,
,
1
1 1
m m
m
v u
R
=
1 1
1
1 1
q m
m
q q
t q
t A
m ]
, ,
, [
,
,
1
1 2
m m
m
v u
R
=
1 2
1
1 1
q m
m
q q
t q
t A
m ]
, ,
, [
2.16
,..., ,
t u
t u
t u
t u
m m
1 1
,..., ,
t v
t v
t v
t v
m m
1 1
. ,
, 1
1 1
m m
m
2.17
Jadi berdasarkan metode homotopi diperoleh penyelesaian pendekatan sistem persamaan 2.11 sebagai berikut
1 m
m
t u
t u
t u
,
1 m
m
t v
t v
t v
dengan
, t
u
m
, t
v
m
,... 2
, 1
m
diperoleh dari persamaan 2.15 dan
t u
dan
t v
merupakan pendekatan awal yang diberikan.
2.3 Metode Homotopi Pade
Metode homotopi Pade merupakan pengembangan dari metode homotopi. Dalam hal ini penyelesaian masalah taklinear dinyatakan dalam bentuk
n k
k k
m k
k k
n m
t q
t p
t R
,
,
dengan
k
p dan
k
q ditentukan berdasarkan penyelesaian dalam metode homotopi,
dan m, n masing –masing suku yang digunakan.
Secara singkat penggunaan metode homotopi Pade untuk menyelesaikan suatu masalah taklinear adalah
1. Masalah taklinear diselesaikan dengan metode homotopi dan penyelesaiannya
dinyatakan dalam bentuk deret sebagai berikut
.
m m
t x
t x
2. Metode homotopi Pade untuk masalah taklinear tersebut dilakukan dengan
langkah –langkah berikut :
a. Membentuk persamaan berikut
, .
t p
t q
t x
m n
dengan t
x penyelesaian yang diperoleh dari penyelesaian metode
homotopi. b.
Menentukan nilai
k
p dan
k
q dari langkah a.
c. Menggunakan
k
p dan
k
q yang telah diperoleh pada b ke dalam
penyelesaian
,
t R
n m
yang merupakan penyelesaian masalah taklinear dengan metode homotopi Pade.
2.4
Perluasan Metode Homotopi Pade
Pada bagian ini dibahas perluasan dari metode homotopi Pade yang diterapkan dalam masalah model Lotka
–Volterra dan Lotka–Volterra logistik. Adapun penyelesaian masalah pada model Lotka
–Volterra dan Lotka–Volterra logistik berdasarkan moetode homotopi Pade dinyatakan dalam bentuk
,
,
n k
k k
m k
k k
n m
t q
t p
t R
dengan
k
p dan
k
q ditentukan berdasarkan penyelesaian dalam metode homotopi,
dan m, n masing –masing suku yang digunakan.
Secara singkat penggunaan metode homotopi Pade untuk menyelesaikan suatu masalah pada model Lotka
–Volterra dan Lotka–Volterra logistik adalah 1.
Masalah pada model Lotka–Volterra dan Lotka–Volterra logistik diselesaikan berdasarkan metode homotopi dan penyelesaiannya dinyatakan dalam bentuk
deret sebagai berikut
m m
t u
t u
dan
m m
t v
t v
2. Metode homotopi Pade untuk masalah pada model Lotka–Volterra dan
Lotka –Volterra logistik tersebut dilakukan dengan langkah–langkah berikut :
a. Membentuk persamaan berikut
. t
p t
q t
u
m n
dan
, .
t p
t q
t v
m n
dengan t
u dan
t v
merupakan penyelesaian yang diperoleh dari
penyelesaian metode homotopi. b.
Menentukan nilai
k
p dan
k
q dari langkah a.
c. Menggunakan
k
p dan
k
q yang telah diperoleh pada b ke dalam
penyelesaian
,
t R
n m
yang merupakan penyelesaian masalah pada model Lotka
–Volterra dan Lotka–Volterra logistik menggunakan metode homotopi Pade.
2.5
Contoh Masalah
Untuk lebih memahami kedua metode yang telah dibahas di atas
,
misalkan diberikan suatu masalah nilai awal berikut
y x
dt dx
, y
x dt
dy
4
2.18 dengan syarat awal
1
n x
dan
.
2
n y
Penyelesaian eksak masalah nilai awal persamaan 2.18 adalah
t t
t t
t t
e n
n e
n n
e t
y e
n n
e n
n e
t x
4 2
2 4
1 1
4 2
2 4
1 1
2 2
2 1
2 2
4 1
2.19
Berikut ini akan dicari penyelesaian masalah nilai awal 2.18 dengan menggunakan metode homotopi dan metode homotopi Pade. Misalkan
didefinisikan operator berikut ℒ
1
] ,
[ q
t
t q
t
,
ℒ
2
] ,
[ q
t
t q
t
,
, ,
, ]
, ,
, [
q t
q t
t q
t q
t q
t A
1
, ,
, ]
, ,
, [
q t
q t
t q
t q
t q
t A
4
2
dengan
q
merupakan suatu parameter,
, q
t
dan
, q
t
adalah suatu fungsi
yang bergantung pada
t
dan
. q
Penyelesaian masalah nilai awal persamaan 2.18 dengan metode homotopi dinyatakan dalam persamaan berikut
1 m
m
t x
t x
t x
,
1 m
m
t y
t y
t y
dengan
t x
m
dan
, t
y
m
... ,
, 3 2
1
m
yang akan ditentukan. Jika kedua ruas pada persamaan 2.8 diintegralkan dan persamaan 2.9
digunakan, maka diperoleh persamaan berikut
ds q
q s
q s
A m
h t
x t
x
t q
m m
m m
m
1 1
1 1
1
1 1
] ,
, ,
[
, ]
, ,
, [
t q
m m
m m
m
ds q
q s
q s
A m
h t
y t
y
1 2
1 2
1
1 1
2.20
dengan
m
diberikan pada persamaan 2.10. Misalkan
penyelesaian pendekatan
awal
t n
t x
1
dan
, t
n t
y
2
maka untuk
1
m
dan berdasarkan persamaan 2.20 diperoleh
] [
2 2
1 1
1
1 t
t n
n h
t x
] [
2 2
1 2
1
2 5
4 1
t t
n n
h t
y
dan untuk
, 2
m
diperoleh
3
2 3
1 1
3 2
2 1
2 1
2 1
2 2
1 1
2
t t
n n
t n
n h
t t
n n
h t
x ]
[
3 2
2 1
2 1
6 5
2 4
1 t
t n
n h
h
3 2
2 1
2 1
2 2
2 2
1 2
2
6 5
2 4
6 4
1 2
5 4
1 t
t n
n t
n n
h t
t n
n h
t y
] [
3 2
2 1
2 1
6 5
2 1
4 t
t n
n h
h
Jika proses dilanjutkan, maka diperoleh penyelesaian
,... ,
, t
x t
x t
x
5 4
3
dan
,... ,
, t
y t
y t
y
5 4
3
Jika dipilih
1
2 1
h h
, maka penyelesaian masalah nilai awal 2.18 berdasarkan metode homotopi adalah
...
3 2
2 1
2 1
1
6 7
2 5
t t
n n
t n
n n
t x
...
3 2
2 1
2 1
2
6 13
5 8
10 4
t t
n n
t n
n n
t y
2.21 Penurunan persamaan 2.21 dapat dilihat pada Lampiran 2.
Selanjutnya, penyelesaian masalah nilai awal 2.18 dengan menggunakan metode homotopi Pade berbentuk
2 2
k k
k k
k k
t q
t p
t x
dan
.
2 2
k k
k k
k k
t q
t p
t y
Nilai-nilai
, ,
,
k k
k k
q p
q p
masing –masing sampai suku keempat diperoleh dengan
bantuan software Mathematica dapat dilihat pada Lampiran 3. Gambar 1 menyatakan perbandingan penyelesaian masalah nilai awal
2.18 secara eksak dengan penyelesaian dengan menggunakan metode homotopi dan metode homotopi Pade sampai suku yang keempat dengan
1
2 1
h h
,
, 18
1
n
. 14
2
n
Berdasarkan Gambar 1 penyelesaian dengan menggunakan metode homotopi Pade lebih mendekati penyelesaian eksak dengan daerah
kekonvergenan yang lebih luas dibandingkan dengan penyelesaian dengan metode
homotopi, dalam hal ini yang berarti bahwa hampiran dari penyelesaian metode homotopi Pade mendekati atau hampir sama dengan penyelesaian numerik untuk
daerah atau selang yang luas. Dalam tulisan ini, yang dimaksudkan dengan daerah kekonvergenan adalah daerah pada daerah asal fungsi hampiran penyelesaian
dengan metode homotopi Pade yang memiliki galat yang hampir sama dengan nol.
Gambar 1 Penyelesaian masalah nilai awal 2.18. Pada Gambar 2 terlihat galat antara penyelesaian eksak, penyelesaian
metode homotopi dan metode homotopi Pade. Dalam Gambar 2 diperoleh bahwa dengan metode homotopi Pade membentuk daerah kekonvergenan yang lebih
luas dibandingkan dengan metode homotopi, hal ini terlihat pada galat yang muncul.
0.2 0.4
0.6 0.8
t 50
100 150
200 250
Eksak y Homotopi y
P ade y Eksak x
Homotopi x P ade x
t y
t x
Gambar 2 Galat penyelesaian masalah nilai awal 2.18.
2.6 Model Matematika
