Bukti. Fungsi
ƒ adalah fungsi konvek. Untuk semua α, 0 ≤ α ≤ 1,
ƒαx + 1 - αy ≤ αƒx + 1- αƒ y atau ƒαx + 1 - αy ≤ αƒx - αƒ y +ƒ y ƒαx + 1 - αy ≤ α[ƒx - ƒ y] +ƒ y ƒαx + y - αy ≤ α[ƒx - ƒ y] +ƒ y ƒy +
αx - y ≤ α[ƒx - ƒ y] +ƒ y untuk 0 α ≤ 1,
≤ ƒx - ƒ y dan
jika
α → 0 akan diperoleh ƒy ≥ ƒx + ∇ƒxy – x untuk semua x, y ∈ C.
2.3 Syarat Perlu Orde Pertama
2.3.1 Definisi Titik Minimum Relatif dan Titik Minimum Global
Definisi 2.3.1.1. Suatu titik x dinamakan sebagai titik minimum relatif dari
fungsi
ƒ di C jika terdapat ε 0 sehingga ƒx ≥ ƒx untuk semua x
∈ C dalam jarak
ε dari x .
Definisi 2.3.1.2. Suatu titik x dinamakan sebagai titik minimum global dari
fungsi
ƒ di C jika ƒx ≥ ƒx untuk semua x
∈ C.
2.3.2 Arah layak
Untuk menurunkan syarat perlu orde pertama oleh titik minimum relatif, ide dasarnya adalah memperhatikan pergerakan titik tersebut dengan diberikan beberapa
arah dan sepanjang arah yang diberikan fungsi tujuan dapat dipandang sebagai fungsi
dari satu variabel. Dengan diberikan diberikan x ∈ C dan diberi d sebagai arah layak
di x dan jika terdapat suatu 0 sehingga x + αd ∈ C untuk semua 0 ≤ α ≤ .
Teorema 2.3.2.1 Syarat perlu orde pertama. Anggap C adalah himpunan
konvek dan fungsi ƒ ∈ C
1
terdefinisi di C. Jika x adalah titik minimum relatif dari
ƒ
di C, maka untuk sebarang d
∈ R
n
adalah arah layak di x berlaku
∇ƒx d
≥ 0.
Universitas Sumatera Utara
Bukti. Untuk sebarang α, 0 ≤ α ≤ , titik xα = x
+
αd ∈ C juga definisikan
fungsi g
α = ƒxα, maka fungsi g memiliki minimum relatif di α = 0.
Dari kalkulus biasa
g α – g0 = g
’
α + oα 4
Jika g
’
0 0 maka untuk harga α yang cukup kecil α 0, sisi kanan dari 4 adalah
negatif sehingga g α – g0 0. Hal ini kontradiksi dengan minimal dari g0.
Dengan demikian g
’
0 =
∇ƒx d
≥ 0.
g g’0 gx
x α
GAMBAR 2.4. Konstruksi untuk bukti
Teorema 2.3.2.2. Anggap fungsi
ƒ adalah fungsi kontinu dan dapat diturunkan dua kali. Jika fungsi
ƒ adalah konvek didalam daerah definisi himpunan konvek dan berisi satu titik interior jika dan hanya jika Hessian matriks H dari
ƒ
adalah semidefinit positif diseluruh C
Bukti. Dari teorema Taylor, ƒy = ƒx + ∇ƒxy – x + y – x
T
Hx + αy –
xy – x untuk beberapa
α, 0 ≤ α ≤ 1. Jelasnya, jika Hessian semidefinit positif, didapat
Universitas Sumatera Utara
ƒy ≥ ƒx + ∇ƒxy – x 5
dari teorema 2.2.2 yang mengakibatkan fungsi ƒ adalah konvek. Sekarang anggap
Hessian tidak semidefinit positif di beberapa titik x ∈ C. Anggap y ∈ C sehingga
y – x
T
Hxy – x 0 yang mana y dapat dipilih sehingga untuk semua
α, 0 ≤ α ≤ 1,
y – x
T
Hx + αy – xy – x 0. Dalam hal ini menurut teorema Taylor, 5 tidak
terpenuhi dan mengakibatkan fungsi ƒ tidak konvek.
Dari teorema 2.3.1 diperoleh
ƒy ≥ ƒx + ∇ƒxy – x. Anggap terdapat suatu titik x
∗
sehingga untuk semua y ∈ C berlaku ∇ƒx
∗
y – x
∗
≥ 0 maka
ƒy ≥ ƒx
∗
+
∇ƒx
∗
y – x
∗
≥ ƒ x
∗
dalam hal ini fungsi ƒ memiliki minimum
global.
∇ƒx
∗
y – x
∗
≥ 0 oleh teorema syarat perlu titik minimum relatif dapat bahwa
y – x
∗
= d.
Jika suatu fungsi ƒ yang kontinu dan dapat diturunkan dua kali maka terdapat
suatu
α, 0 ≤ α ≤ 1 sehingga ƒy = ƒx + ∇ƒxy – x + y – x
T
H
αx + 1 - αyy – x disebut sebagai teorema Taylor orde dua.
Jika fungsi ƒ adalah fungsi yang kontinu dan dapat diturunkan dua kali maka
matriks Hessi dari
ƒ di x adalah matriks n x n dan dinotasikan dengan ∇
2
ƒx atau Hx sebagai
Hx =
Karena =
sehingga terlihat bahwa matriks Hessi adalah simetri dan Hessian dari fungsi
ƒ adalah nilai determinan dari matriks Hessi.
Universitas Sumatera Utara
2.4 Graph
