lebih baik pada
node
tersebut apabila
node
tersebut dicabangkan lagi. Dengan adanya solusi fisibel yang diberikan oleh fungsi pembatas yang memenuhi
kendala maka nilai fungsi pembatas ini disebut dengan solusi sementara
incumbent
. Untuk solusi fisibel selanjutnya yang didapatkan akan di bandingkan dengan solusi sementara yang ada. Jika solusi baru yang
dihasilkan lebih baik dari solusi sementara yang ada, maka nilai
incumbent
akan digantikan oleh solusi yang baru, begitu seterusnya sampai didapatkan solusi yang optimal.
6. Sebuah
bud node
dikatakan terukur
fathomed
infisibel jika percabangan yang dilakukan pada
bud node
tersebut tidak akan menghasilkan solusi yang fisibel. Hal ini bisa dilakukan dengan menguji setiap kendala dengan memberikan
nilai 1 pada semua variabel bebas yang memiliki koefisien positif dan nilai 0 pada varibel bebas yang koesifien bernilai negatif. Apabila nilai sisi kiri dari
pertidaksamaan kendala ternyata masih lebih kecil dari nilai sisi kanan, kendala tersebut tidak akan bisa memenuhi, sehingga
node
tersebut bisa dieleminasi sebagai
“imposible”. 7.
Algoritma Balas menggunakan strategi
depth-first node selection
untuk pemilihan
node
dalam percabangan.
2.7 Program QM for Windows
Software POMQM for Windows
adalah sebuah
software
yang dirancang untuk melakukan perhitungan yang diperlukan pihak manajemen untuk mengambil
keputusan di bidang produksi dan pemasaran.
Software
ini dirancang oleh Howard J.
Weiss
tahun 1996 untuk membantu menejer produksi khususnya dalam menyusun prakiraan dan anggaran untuk produksi bahan baku menjadi produk jadi atau setengah
jadi dalam proses pabrikasi.
Untuk mengoperasikan
QM for Windows
dibutuhkan syarat-syarat komputer yang berbasiskan sistem operasi
Windows
. Spesifikasi minimal untuk komputer adalah sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
Gambar 2.10 Tampilan awal program
QM for Windows
1. Pentium I minimal 100 MHz 2. Tersedia ruang kosong di Hardisk minimal 20 MB
Mega Byte
3. Memori 16 MB
Mega Byte
4. Printer
Sistem operasi minimal yang digunakan adalah
Windows
3.11. Disarankan minimal menggunakan
Windows
95 ke atas. Program ini mampu menyelesaikan beberapa persoalan yang berhubungan dengan pengambilan keputusan seperti
permasalahan
assignment, game theory, goal programming, inventory, linier programming, integer programming,
dan lain-lain. Dalam hal ini penulis menggunakan program
QM for Windows
versi 2.1
build 67.
Universitas Sumatera Utara
BAB 3
PEMBAHASAN
Pada bab ini akan lebih difokuskan pada permasalahan
minimum spanning tree
yang memenuhi kendala biaya. Oleh karena itu akan dibentuk sebuah graph
,
G V E
dengan himpunan verteks
{1, 2, ..., }
V n
dan himpunan
egde
E
, yang mana pada setiap
edge
e E
mempunyai dua nilai yaitu jarak
e
d
dan biaya
e
c
.
3.1
Kondisi minimum spanning tree
yang memenuhi kendala biaya
Gambar 3.1 Graph tak-berarah dengan setiap
edge
diberikan nilai jarak
e
d
dan biaya
e
c
Permasalahannya adalah menemukan sebuah
spanning tree
dengan
d T
minimum di bawah kendala biaya di mana tidak boleh lebih besar dari kendala
C
biaya.
Lemma 3.1 akan menunjukkan bahwa dalam untuk setiap nilai jarak
e
d
dan nilai biaya
e
c
adalah positif.
1
v
2
v
3
v
4
v
5
v
6
v
7
v
8
v
1 1
, d
c ,
e e
d c
4 4
, d
c
3 3
, d
c
6 6
, d
c
9 9
, d
c
2 2
, d
c
11 11
, d
c
5 5
, d
c
1 0 1 0
, d
c
1 3 1 3
, d
c
8 8
, d
c
1 2 1 2
, d
c
7 7
, d
c
Universitas Sumatera Utara
Lemma 3.1
Tanpa kehilangan keumuman
,
diasumsikan semua nilai dari jarak dan biaya bernilai positif.
Bukti
Misalkan sebuah graph dengan nilai jarak dan biaya bernilai negatif. Diberikan
m in
: m in
e E e
d d
dan
m in
: m in
e E e
c c
. Maka akan didefinisikan:
m in
:
e e
d d
d
,
m in
:
e e
c c
c
untuk setiap
e E
dan
m in
: 1
C C
n c
Sebuah
tree
optimal
T
untuk penyelesaian
minimum spanning tree
yang memenuhi kendala biaya dengan nilai jarak
d
dan nilai biaya
c
sehingga total nilai dari biaya untuk
tree
tidak lebih besar dari
C
dan juga optimal untuk permasalahan aslinya.
m in m in
m in m in
m in m in
1 1
1 1
1
e e T
e e T
e e T
c T c
c c
c n
c c T
n c
C n
c C
n c
n c
C
Jadi
T
adalah fisibel. Misalkan ada sebuah
tree T
dengan
c T C
dan
d T c T
.
m in m in
m in m in
m in
1 1
1
e e T
e e T
e e T
e e T
d T d
d d
d n
d d T
n d
d T n
d d
d d T
Universitas Sumatera Utara
Selama
T
juga fisibel untuk permasalahan baru dengan argumen yang sama maka ini kontradiktif dengan pengoptimalan
T
.
Kondisi optimal pada permasalahan
minimum spanning tree
Teorema 2.4 dan Teorema 2.5 dapat digunakan untuk memformulasikan kondisi optimal dari
penyelesaian permasalahan
minimum spanning tree
yang memenuhi kendala biaya.
Teorema 3.1
Kondisi optimal cut cut optimality condition untuk permasalahan minimum spanning tree yang memenuhi kendala biaya.
Sebuah spanning tree
T
adalah minimum spanning tree yang memenuhi kendala biaya jika untuk setiap edge
e T
dan untuk setiap
, \
e e
f X
V X
dengan
f e
d d
dimana memenuhi biaya
e f
c T c
c C
.
Bukti
Misalkan teorema di atas tidak memenuhi. Selanjutnya dilakukan pertukaran
edge ,
T exch a n g e
[ , ]
e f
sehingga didapatkan sebuah
tree
dengan
\ { } { }
e f
d T e
f d T
d d
d T
dan
\ { } { }
e f
c T e
f c T
c c
C
hal ini kontradiktif dengan pengoptimalan dari
T
.
Teorema 3.2
Kondisi optimal path path optimality condition untuk permasalahan minimum spanning tree yang memenuhi kendala biaya.
Sebuah spanning tree
T
adalah optimal untuk permasalahan minimum spanning tree yang memenuhi kendala biaya jika untuk setiap edge yang tidak termasuk dalam
T
{ , }
f k l
dengan
f e
d d
untuk setiap edge
e
terdapat dalam lintasan di
T
menghubungkan k dan l, harus memenuhi
e f
c T c
c C
.
Universitas Sumatera Utara
Bukti
Anggap teorema tersebut tidak memenuhi. Kemudian akan dilakukan pertukaran
e
dengan
f
dalam
T
dan kemudian akan didapatkan sebuah
tree
dengan
\ { } { }
e f
d T e
f d T
d d
d T
dan
\ { } { }
e f
c T e
f c T
c c
C
hal ini kontradiktif dengan pengoptimalan
T
.
Corollary 3.1
Misalkan
T
merupakan solusi optimal dari permasalahan minimum spanning tree. Untuk
setiap
T exch a n g e
[ , ]
e f
dengan
[ , ]
d e f
harus memenuhi
e f
c T c
c C
.
Bukti
Misalkan teorema tidak benar, setiap
tree
yang dihasilkan dari
T exch a n g e
dan merubah nilai
d T
. Hal ini kontradiktif dengan pengoptimalan
T
.
3.2 Kondisi
