2.1.3 Eigen value dan Eigenvector
Definisi. Jika A adalah matriks n n
× maka vektor tak nol x di dalam
n
ℜ
dinamakan dinamakan eigen vector dari A jika Ax kelipatan skalar x, yakni Ax
x λ
= Skalar
λ dinamakan eigen value dari A dan x dikatakan eigenvector yang bersesuaian dengan
λ
.
untuk mencari eigen value dari matriks A yang berukuran n n
× maka dapat ditulis pada persamaan berikut :
Ax x
λ =
atau secara ekivalen
I A
λ
− =
Agar λ menjadi eigen value, maka harus ada pemecahan tak nol dari persamaan ini.
Akan tetapi, persamaan diatas akan mempunyai pemecahan tak nol jika dan hanya jika:
det
I A
λ
− =
Ini dinamakan persamaan karakteristik A, skalar yang memenuhi persamaan ini adalah eigen value dari A.
Bila diketahui bahwa nilai perbandingan elemen A
i
terhadap elemen A
j
adalah
ij
a
, maka secara teoritis matriks tersebut berciri positif berkebalikan, yakni
1
ij ij
a a
= .
Bobot yang dicari dinyatakan dalam vektor
1 2
3
, ,
,...,
n
w w w w
w =
.
Nilai w
n
menyatakan bobot kriteria A
n
terhadap keseluruhan set kriteria pada sub sistem tersebut.
Jika
ij
a
mewakili derajat kepentingan i terhadap faktor j dan
jk
a
manyatakan kepentingan dari faktor j terhadap faktor k, maka agar keputusan menjadi konsisten,
kepentingan i terhadap faktor k harus sama dengan
.
ij jk
a a
atau jika
.
ij jk
ik
a a a
=
untuk semua i,j,k maka matriks tersebut konsisten.
Untuk suatu matriks konsisten dengan faktor w, maka elemen
ij
a
dapat ditulis menjadi :
i ij
j
w a
w =
;
, 1, 2, 3,...,
i j n
∀ =
1
Universitas Sumatera Utara
Jadi matriks konsisten adalah:
. .
j i
i ij
jk ik
j k
k
w w
w a a
a w
w w
= =
=
2 Seperti yang diuraikan diatas, maka untuk pairwise comparison matrix diuraikan
seperti berikut ini: 1
1
j ji
i i
ij j
w a
w w
a w
= =
= 3
Dari persamaan tersebut di atas dapat dilihat bahwa .
1
i ji
j
w a
w = ;
, 1, 2, 3,...,
i j n
∀ =
4 Dengan demikian untuk pairwise comparison matrix yang konsisten menjadi:
1
1 .
.
n ij
ij j
ij
a w n
w
=
=
∑
; ,
1, 2, 3,..., i j
n ∀ =
5
1
.
n ij
ij ij
j
a w nw
=
=
∑
; ,
1, 2, 3,..., i j
n ∀ =
6 Persamaan di atas ekivalen dengan bentuk persamaan matriks di bawah ini:
. .
A w n w
= 7
Dalam teori matriks, formulasi ini diekspresikan bahwa w adalah eigenvector dari matriks A dengan eigen value n. Perlu diketahui bahwa n merupakan dimensi matriks
itu sendiri. Dalam bentuk persamaan matriks dapat ditulis sebagai berikut:
1 1
1 1
1 1
2 2
2 2
2 2
1 2
.
n n
n n
w w
w w
w w
w w
w w
A n
w w
w w
w w
w w
==
8
Pada prakteknya, tidak dapat dijamin bahwa :
ik ij
jk
a a
a =
9 Salah satu faktor penyebabnya yaitu karena unsur manusia decision maker
tidak selalu dapat konsisten mutlak absolte consistent dalam mengekpresikan preferensinya terhadap elemen-elemen yang dibandingkan. Dengan kata lain,
judgment yang diberikan tidak untuk setiap elemen persoalan pada suatu level hierarchy dapat saja inconsistent.
Universitas Sumatera Utara
Jika : 1
Jika λ
1
, λ
2
,..., λ
n
adalah bilangan-bilangan yang memenuhi persamaan : Ax
x λ
= 10
Dengan eigen value dari matriks A dan jika 1;
1, 2,...,
ii
a i
n = ∀ =
,
maka dapat ditulis
i
n λ =
∑
11 Misalkan kalau suatu pairwise comparison matrix bersifat ataupun memenuhi
kaidah konsistensi seperti pada persamaan 2, maka perkalian elemen matriks sama dengan 1.
11 12
21 22
A A
A A
A
=
maka
21 12
1 A
A =
12
Eigen value dari matriks A,
Ax x
A I x
A I
λ λ
λ
− =
− =
− =
13
Kalau diuraikan lebih jauh untuk persamaan 13, hasilnya menjadi :
11 12
21 22
A A
A A
λ λ
− =
− 14
Dari persamaan 14 kalau diuraikan untuk mencari harga eigen value maximum λ-max yaitu :
2 2
2
1 1
1 2 1
2 2
λ λ λ
λ λ
λ λ
− − =
− + − =
− =
− =
1 2
; 2
λ λ
==
Dengan demikian matriks pada persamaan 12 merupakan matriks yang konsisten, dimana nilai λ – max sama dengan harga dimensi matriksnya.
Jadi untuk n 2, maka semua harga eigen value-nya sama dengan nol dan hanya ada satu eigen value yang sama dengan n konstan dalam kondisi matriks
konsisten.
Universitas Sumatera Utara
2 Bila ada perubahan kecil dari elemen matriks maka
ij
a
eigen value-nya akan berubah menjadi semakin kecil pula.
Dengan menggabungkan kedua sifat matriks aljabar linier. Jika: a.
Elemen diagonal matriks A
ii
a =1
1, 2,..., i
n ∀ =
b. Dan untuk matriks A
yang konsisten, maka variasi kecil dari
, 1, 2,...,
ij
a i j
n ∀
=
akan membuat harga eigen value yang lain mendekati nol.
2.1.4 Uji Konsistensi Indeks dan Rasio
Kategori