untuk mendapatkan makanan, sehingga spesies mangsa berkurang. Jadi laju pertumbuhan logistik untuk populasi mangsa adalah
. t
bx dt
dx
2
Jika laju pertumbuhan logistik mangsa mempengaruhi model Lotka –Volterra pada
persamaan 2.22 dan terjadi interaksi antara mangsa dan pemangsa, maka model Lotka
–Volterra logistik adalah
. t
y t
f x t
ey dt
dy t
y t
cx t
bx t
ax dt
dx
2
2.24
Parameter a, b, c, e, f menunjukkan interaksi antara kedua spesies tersebut,
dengan a menunjukkan laju kelahiran dari populasi mangsa, b menunjukkan tingkat interaksi antar spesies mangsa untuk mendapatkan makanan, c
menunjukkan tingkat interaksi antara mangsa dan pemangsa yang berpengaruh terhadap mangsa atau menunjukkan adanya predasi yang mengakibatkan
berkurangnya mangsa, e menunjukkan laju kematian dari populasi pemangsa karena bergantung pada mangsa dan kematian alami yang mengakibatkan
berkurangnya pemangsa, f menunjukkan tingkat interaksi antara mangsa dan pemangsa yang berpengaruh pada pemangsa.
2.6.4 Analisis Model Lotka –Volterra Logistik
Pada bagian ini akan dibahas kestabilan titik tetap pada model Lotka –
Volterra logistik. Perhatikan model Lotka –Volterra logistik yang telah diberikan
pada persamaan 2.24 sebagai berikut
. f xy
ey dt
dy cxy
bx ax
dt dx
2
Titik tetap pada model Lotka –Volterra logistik pada persamaan 2.24 diperoleh
berdasarkan sistem persamaan berikut
.
fx
e y
cy bx
a x
Penyelesaian persamaan di atas memberikan titik tetap
,
1
T
,
,
2
b a
T
dan
, cf
be c
a f
e T
3
. Dengan melinearkan model Lotka –Volterra logistik di atas, akan
diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut
f x e
f y cx
cy bx
a J
2
. Matriks Jacobi untuk titik tetap pertama
,
1
T
adalah
e a
J
T
1
.
Nilai eigen matriks Jacobi tersebut adalah
a
1
dan
e
2
. Karena kedua
nilai eigen berbeda tanda, maka titik tetap
,
1
T
bersifat sadel. Jadi sistem tidak stabil pada titik tetap tersebut.
Matriks Jacobi untuk titik tetap kedua
,
2
b a
T
adalah
b
af e
b ac
a J
T
2
.
Nilai eigen matriks Jacobi tersebut adalah
a
1
dan
b af
e
2
. Ini
berarti, jika
be af
negatif, maka nilai eigen
,
2
b a
T
keduanya bernilai negatif, sehingga titik tetap
,
2
b a
T
bersifat stabil. Jika
be af
positif,
1
negatif dan
2
positif, maka titik tetap
,
2
b a
T
bersifat sadel.
Matriks Jacobi untuk titik tetap ketiga
, cf
be c
a f
e T
3
adalah
1
3
be af
c f
ce f
be J
T
.
Jadi jika
be af
negatif maka
1
positif dan
2
negatif. Hal ini mengakibatkan titik tetap
, cf
be c
a f
e T
3
bersifat sadel, dan jika
be af
positif maka
1
dan
2
bernilai negatif, sehingga titik tetap
, cf
be c
a f
e T
3
bernilai negatif.
Selanjutnya, tinjau masalah nilai awal berikut
. .
. .
. xy
y y
xy x
x x
1 5
1 1
2
2
2.25
dengan syarat awal
, 10
x
. 5
y
Dalam hal ini dipilih parameter
, 2
a
, .1
b
, .1
c
, .5
e
. .1
f
Dengan menggunakan software Mathematica diperoleh bidang phase untuk masalah nilai awal 2.25 yang ditunjukkan pada Gambar 5. Berdasarkan
Gambar 5 diperoleh bahwa pada titik tetap
1
T
sistem tidak stabil,
2
T
bersifat stabil untuk
be af
negatif dan bersifat tidak stabil untuk
be af
positif, sedangkan
3
T
bernilai negatif .
Gambar 5 Bidang phase masalah nilai awal 2.25. Dengan bantuan software Mathematica diperoleh penyelesaian numerik
masalah nilai awal 2.25, seperti digambarkan pada Gambar 6 berikut.
Gambar 6 Penyelesaian numerik masalah nilai awal 2.25.
5 1 0
1 5 5
1 0 1 5
2 0 2 5
3 0
5 10
15 20
t 5
10 15
y x
1
T
x
2
T y
III HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bagian ini akan dibahas penggunaan metode homotopi dan metode homotopi Pade untuk menyelesaikan masalah pada model Lotka
–Volterra dan model Lotka
–Volterra dengan logistik.
3.1 Model Lotka
