Variabel Random dan Distribusi Peluang .1 Defenisi Variabel Random Distribusi Peluang Diskrit dan Kontinu

c. Definisi Klasik Menurut definisi klasik, Bila suatu percobaan dapat menghasilkan N macam hasil yang berkemungkinan sama dan bila tepat sebanyak n dari hasil berkaitan dengan kejadian A, maka peluang kejadian A adalah nA PA =  N 2.2.1 Definisi Peluang Suatu Kejadian A Peluang suatu kejadian A adalah jumlah semua titik sampel yang termasuk A. Jadi dinyatakan dengan: 0 ≤ PA ≤ 1, P∅=0, PS=1. 2.2.2 Definisi Peluang Bersyarat Misalkan A dan B menyatakan dua kejadian dalam koleksi kejadian dalam ruang sampel S, maka peluang bersyarat dari kejadian A bila diberikan kejadian B dinotasikan dengan P  AB P AB =  dengan PB  0 P B 2.3 Variabel Random dan Distribusi Peluang 2.3.1 Defenisi Variabel Random Suatu fungsi bernilai real yang harganya ditentukan oleh tiap anggota dalam ruang sampel disebut suatu variabel random Ada dua macam variabel random, yaitu variabel random diskrit dan variabel random kontinu. Universitas Sumatera Utara 2.3.2 Definisi Variabel Random Diskrit Jika semua himpunan nilai yang mungkin dari suatu variabel random X merupakan himpunan terbilang countable set, yaitu { x 1 , x 2 ,, ..., x n } atau { x 1 , x 2 ,, ...}, maka X disebut variabel random diskrit. 2.3.3 Definisi Variabel Random Kontinu Jika himpunan semua nilai yang mungkin dari suatu variabel random X merupakan selang bilangan real, maka X disebut variabel random kontinu.

2.4 Distribusi Peluang Diskrit dan Kontinu

2.4.1 Defenisi Distribusi Peluang Diskrit Fungsi fx adalah suatu fungsi peluang atau distribusi peluang suatu peubah acak diskrit X bila, untuk setiap hasil x yang mungkin a. fx ≥ 0 b. = 1 c.PX = x Distribus kumulatif Fx yaitu suatu variabel random diskrit X dengan distribusi peluang fx dinyatakan oleh = = − ∞ ∞ 2.4.2 Defenisi Distribusi Peluang Kontinu Fungsi fx adalah fungsi padat peluang peubah acak kontinu X, yang didefenisikan atas himpunan semua bilangan real R, bila a. fx ≥ 0, untuk semua x di R Universitas Sumatera Utara b. = 1 ∞ −∞ . = dinamakan fungsi densitas probabilitas dari variabel random kontinu X. Jika variabel random kontinu X memiliki fungsi densitas probabilitas fx, maka peluang suatu kejadian atau peristiwa A, diberikan oleh = � 2.4.3 Definisi Fungsi densitas probabilitas kontinu Fungsi densitas probabilitas kontinu adalah Suatu fungsi fx yang didefinisikan pada selang nilai variabel random X. sehingga fungsi distribusi kumulatifnya dapat dinyatakan sebagai. = −∞ 2.5 Konsep Dasar Distribusi waktu Hidup Fungsi-fungsi pada distribusi tahan hidup merupakan suatu fungsi yang menggunakan variable random. Waktu hidup adalah interval waktu yang diamati dari suatu individu saat pertama kali masuk kedalam pengamatan hingga keluar dari pengamatan. Misalnya interval waktu sampai rusaknya suatu barang produksi, matinya suatu makhluk hidup, kambuhnya suatu penyakit, dan lain-lain. Variable random nonnegative waktu hidup biasanya dinotasikan d engan huruf “T’’, dan akan membentuk suatu distribusi. Distribusi dari waktu hidup dapat disajikan oleh tiga fungsi berikut: Universitas Sumatera Utara 2.5.1.Fungsi Kepadatan Peluang Fungsi Kepadatan Peluang adalah probabilitas suatu individu mati atau gagal dalam interval waktu dari t sampai t + t, dengan waktu T merupakan variabel random. Fungsi densitas Probabilitas dinyatakan dengan. = lim ∆ →0 + ∆ ∆ … 2.1 Waktu hidup merupakan variabel random non negatif, sehingga waktu hidup hanya diukur untuk nilai t yang positif, maka diperoleh = 0 = 1 ∞ 2.5.2. Fungsi Tahan Hidup Survival Fungsi tahan hidup Survival adalah probabilitas suatu individu yang masih dapat bertahan hidup sampai dengan waktu t t 0. Jika T merupakan variabel random dari waktu hidup suatu individu dalam interval [0,∞, maka fungsi distribusi kumulatif Ft untuk distribusi kontinu dengan fungsi densitas probabilitas ft dinyatakan sebagai berikut = atau = , 0 2.2 Oleh karena itu diperoleh fungsi tahan hidup Survival yang didefinisikan dengan St = P T  t = 1- P T  t = 1- Ft 2.3 Universitas Sumatera Utara Dalam beberapa hal, khususnya yang mencakup tahan hidup dari komponen- komponen industri, St ditentukan sebagai fungsi Survival. Jadi hubungan fungsi densitas probabilitas dengan fungsi tahan hidup Survival adalah = lim ∆ →0 + ∆ ∆ = , = − , 2.4 Dalam hal ini fungsi tahan hidup St merupakan fungsi monoton turun yang mempunyai sifat i. S0 =1, artinya peluang suatu individu bertahan hidup lebih lama dari waktu nol adalah 1 ii. S ∞ = 0 , artinya peluang suatu individu bertahan hidup pada waktu yang tak terhingga adalah 0. 2.5.3. Fungsi Kegagalan Hazard Function Fungsi Kegagalan adalah probabilitas suatu individu mati dalam interval waktu dari t sampai t+ Δt, jika diketahui individu tersebut masih dapat bertahan hidup sampai dengan waktu t. fungsi hazard secara matematika dinyatakan sebagai: ℎ = lim ∆ →0 + ∆  ∆ 2.5 Misalkan ft adalah fungsi densitas probabilitas pada waktu t, maka dari persamaan 2.5 diperoleh: ℎ = lim ∆ →0 + ∆  ∆ = lim ∆ →0 + ∆ ∩ . ∆ Universitas Sumatera Utara = lim ∆ →0 + ∆ . ∆ = lim ∆ →0 1 + ∆ − ∆ 1 − = lim ∆ →0 + ∆ − ∆ . 1 = , ℎ = 2.6 Dari persamaan 2.4 dan 2.6 diperoleh ht sebagai berikut: ℎ = − ′ = − ′ . ln = − . ln ℎ = − ln 2.7 Dari persamaan 2.7 diperoleh ℎ = − ln  − ℎ = Universitas Sumatera Utara ⇔ − ℎ = ln  � � Karena S0=1, maka diperoleh − ℎ = ln ⟺ =  − ℎ  t Dari uraian di atas diperoleh hubungan antara ft, St, dan ht sebagai berikut: i = − ′ 2.8 ii ℎ = iii =  − ℎ  t Dengan demikian jika fungsi hazard ht dari suatu distribusi dalam tahan hidup diketahui, maka ft, Ft dan St dapat dicari. Sedangkan fungsi hazard kumulatif didefinisikan dengan H = ℎ 2.9 melalui persamaan 2.8 fungsi hazard kumulatif yang dihubungkan dengan fungsi tahan hidup diperoleh = −� Dan dari persamaan 2.6 dan 2.8 diperoleh Universitas Sumatera Utara = ℎ  − ℎ  t 2.10 2.6 Statistik Terurut Himpunan variabel random 1, 2, … , disebut sampel random yang berukuran n dari suatu populasi denga fungsi densitas fx maka fungsi densitas probabilitas bersama dari variabel random independen akan diberikan sebagai 1, 2, … , = 1 2 … Jika sampel random yang berukuran n tersebut diurutkan dalam suatu urutan naik maka disebut statistik terurut atau order statistik dari 1 , 2, … , dan dinyatakan dengan 1. , 2. , … , . atau 1, 2, … , dengan � = � , i = 1, 2, … , n. dan misalkan 1, 2, … , adalah sampel random yang berukuran n dari fungsi densitas probabilitas, fx, dimana untuk fx kontinu dan fx 0; a x b, maka fungsi densitas probabilitas dari statistik terurut ke-k, adalah ℊ = − 1 − −1 1 − − jika 2.7 Sistem keandalan Dalam konsep keandalan, juga terdapat beberapa sistem yang dinyatakan untuk membantu memutuskan apakah sistem gagal secara total atau tidak. Dalam suatu proses, tidaklah selalu mudah untuk memutuskan kriteria-kriteria kegagalan dalam sitem tersebut. Sebagai contoh, kita perhatikan criteria kegagalan dalam sistem sebuah mobil. Jika tidak dapat bergerak dengan tenaganya sendiri, maka mobil tersebut dinyatakan telah rusak atau sistemnya. Namun haruskah rusaknya penghapus kaca pada mobil tersebut juga dihitung sebagai suatu kegagalan total, walaupun mobil tersebut dapat digunakan pada cuaca cerah, mungkin tidak akan dapat digunakan secara total pada waktu hujan lebat, yang berarti terjadinya kerusakan sistem. Oleh karena itu, kerusakan sisten sering diakibatkan oleh kegagalan atau kerusakan dari komponen-komponenya. Universitas Sumatera Utara Untuk itulah dibwah ini akandiberikan tiga system yang dapat dikatakan sebagai sistem dasar dari keandalan sistem. Yaitu sitem seri, parallel dan gabungan dari seri dengan paralel. 2.7.1 Sistem keandalan seri Suatu sistem dapat dimodelkan dengan susunan seri jika kompenen-komponen yang ada didalam sistem itu harus bekerja seluruhnya agar sistem tersebut sukses dalam menjalankan fungsinya. Atau denga kata lain bila ada satu komponen saja tidak bekerja, maka akan mengakibatkan system itu gagal menjalankan fungsinya. Secara diagram, system keandalan seri dapat dilihat pada gambar 2.1 Gambar 2.1 Diagram pada gambar diatas sering disebut Diagram Blok Keandalan Reliability Block Diagram RDB. Perlu diperhatikan bahwa diagram ini tidak mewakili setiap komponen yang dihubungkan secara seri, tetapi menunjukkan bagaimana komponen-komponen itu diperlakukan dari sudut pandang keandalan. Jika ada n buah komponen dalam susunan seri dan masing-masing memiliki indeks keandalan 1, 2, …, , seperti terlihat pada gambar 2.1, maka secara umum system keandalan seri dirumuskan sebagai berikut: = 1 . 2 . … . = � 2.11 �=1 Sedangkan ekspresi ketidakandalan dari system dengan susunan seri dari n buah komponen adalah = 1 − = 1 − � 2.12 �=1 1 2 n Universitas Sumatera Utara Contoh 2.1 Sebuah sistem control terdiri dari lima buah unit dimana semua unit pendukungnya bekerja seluruhnya agar system control tersebut dapat berfungsi. Jika indeks keandalan dari kelima unit masing-masing adalah 0,90; 0,95; 0,87; 0,93; dan 0,90 tentukan indeks keandalan dari sistem kontrol tersebut. Penyelesaian : Blok diagram keandalan yang paling mewakili dari system control tersebut adalah blok diagram keandalan dengan susunan seri. Jika keandalan dari masing-masing unit disimbolkan dengan � maka keandalan dari system control itu adalah = � = 0,90 0,95 0,87 0,93 0,90 = 0,622602 5 �=1 Jadi keandalan dari sistem control tersebut adalah 0,622602 2.7.2 Sistem Keandalan Paralel Pada sistem ini setiap komponen yang mungkin mengalami kerusakan tidak akan mengakibatkan kerusakan sistem secara keseluruhan, dan sering dinamakan fault tolerant kerusakan yang dapat ditolerir. Ada dua jenis dari system kendalan paralel ini, yakni kelebihan redundant aktif dan kelebihan pasif. Pada kelebihan aktif, dua atau lebih unit diletakkan dalam system keandalan paralel dimana secara normal pembagian fungsi dilakukan tetapi unit-unit atersebaut diatur sedemikian hingga jika satu unit atau lebih mengalami kerusakan, maka sisanya dapat menggantikan possisinya. Sebagai contoh adalah dua mesin pesawat terbang yang diaktifkan tetapi tidak menutup kemungkinan pesawat untuk terbang dengan satu mesin, apabila mesin yang satunya mengalami kerusakan. Pada kelebihan pasif, satu unit secara normal memegang fungsi secara penuh tetapi jika unit tersebut mengalami kerusakan, maka unit yang lain akan diaktifkan untuk mengambil alih perannya. Universitas Sumatera Utara 2.7.2.1 Sistem Keandalan Paralel Kelebihan Aktif Misalkan ada dua unit 1 dan 2 dihubungkan dalam system parallel seperti gambar dibawah ini. Gambar 2.2 Sistem akan rusak apabila kedua-duanya mengalami kerusakan. Keandalan system dikalkulasikan sebagai berikut, jika didefenisikan bahwa = ketidakandalan sistem Maka = 1 ∩ 2 Dimana adalah kejadian komplemen bebas sehingga diperoleh = 1 − � 2.13 �=1 Jika peluang dari kegagalan adalah independent, maka fungsi system keandalannya adalah = 1 − 1 − 1 �=1 2.14 2.7.2.2 Sistem Keandalan Paralel Kelebihan Pasif 1 2 Universitas Sumatera Utara Pada sistem redundan pasif, unit utama1 secara normal membawa fungsi secara penuh dan unit siaga 2 dibawa untuk digunakan ketika unit utama mengalami kegagalan. Secara sederhana, redundan pasif dapat ditunjukkan pada gambar berikut: Gambar 2.3 Cara untuk menganalisa sistem ini adalah harus mempertimbangkan bahwa system kegagalan waktu adalah variable acak yang mengandung jumlah dari dua variable acak, yakni kegagalan waktu 1 dan kegagalan waktu 2. Jika 1 = 2 = exp⁡−� Maka dapat dituliskan : = 1 + � exp⁡−� 2.7.3 Kombinasi Sistem Seri dan Paralel Kombinasi dari system seri dan paralel dapat di selesaikan dengan menggabungkan masing-masing subsistem ke dalam komponen seri maupun paralel terlebih dahulu. Untuk lebih memahami sistem kombinasi seri dan paralel, akan diberikan contoh gambar seperti berikut ini: 1 2 Universitas Sumatera Utara Gambar 2.4 sistem seri-paralel Gambar 2.5 sistem paralel -seri Dari kedua gambar diatas, gambar 2.4 menunjukkan system kombinasi seri dan paralel. Untuk menyelesaikan sistem gabungan ini pertama-tamakita gabungkan subsistem parelel kedalam bentuk yang sama dengan komponen seri. Misalkan: = 0.9, = 0.8, = 0.7, dan = 0.6 Maka penyelesaian dapat dituliskan = 1 − 0.1 0.2 = 1 − 0.02 = 0.98 Dan = 1 − 0.3 0.4 = 1 − 0.12 = 0.88 Maka keandalan sistem secara keseluruhan adalah = 0.98 0.88 = 0.8624 A A C B D C B D Universitas Sumatera Utara Untuk gambar 2.5 seperti yang ditunjukkan, merupakan system kombinasi paralel- seri. Untuk menyelasaikannya, pertama-tama kita gabungkan subsistem seri ke dalam bentuk yang sama dengan komponen paralel. Untuk pemisalan yang sama dengan diatas, maka diperoleh penyelesaiannya sebagi berikut: = 0.9 0.7 = 0.63 Dan = 0.8 0.6 = 0.48 Sehingga keandalan sistem secara keseluruhan adalah = 1 − 1 − 1 − = 1 − 1 − 0.63 1 − 0.48 = 1 − 0.37 0.52 = 1 − 0.1924 = 0.8076

2.8 Data Tersensor