Prinsip Dasar Metode Maksimum Likelihood

= 1 − = 1 − exp −� 2 1 − = −� 2 Dari persamaan 2.8 dan 2.18 diperoleh persamaan = − = − − � 2 2.20 Sehingga diperoleh fungsi densitas probabilitas dari distribusi Rayleigh adalah sebagai berikut: = 2� 2 −� 2 0, � 0.

2.11 Prinsip Dasar Metode Maksimum Likelihood

Metode untuk mengestimasi harga parameter distribusi dari data dalam fungsi tahan hidup Survival adalah dengan menggunakan metode maksimum likelihood. Metode maksimum likelihood menggunakan nilai dalam ruang parameter Ω yang bersesuaian dengan harga kemungkinan maksimum dari data observasi sebagai estimasi dari parameter yang tidak diketahui. Dalam aplikasinya Lθ menunjukkan fungsi densitas probabilitas bersama dari sampel random. Jika Ω ruang parameter yang merupakan interval terbuka dan Lθ merupakan fungsi yang dapat diturunkan serta diasumsikan maks imum pada Ω maka persamaan maksimum likelihoodnya adalah � � � = 0 2.21 Jika penyelesaian dari persamaan tersebut ada, maka maksimum dari Lθ dapat terpenuhi. Apabila penyelesaian dari persamaan 2.19 sukar diselesaikan maka Universitas Sumatera Utara fungsi Lθ dapat dibuat logaritma naturalnya, dengan ketentuan memaksimumkan lnLθ, sehingga persamaan logaritma natural likelihoodnya adalah � ln� � = 0 2.22 Jika fungsi densitas probabilitas bersama dari n variabel random 1, 2, … , , yang diobservasi pada 1, 2, … , , dinotasikan dengan f. 1, 2, … , , maka fungsi liklelihood dari himpunan pengamatan 1, 2, … , , dinyatakan sebagai � � = 1 ; � 2 ; � … ; � = 1 ; � �=1 2.23 Dengan  parameter yang tidak diketahui Penduga maksimum likelihood dari θ didapat dengan menyelesaikan persamaan � ln� � = 0,misalkan ada k parameter yang tidak diketahui,ma ka penduga parameter likelihood dari � � didapat dengan menyelesaikan � � ln � � 1 , � 2 , … , � = 0, dengan � = 1, 2, 3, … , . Universitas Sumatera Utara BAB 3 PEMBAHASAN DAN HASIL 3.1 Estimasi Parameter untuk Data Waktu Hidup yang Berdistribusi Rayleigh pada Data Tersensor Tipe II dengan Metode Maksimum Likelihood Seringkali data hasil eksperimen tidak diketahui bentuk hubungan fungsional antara variabel-variabel yang mempengaruhi nilai data sampel, sehingga sulit dalam melakukan suatu analisis statistik terhadap populasi yang diamati. Hubungan fungsional ini digambarkan dengan suatu persamaan matematika yang berupa fungsi pendekatan, yaitu fungsi distribusi. Untuk itu terlebih dahulu dipilih bentuk distribusi dari data dalam fungsi tahan hidup yang diduga, yaitu yang berbentuk parametrik dan data waktu hidup diasumsikan berdistribusi Rayleigh. Kemudian dicari bentuk fungsi parameter yang diwakili data hasil eksperimen tersebut, agar dapat menduga nilai data pada harga selanjutnya. Dalam skripsi ini digunakan metode maksimum likelihood untuk mencari estimasi parameter dari distribusi Rayleigh. Metode maksimum likelihood menggunakan nilai dalam ruang parameter Ω yang bersesuaian dengan harga kemungkinan maksimum dari data observasi sebagai estimasi dari parameter yang tidak diketahui. Dalam aplikasinya Lθ menunjukkan fungsi densitas probabilitas bersama dari sampel random. Jika Ω ruang parameter yang merupakan interval terbuka dan Lθ merupakan fungsi yang dapat diturunkan serta diasumsikan maksimum pada Ω maka persamaan maksimum likelihoodnya adalah � ln� � = 0 Jika penyelesaian dari persamaan tersebut ada, maka maksimum dari Lθ dapat terpenuhi. Apabila penyelesaian dari persamaan tersebut sukar untuk Universitas Sumatera Utara diselesaikan maka fungsi Lθ dapat dibuat logaritma naturalnya, dengan ketentuan ln Lθ maksimum, sehingga persamaan logaritma natural maksimum likelihoodnya adalah � ln� � = 0 Penduga maksimum likelihood dari θ didapat dengan menyelesaikan persamaan � ln� � = 0,misalkan ada k parameter yang tidak diketahui,ma ka penduga parameter likelihood dari � � didapat dengan menyelesaikan � � ln � � 1 , � 2 , … , � = 0, dengan � = 1, 2, 3, … , . Misalkan ada n benda yang tahan hidupnya berdistribusi weibull mempunyai f.k.p = �� � �−1 exp − � � 0, � 0, � 0. Dimana dari distribusi weibull diberi harga �=2 sehingga distribusinya menjadi distribusi Rayleigh = 2� 2 −� 2 0, � 0. Jika 1 , 2 , … adalah sampel random dari fungsi kepadatan peluang dari distribusi Rayleigh, maka fungsi likelihoodnya adalah � : � = � , � = �=1 2 �=1 � 2 � . −� � 2 = 2 � 2 1 −� 1 2 . 2� 2 2 −� 2 2 . … . 2 � 2 −� 2 = 2 � 2 − � � 2 �=1 � �=1 3.1 Kemudian ditarik logaritma natural ln dari fungsi likelihood3.1, sehingga diperoleh fungsi log-likelihood dari distribusi Rayleigh sebagai berikut: Universitas Sumatera Utara � : � = ln⁡2� 2 − � � 2 �=1 � �=1 = ln ⁡2� 2 + ln − � � 2 �=1 + ln � �=1 = ln 2� 2 − � � 2 n i=1 + ln i n i=1 3.2 Dengan menurunkan ln Lt: � terhadap parameter �, diperoleh ln � : � � = 2 � − 2 � 1 2 �=1 3.3 Estimator Maksimum likelihood � didapat dengan menyelesaikan persamaan ln � : � � = 0, sehingga diperoleh 2 � − 2 � � 2 �=1 = 0 Sehingga Estimator Maksimum Likelihood dari parameter distribusi Rayleigh � yang merupakan bentuk khusus dari distribusi weibull diperoleh dengan sistem persamaan berikut: 2 � − 2 � � 2 �=1 = 0, dengan � 0 2 � = 2 � � 2 �=1 2 = 2 � � 2 �=1 � 2 = 2 2 � 2 �=1 Universitas Sumatera Utara Dan diperoleh � = � 2 �=1 1 2 3.4

3.2 Data Tersensor Tipe II untuk Distribusi Rayleigh