Contoh 2.6.4.1
Dari gambar 2.7 sebelumnya maka matriks adjency dari graph tersebut adalah
Jelas dari matriks diatas bahwa matriks tersebut adalah matriks simetri karena matriks tersebut sama dengan transposnya.
2.7 Harga Eigen .
Definisi 2.7.1. Jika A adalah matriks berukuran n x n, maka suatu vektor tak nol x di R
n
dinamakan vektor eigen dari A jika Ax adalah perkalian skalar dari x yaitu Ax =
λx untuk beberapa skalar λ. Skalar λ dinamakan harga eigen dari A dan x
dikatakan vektor eigen terhadap λ. Untuk memperoleh harga eigen dari matriks A
berukuran n x n adalah dengan cara sebagai berikut: Ax = λIx atau ekuivalen dengan
λI – Ax = 0. dengan mencari determinan dari λI – Ax = 0 atau det λI – A = 0
akan memberikan solusi bagi
λ. λI – A = 0 dinamakan persamaan karakteristik
sedangkan det λI – A dinamakan polinomial karakteristik.
Contoh 2.7.1
Tentukan harga eigen dari matriks
A =
Universitas Sumatera Utara
Solusi.
Karena
λI – A = λ -
polinomial karakteristik dari A adalah
det λI – A = det
= λ
2
- 3 λ + 2
dan persamaan karakteristik dari A adalah λ
2
- 3 λ + 2 = 0.
Serta solusi dari persamaan ini adalah λ = 1 dan λ = 2 yang merupakan harga eigen
dari A.
2.8 Bentuk Kuadratik
Definisi 2.8.1. Suatu bentuk kuadratik dalam x
1
, x
2
, ..., x
n
adalah suatu pernyataan yang dapat ditulis sebagai
[x
1
x
2
... x
n
] A
yang mana A adalah matriks simetri n x n.
Jika dianggap x = maka definisi diatas dapat ditulis sebagai x
T
Ax atau dapat juga
Universitas Sumatera Utara
ditulis dalam bentuk perkalian keluar adalah
x
T
Ax = a
11
+ a
22
+ ... + a
nn
+ .
Berikut adalah contoh bentuk kuadratik dalam x dan y :
2x
2
+ 6xy – 7y
2
= [x y]
Definisi 2.8.2. Suatu bentuk kuadratik x
T
Ax adalah semidefinit positif jika x
T
Ax ≥ 0 untuk semua harga x.
Teorema 2.8.3. Jika A adalah matriks simetri maka matriks A adalah
semidefinit positif jika harga eigen dari A adalah nonnegatif.
Bukti. Asumsikan bahwa matriks A adalah semidefinit postif. Anggap
λ
adalah harga eigen yang berkenaan terhadap vektor eigen x, maka 0 ≤ x
T
Ax = x
T
λx = λx
T
x = λ|| x ||
2
. Karena
|| x ||
2
0 maka λ positif.
2.9 Bentuk Umum Pemrograman Kuadratik
Definisi 2.9.1. Bentuk umum pemrograman kuadratik dapat dituliskan sebagai
berikut:
Minimumkan x
T
Ax + x
T
c
Dengan kendala x = b
i
, i ∈ E
x
≤ b
i
yang mana E dan I adalah himpunan-himpunan indeks untuk kendala-kendala persamaan dan kendala-kendala pertidaksamaan. Matriks A adalah matriks
semidefinit positif. Jika A adalah matriks semidefinit positif, maka fungsi ƒ adalah
fungsi konvek. , i
∈ I
Universitas Sumatera Utara
2.10 Masalah Pembagian Graph Berbobot Ganda
