= 1 − = 1
− exp −�
2
1 − =
−�
2
Dari persamaan 2.8 dan 2.18 diperoleh persamaan
= − =
− − �
2
2.20
Sehingga diperoleh fungsi densitas probabilitas dari distribusi Rayleigh adalah sebagai berikut:
= 2�
2
−�
2
0, � 0.
2.11 Prinsip Dasar Metode Maksimum Likelihood
Metode untuk mengestimasi harga parameter distribusi dari data dalam fungsi tahan hidup Survival adalah dengan menggunakan metode maksimum likelihood. Metode
maksimum likelihood menggunakan nilai dalam ruang parameter Ω yang bersesuaian dengan harga kemungkinan maksimum dari data observasi sebagai estimasi dari
parameter yang tidak diketahui. Dalam aplikasinya
Lθ menunjukkan fungsi densitas probabilitas bersama dari sampel random. Jika Ω ruang parameter yang merupakan interval terbuka dan Lθ
merupakan fungsi yang dapat diturunkan serta diasumsikan maks imum pada Ω maka
persamaan maksimum likelihoodnya adalah
� � � = 0 2.21
Jika penyelesaian dari persamaan tersebut ada, maka maksimum dari Lθ
dapat terpenuhi. Apabila penyelesaian dari persamaan 2.19 sukar diselesaikan maka
Universitas Sumatera Utara
fungsi Lθ dapat dibuat logaritma naturalnya, dengan ketentuan memaksimumkan
lnLθ, sehingga persamaan logaritma natural likelihoodnya adalah
� ln� � = 0 2.22
Jika fungsi densitas probabilitas bersama dari n variabel random
1, 2,
… ,
,
yang diobservasi pada
1, 2,
… ,
,
dinotasikan dengan f.
1, 2,
… ,
,
maka fungsi liklelihood dari himpunan pengamatan
1, 2,
… ,
,
dinyatakan sebagai
� � =
1
; �
2
; � … ; � =
1
; �
�=1
2.23 Dengan
parameter yang tidak diketahui Penduga maksimum likelihood dari
θ didapat dengan menyelesaikan persamaan � ln� � = 0,misalkan ada k parameter yang tidak diketahui,ma
ka penduga parameter likelihood dari �
�
didapat dengan menyelesaikan �
�
ln � �
1
, �
2
, … , � = 0, dengan � = 1, 2, 3, … , .
Universitas Sumatera Utara
BAB 3
PEMBAHASAN DAN HASIL
3.1 Estimasi Parameter untuk Data Waktu Hidup yang Berdistribusi
Rayleigh pada Data Tersensor Tipe II dengan Metode Maksimum Likelihood
Seringkali data hasil eksperimen tidak diketahui bentuk hubungan fungsional antara
variabel-variabel yang mempengaruhi nilai data sampel, sehingga sulit dalam melakukan suatu analisis statistik terhadap populasi yang diamati. Hubungan
fungsional ini digambarkan dengan suatu persamaan matematika yang berupa fungsi pendekatan, yaitu fungsi distribusi.
Untuk itu terlebih dahulu dipilih bentuk distribusi dari data dalam fungsi tahan hidup yang diduga, yaitu yang berbentuk parametrik dan data waktu hidup
diasumsikan berdistribusi Rayleigh. Kemudian dicari bentuk fungsi parameter yang diwakili data hasil eksperimen tersebut, agar dapat menduga nilai data pada harga
selanjutnya. Dalam skripsi ini digunakan metode maksimum likelihood untuk mencari estimasi parameter dari distribusi Rayleigh.
Metode maksimum likelihood menggunakan nilai dalam ruang parameter Ω yang bersesuaian dengan harga kemungkinan maksimum dari data observasi sebagai
estimasi dari parameter yang tidak diketahui. Dalam aplikasinya Lθ menunjukkan
fungsi densitas probabilitas bersama dari sampel random. Jika Ω ruang parameter yang merupakan interval terbuka dan
Lθ merupakan fungsi yang dapat diturunkan serta diasumsikan maksimum pada Ω maka persamaan maksimum likelihoodnya
adalah � ln� � = 0
Jika penyelesaian dari persamaan tersebut ada, maka maksimum dari Lθ
dapat terpenuhi. Apabila penyelesaian dari persamaan tersebut sukar untuk
Universitas Sumatera Utara
diselesaikan maka fungsi Lθ dapat dibuat logaritma naturalnya, dengan ketentuan ln
Lθ maksimum, sehingga persamaan logaritma natural maksimum likelihoodnya adalah
� ln� � = 0
Penduga maksimum likelihood dari θ didapat dengan menyelesaikan
persamaan � ln� � = 0,misalkan ada k parameter yang tidak diketahui,ma ka penduga parameter likelihood dari
�
�
didapat dengan menyelesaikan �
�
ln � �
1
, �
2
, … , � = 0, dengan � = 1, 2, 3, … , .
Misalkan ada n benda yang tahan hidupnya berdistribusi weibull mempunyai f.k.p = ��
� �−1
exp − �
�
0, � 0, � 0.
Dimana dari distribusi weibull diberi harga �=2 sehingga distribusinya menjadi
distribusi Rayleigh = 2�
2
−�
2
0, � 0.
Jika
1
,
2
, … adalah sampel random dari fungsi kepadatan peluang dari
distribusi Rayleigh, maka fungsi likelihoodnya adalah
� : � =
�
, � =
�=1
2
�=1
�
2 �
. −�
� 2
= 2 �
2 1
−�
1 2
. 2�
2 2
−�
2 2
.
…
. 2 �
2
−�
2
= 2 �
2
− �
� 2
�=1 �
�=1
3.1
Kemudian ditarik logaritma natural ln dari fungsi likelihood3.1, sehingga diperoleh fungsi log-likelihood dari distribusi Rayleigh sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
� : � = ln2�
2
− �
� 2
�=1 �
�=1
= ln 2�
2
+ ln − �
� 2
�=1
+ ln
� �=1
= ln
2�
2
− �
� 2
n i=1
+ ln
i n
i=1
3.2
Dengan menurunkan ln Lt: � terhadap parameter �, diperoleh
ln � : �
� =
2 � −
2 �
1 2
�=1
3.3
Estimator Maksimum likelihood � didapat dengan menyelesaikan persamaan
ln � : �
� = 0, sehingga diperoleh
2 � −
2 �
� 2
�=1
= 0
Sehingga Estimator Maksimum Likelihood dari parameter distribusi Rayleigh � yang merupakan bentuk khusus dari distribusi weibull diperoleh dengan sistem
persamaan berikut:
2 � −
2 �
� 2
�=1
= 0, dengan � 0
2 �
= 2 �
� 2
�=1
2 = 2 �
� 2
�=1
�
2
= 2
2
� 2
�=1
Universitas Sumatera Utara
Dan diperoleh
� =
� 2
�=1 1
2
3.4
3.2 Data Tersensor Tipe II untuk Distribusi Rayleigh