homotopi. Hal ini terlihat pada galat yang muncul, dimana galat pada metode homotopi Pade
lebih kecil dibandingkan galat pada metode homotopi.
3.1.2 Kasus Kedua Model Lotka –Volterra
Dalam kasus ini terdapat interaksi dua spesies antara spesies mangsa dan spesies pemangsa. Misalkan pada kondisi awal banyaknya mangsa
5
1
n
dan banyaknya pemangsa
7
2
n
dan dipilih laju kelahiran mangsa
1
a
, tingkat interaksi antara mangsa dan pemangsa yang mengakibatkan berkurangnya mangsa
1 0.
c
, laju kematian pemangsa
5 0.
e
dan tingkat interaksi antara pamangsa dan mangsa yang mengakibatkan bertambahnya pemangsa
1 0.
f
. Penyelesaian persamaan 3.1 kasus kedua dengan menggunakan metode
homotopi sampai suku yang keempat diperoleh dalam bentuk
t x
t x
t x
t x
t x
t x
4 3
2 1
,
t y
t y
t y
t y
t y
t y
4 3
2 1
dengan
, t
n t
x
1
, t
n t
y
2
dan
4 3
2 1
, ,
, ,
,
i t
y t
x
i i
dihitung dengan bantuan software Mathematica dan diberikan pada Lampiran 5. Grafik penyelesaian persamaan 3.1 untuk kasus pertama dengan menggunakan
metode homotopi dapat dilihat pada Gambar 9. Berdasarkan penyelesaian
t x
dan
t y
pada persamaan 3.6, maka penyelesaian dengan menggunakan metode homotopi Pade
dari persamaan 3.5 dengan koefisien
k
p
dan
k
q
diperoleh dengan bantuan software Mathematica dan diberikan pada Lampiran 5. Grafik penyelesaian dengan menggunakan metode homotopi Pade
dapat dilihat pada Gambar 9. Pada Gambar 9 juga diperlihatkan perbandingan antara
penyelesaian pembanding masalah nilai awal 3.1 dengan penyelesaian menggunakan metode homotopi dan metode homotopi Pade
untuk kasus kedua.
Gambar 9 Penyelesaian masalah nilai awal 3.1 kasus kedua. Berdasarkan Gambar 9 penyelesaian dengan metode homotopi Pade
lebih mendekati
penyelesaian pembanding, dengan daerah kekonvergenan yang lebih luas dibandingkan penyelesaian metode homotopi.
3.2 Model Lotka
–Volterra Logistik
Perhatikan model Lotka –Volterra logistik berikut ini
, t
y t
f x t
ey dt
dy t
y t
cx t
bx t
ax dt
dx
2
3.7
syarat awal
1
n x
dan
2
n y
, dengan
1
n
dan
2
n
masing –masing
banyaknya mangsa dan pemangsa pada saat awal. Karena model Lotka –Volterra
logistik merupakan masalah taklinear dan tidak dapat diselesaikan secara eksak, maka berikut ini akan dicari penyelesaian masalah nilai awal 3.7 dengan
menggunakan metode homotopi dan metode homotopi Pade .
Misalkan didefinisikan operator sebagai berikut : ℒ
1
] ,
[ q
t
t q
t
,
ℒ
2
] ,
[ q
t
t q
t
,
0.5 1.0
1.5 2.0
2.5 3.0
t 2
4 6
8 10
12
Numerik y Homotopi y
P ade y Numerik x
Homotopi x P ade x
t y
t x
, ,
, ,
, ,
] ,
, ,
[ q
t q
t c
q t
q t
b q
t a
t q
t q
t q
t A
1
, ,
, ,
, ]
, ,
, [
q t
q t
f q
t e
t q
t q
t q
t A
2
dengan
q
merupakan suatu parameter,
, q
t
dan
, q
t
adalah suatu fungsi
yang bergantung pada t dan q. Penyelesaian masalah nilai awal persamaan 3.7 dengan metode homotopi dinyatakan dalam persamaan berikut
1 m
m
t x
t x
t x
,
1 m
m
t y
t y
t y
dengan
t x
m
dan
, t
y
m
... ,
, 3 2
1
m
yang akan ditentukan. Jika kedua ruas pada persamaan 2.15 diintegralkan dan persamaan 2.16
digunakan, maka diperoleh persamaan berikut
ds q
q s
q s
A m
h t
x t
x
t q
m m
m m
m
1 1
1 1
1
1 1
] ,
, ,
[
, ]
, ,
, [
t q
m m
m m
m
ds q
q s
q s
A m
h t
y t
y
1 2
1 2
1
1 1
3.8
dengan
m
diberikan pada persamaan 2.17. Jika dimisalkan penyelesaian pendekatan awal
t n
t x
1
dan
, t
n t
y
2
maka untuk
1
m
dan berdasarkan persamaan 3.8 diperoleh
] [
3 2
1 2
1 2
1 2
1 1
1 1
2 3
6 3
6 6
6 6
6 t
c b
t a
bn n
n c
t n
cn bn
an h
t x
]. [
3 2
2 1
2 1
2 2
1
2 3
3 6
6 6
6 f t
t n
n f
e t
n f n
en h
t y
3.9
Untuk
, 2
m
diperoleh
3 6
2 5
1 1
2 4
2 3
1 2
1 1
1 1
2
2 6
2 1
t h
h c
b h
t h
h h
t h
h t
x ]
[ ]
[ ]
[
5 9
1 4
8 2
7 1
1
15 24
t h
t h
h h
] [
] [
3 6
1 5
2 2
2 4
1 3
2 2
2 2
1 2
2
2 6
2 1
t f
h h
h t
h h
h t
h h
t y
] [
] [
] [
5 9
2 4
8 1
7 2
2
15 24
t h
t h
h h
] [
] [
3.10
dengan
2 1
2 1
1 1
1 n
cn bn
an
a
bn n
n c
1 2
1 2
2
a cn
bn an
n n
b abn
a c
b n
2 2
2 2
2 3
2 2
2 1
1 2
2 1
2 1
2 1
3
]
[
2 1
2 1
4
1 n
fn en
cn
a bn
cn a
bn bn
c b
a
1 1
1 1
2 5
3 5
4 4
] [
2 1
1 2
1 6
3 2
2 n
n cfn
n n
e c
a cn
c b
c bc
b n
2 2
2 1
7
5 3
11 8
] [
2 1
8
3 5
3 n
n f
e c
2 1
9
1 cfh
h c
b c
2 1
2 1
1 n
fn en
2 1
2
n n
f e
2 1
2 1
2 2
2 1
3
2 2
2 n
f efn
e n
n n
f e
2 1
2 1
1 2
4
1 cn
bn an
fn
1 2
1 1
2 5
3 2
4 fn
e fn
fn e
fn f
e
2 2
2 1
1 1
6
2 3
2 2
cn a
fn b
c n
fn bn
a fn
f
ef n
n f
5 3
2 1
2 7
af b
c fn
c b
fn 3
2 5
3
2 1
8
1 2
4 9
h ce
bf h
f
Penurunan lengkap dapat dilihat pada Lampiran 6.
Jika proses dilanjutkan, maka diperoleh penyelesaian
,... ,
, t
x t
x t
x
5 4
3
dan
,... ,
, t
y t
y t
y
5 4
3
Jadi berdasarkan metode homotopi diperoleh penyelesaian pendekatan masalah taklinear persamaan 3.7 sebagai berikut
1 m
m
t x
t x
t x
,
1 m
m
t y
t y
t y
3.11 dengan
, t
x
m
, t
y
m
,... 2
, 1
m
diberikan pada persamaan 3.9 dan 3.10.
3.2.1 Kasus pertama Model Lotka –Volterra Logistik
