Dengan mengabaikan nilai jarak
e
d
akan dibentuk sebuah
minimum spanning tree
terhadap nilai biaya
e
c
.
Permasalahan
minimum spanning tree
terhadap nilai biaya bisa dirumuskan seperti di bawah ini:
m in
e e T
c T
S T G
dengan ketentuan
S T G
adalah himpunan
spanning tree
dari graph. Sehingga dalam penentuan
minimum spanning tree
yang memenuhi kendala biaya
C
, terdapat kendala biaya minimum yang menjamin akan terbentuknya
minimum spanning tree
di mana nilai:
m in
e e T
C c
T S T G
Dengan ketentuan
S T G
adalah himpunan
spanning tree
dari graph.
3.4 Kompleksitas
Permasalahan
Minimum spanning tree
biasanya bisa diselesaikan dengan menggunakan beberapa algoritma seperti algoritma Prim dan Kruskal
.
Pada permasalahan
minimum spanning tree
yang memenuhi kendala biaya hasil ini akan benar hanya untuk
N P P
.
Arggarwal, Aneja dan Nair telah membuktikan bahwa permasalahan
minimum spanning tree
dengan kendala biaya termasuk dalam
NP- hardness
Teorema 3.3
NP-Hardness Permasalahan minimum spanning tree dengan memenuhi kendala biaya termasuk ke
dalam NP-hardness.
Bukti
Pembuktian ini dilakukan dengan cara mereduksi permasalahan
Knapsack
ke dalam permasalahan
minimum spanning tree
yang memenuhi kendala biaya.
Universitas Sumatera Utara
Bentuk umum permasalahan
Knapsack
:
1 1
m ax 3 .5
. 3 .6
0,1 1
n i
i i
n i
i i
i
a x s t
b x B
x fo r
i n
Tanpa kehilangan keumuman, asumsikan bahwa semua nilai
i
a
positif. dengan kata lain di definisikan
1
: m in
i i
i n i
a a
a
.
Sebuah nilai optimal dari
x
untuk permasalahan dengan nilai biaya
i
a
juga merupakan solusi optimal dari permasalahan
awal. Menggunakan
identifikasi
max min
cx c x
dapat ditranfromasikan ke dalam permasalahan
Knapsack
menjadi:
1 1
m in 3 .7
. 3 .8
0,1 1
n i
i i
n i
i i
i
a x s t
b x B
x fo r
i n
Kemudian akan dibentuk sebuah graph
,
V E
dengan himpunan verteks
1, 1 , 2, 2 , ..., 1,
1 V
n n
dan himpunan
edge
1 ,1 , 1 , 2 , 1, 2 , 2, 2 , 2, 3 , 2, 3 , ..., ,
1 , ,
1 , 1,
1
E n n
n n n
n
Ditentukan
1
: 1
n k
k
M a
.
Kemudian didefinisikan
:
ii
d M
untuk
1 1
i n
dan
1
:
ii i
d a
untuk
1 1
i n
dan
:
ii
c
untuk
1 1
i n
dan
1
:
ii i
c b
untuk
1 1
i n
.
Kemudian diberikan
: C
B
.
Graph yang di bentuk:
Universitas Sumatera Utara
Gambar 3.3 Graph yang dibentuk dari permasalahan
Knapsack
Jika permasalahan
minimum spanning tree
yang memenuhi kendala biaya diselesaikan pada graph Gambar 3.3, maka semua
edge
, i i
masuk ke dalam solusi optimal. Untuk mendapatkan struktur
spanning tree
telah dimiliki untuk setiap
1, ...,
i n
maka berkesempatan untuk memilih
edge
, 1
i i
atau
edge
, 1
i i
.
Salah satu
edge
, 1
i i
adalah bagian dari solusi optimal
T
dari permasalahan
minimum spanning tree
yang memenuhi kendala biaya pada graph di atas, maka
1
i
x
.
1 { ,
1} :
{ , 1}
i
if i i T
x if
i i T
Permasalahan
Knapsack
bisa direduksi kedalam permasalahan
minimum spanning tree
yang memenuhi kendala biaya. Selama permasalahan
knapsack
adalah NP-Hard, maka permasalahan
minimum spanning tree
dengan memenuhi kendala biaya juga termasuk dalam NP-Hard.
3.5 Kondisi
