bud node
5
x
oleh variabel
1
x
.
Gambar 3.8 Iterasi 3
Iterasi 4:
Gambar 3.9 Iterasi 4
Z 1
4, : 1
Z In f
2, : 1
Z In f
Z 1
1
4
x
6, : 5
Z im p
7, : 1
Z In f
Z
5
x
1 1
4
x
1
1
x 10,
: 1 Z
In f 7,
: 1 Z
In f
5
x
5
x
Universitas Sumatera Utara
Iterasi 5:
Gambar 3.10 Iterasi 5
Iterasi 6:
Gambar 3.11 Iterasi 6
Iterasi 7:
Gambar 3.12 Iterasi 7
Z
5
x
1 1
4
x
1
1
x
3
x
1 15,
5 Z
im p 17,
5 Z
im p
Z
5
x
1 1
4
x
1
1
x
3
x
1 1
1 0, 5
Z In f
1 2, 1
Z im p
Z
5
x
1 1
4
x
1
1
x
3
x
1 1
1
2
x
2 0, 1
Z In f
2 1, 1
Z im p
Universitas Sumatera Utara
Iterasi 8:
Gambar 3.13 Iterasi 8
Iterasi 9:
Gambar 3.14 Iterasi 9
Z
5
x
1 1
4
x
1
1
x
3
x
1 1
1
2
x
1
6
x
31, 5
Z im p
20, 1
Z im p
1 1
1 1
1 1
1 Z
5
x
1
4
x
1
x
3
x
2
x
6
x 4,
1 Z
In f 5,
1 Z
In f
Universitas Sumatera Utara
Iterasi 10:
Gambar 3.15 Iterasi 10
Iterasi 11:
Gambar 3.16 Iterasi 11
1 1
1 1
1 1
1 Z
5
x
1
4
x
1
1
x
3
x
2
x
6
x 9,
5 Z
im p 12,
1 Z
In f
1 1
1 1
1 1
1 Z
5
x
1
4
x
1
1
x
1
3
x
2
x
6
x 12,
1 Z
In f 14,
5 Z
im p
Universitas Sumatera Utara
Iterasi 12:
Gambar 3.17 Iterasi 12
Iterasi 13:
Gambar 3.18 Iterasi 13
1 1
1 1
1 1
1 Z
5
x
1
4
x
1
1
x
1
3
x
2
x
1
6
x 33,
1 Z
im p 2 2,
1 Z
In f
1 1
1 1
1 1
1 Z
5
x
1
4
x
1
1
x
1
3
x
2
x
1 1
6
x 22,
1 Z
im p 33,
Z In c u m b e n t
Universitas Sumatera Utara
Iterasi 14:
Gambar 3.19 Iterasi 14
Iterasi 15:
Gambar 3.20 Iterasi 15
1 1
1 1
1 1
1 Z
5
x
1
4
x
1
1
x
1
3
x
2
x
1 1
6
x 1
5, : 1
Z In f
8, : 1
Z im p
1 1
1 1
1 1
1 Z
5
x
1
4
x
1
1
x
1
3
x
2
x
1 1
6
x 1
1 1 3,
: 1 Z
In f 1 5,
: 1 Z
im p
Universitas Sumatera Utara
Iterasi 16:
Gambar 3.21 Iterasi 16
Iterasi 17:
Gambar 3.22 Iterasi 17
1 1
1 1
1 1
1 Z
5
x
1
4
x
1
1
x
1
3
x
2
x
1 1
6
x
1 1
1 1
2 3, : 1
Z im p
34,
Z Z
in c u m b e n t
1 1
1 1
1 1
1
Z
5
x
1
4
x
1
1
x
1
3
x
2
x
1 1
6
x 1
1 1
2 4, : 1
Z im p
23, : 1
Z In f
Universitas Sumatera Utara
Dari penyelesaian
didapat fungsi
pembatas
33
Z
, di
mana
1 2
3 4
5 6
0, 1,
1, 1,
0, 1
x x
x x
x x
pada iterasi ke-13 yang kemudian fungsi pembatas ini berperan sebagai
incumbent.
Pada iterasi-17 juga didapatkan sebuah fungsi pembatas yang fisibel namun karena nilai fungsi pembatas
34
Z
maka fungsi pembatas tersebut terleminasi oleh
incumbent
yang mempunyai nilai lebih baik sehingga
ditemukan fungsi
objektif
3 3 Z
di mana
1 2
3 4
5 6
0, 1,
1, 1,
0, 1
x x
x x
x x
. Adapun
spanning tree
yang terbentuk adalah:
Gambar 3.23
Minimum spanning tree
dengan total jarak
33
d T
yang memenuhi kendala biaya
15
c T
Apabila permasalahan dienumerasi secara lengkap, maka terdapat
6
2 64
solusi yang mungkin, tetapi dengan menggunakan algoritma Balas akan hanya menghasilkan solusi sebagian dan solusi secara lengkap. Dalam penyelesaian
permasalahan di atas terdapat total 33
node
yang dihasilkan, sehingga didapatkan
3 3 6 4 5 1
jika dibandingkan dengan enumerasi secara lengkap.
3.6 Penyelesaian permasalahan
