Bukti
Anggap teorema tersebut tidak memenuhi. Kemudian akan dilakukan pertukaran
e
dengan
f
dalam
T
dan kemudian akan didapatkan sebuah
tree
dengan
\ { } { }
e f
d T e
f d T
d d
d T
dan
\ { } { }
e f
c T e
f c T
c c
C
hal ini kontradiktif dengan pengoptimalan
T
.
Corollary 3.1
Misalkan
T
merupakan solusi optimal dari permasalahan minimum spanning tree. Untuk
setiap
T exch a n g e
[ , ]
e f
dengan
[ , ]
d e f
harus memenuhi
e f
c T c
c C
.
Bukti
Misalkan teorema tidak benar, setiap
tree
yang dihasilkan dari
T exch a n g e
dan merubah nilai
d T
. Hal ini kontradiktif dengan pengoptimalan
T
.
3.2 Kondisi
minimum spanning tree
yang memenuhi kendala biaya dalam bentuk pemrograman 0-1
Hal utama dari pembahasan ini adalah memformulasikan kondisi
minimum spanning tree
yang memenuhi kendala biaya ke dalam bentuk pemrograman 0-1.
Permasalahan 1
Subtour elimination formulation
3 .1 1
3 .2 1
, 3 .3
3 .4 0,1 ,
e e
e E
e e
E e
e E S
e e
e E
e
M in im ize d x
Su b je c t to x
n x
S S
V S c x
C x
e E
Universitas Sumatera Utara
Untuk S adalah himpunan dari semua subgraphs yang memungkinkan membentuk cycle di G
1, 0,
e
u n tu k e d g e te r m a s u k ke d a la m tr e e x
u n tu k e d g e tid a k m a s u k ke d a la m tr e e
Kendala
3.4
merupakan batasan biaya yang sudah ditentukan. Pada pertidaksamaan
3.3
merupakan kendala untuk menghindari terjadinya
cycle
dan pada persamaan
3.2
akan memastikan bahwa setiap jumlah
egde
dari setiap
tree
adalah
1
n
dan setiap verteks
connected
.
3.3 Kelayakan nilai biaya dalam penentuan
minimum spanning tree
yang memenuhi kendala biaya
Dalam penentuan
minimum spanning tree
yang memenuhi kendala biaya, batasan biaya yang diberikan dalam permasalahan sangat menentukan akan
minimum spanning tree
yang akan dihasilkan.
Diberikan sebuah graph
G= V,E
untuk setiap
edge
mempunyai nilai jarak
e
d
dan biaya
e
c
:
Gambar 3.2 Graph
G
dengan setiap
edge
diberikan nilai jarak
e
d
dan biaya
e
c
1
v
2
v
3
v
4
v
5
v
6
v
1 1
, d
c ,
e e
d c
4 4
, d
c
3 3
, d
c
6 6
, d
c
2 2
, d
c
5 5
, d
c
8 8
, d
c
7 7
, d
c
9 9
, d
c
Universitas Sumatera Utara
Dengan mengabaikan nilai jarak
e
d
akan dibentuk sebuah
minimum spanning tree
terhadap nilai biaya
e
c
.
Permasalahan
minimum spanning tree
terhadap nilai biaya bisa dirumuskan seperti di bawah ini:
m in
e e T
c T
S T G
dengan ketentuan
S T G
adalah himpunan
spanning tree
dari graph. Sehingga dalam penentuan
minimum spanning tree
yang memenuhi kendala biaya
C
, terdapat kendala biaya minimum yang menjamin akan terbentuknya
minimum spanning tree
di mana nilai:
m in
e e T
C c
T S T G
Dengan ketentuan
S T G
adalah himpunan
spanning tree
dari graph.
3.4 Kompleksitas
