Penelitian ini merupakan pengembangan dari penelitian sebelumnya yang dilakukan oleh Faghidian pada tahun 2011, yaitu penggunaan metode homotopi
Pade untuk menyelesaikan model Lotka –Volterra. Dalam penelitian ini, model
yang digunakan yaitu model Lotka –Volterra logistik. Model Lotka–Volterra
logistik diselesaikan dengan metode homotopi Pade dan metode homotopi, hasil penyelesaian kedua metode tersebut kemudian dibandingkan dengan penyelesaian
numerik untuk memperoleh metode yang terbaik dalam menyelesaikan model Lotka
–Volterra logistik.
1.2 Tujuan
Berdasarkan latar belakang di atas, maka tujuan penelitian ini adalah a.
Menggunakan metode homotopi dan metode homotopi Pade untuk menyelesaikan model Lotka
–Volterra dan Lotka–Volterra logistik. b.
Membandingkan penyelesaian numerik dengan penyelesaian metode homotopi dan metode homotopi Pade.
1.3 Sistematika Penulisan
Penulisan dalam tesis ini terdiri dari empat bab. Bab pertama merupakan pendahuluan yang berisi latar belakang, tujuan penelitian, dan sistematika
penulisan. Bab kedua berupa landasan teori yang berisi metode homotopi, metode homotopi Pade dan perluasan dari kedua metode tersebut, model matematika
yang dikaji yaitu model Lotka –Volterra dan Lotka–Volterra logistik, analisis
model Lotka –Volterra dan Lotka–Volterra logistik, contoh masalah. Bab ketiga
berupa hasil dan pembahasan metode homotopi dan metode homotopi Pade dalam menyelesaikan model Lotka
–Volterra dan Lotka–Volterra logistik. Dalam bab ini juga dibahas studi kasus untuk model Lotka
–Volterra dan Lotka–Volterra logistik. Bab terakhir berisi kesimpulan dari keseluruhan penulisan dan beberapa
saran untuk kelanjutan dari penelitian ini.
II LANDASAN TEORI
Pada bagian ini akan dibahas teori –teori yang digunakan dalam penelitian
ini. Teori –teori tersebut meliputi, konsep dasar metode homotopi dan metode
homotopi Pade dan perluasan kedua metode tersebut, model Lotka –Volterra dan
model Lotka –Volterra logistik, analisis model Lotka–Volterra dan model Lotka–
Volterra logistik berdasarkan pada Haberman 2003.
2.1 Metode Homotopi
Berikut ini diberikan ilustrasi konsep dasar metode homotopi berdasarkan alur pada Liao 2004, Jaharuddin 2008 dan Faghidian 2011. Misalkan
diberikan persamaan diferensial berikut
, ]
[
t y
A
2.1 dengan A suatu operator turunan yang taklinear dan
� fungsi yang akan ditentukan dan bergantung pada t. Selanjutnya, didefinisikan pula suatu operator
linear ℒ yang memenuhi
]
[
f
, bila
.
f
2.2 Didefinisikan suatu fungsi homotopi
sebagai berikut
] ,
, [
q q
t
=
1 q
ℒ
] ,
[ t
y q
t
+
] ,
[ q
t qA
2.3
dengan fungsi yang akan ditentukan dan bergantung pada t dan parameter q.
Fungsi
t y
merupakan pendekatan awal dari penyelesaian. Berdasarkan persamaan 2.3, pada saat
q
diperoleh persamaan berikut
, t
, 0 =
ℒ [
, t
–
t y
o
],
dan pada saat
1
q
diperoleh
, 1
t
, 1 =
]. ,
[ 1
t A
Berdasarkan persamaan 2.2, maka penyelesaian persamaan
, t
, 0 = 0
diperoleh sebagai berikut
, t
=
t y
o
. Kemudian berdasarkan persamaan 2.1, maka penyelesaian persamaan
, 1
t
, 1 = 0 diperoleh sebagai berikut
, 1
t
=
t y
. Selanjutnya, diberikan fungsi homotopi yang bergantung pada fungsi bantu
t B
dan parameter bantu h yang didefinisikan sebagai berikut
] ,
, ,
, [
q h
t B
q t
=
1 q
ℒ
, [
q t
–
t y
o
] -
], ,
[ q
t A
t qhB
2.4
dengan ℒ operator linear, A operator turunan yang bentuknya tak linear,
merupakan fungsi yang akan ditentukan dan bergantung pada t dan parameter q. Fungsi
t y
o
adalah pendekatan awal. Berdasarkan persamaan 2.4, pada saat q = 0 diperoleh persamaan berikut
h t
B t
, ,
,
, 0 =
ℒ [
, t
–
t y
o
], dan pada saat q = 1, diperoleh
h t
B t
, ,
, 1
, 1 = - h
t B
A [
, 1
t
].
Berdasarkan persamaan 2.2, maka penyelesaian persamaan
h t
B t
, ,
,
,
0=0 diperoleh sebagai berikut
, t
=
t y
o
. Kemudian berdasarkan persamaan 2.1, maka penyelesaian persamaan
h t
B t
, ,
, 1
, 1 = 0 diperoleh sebagai berikut
, 1
t
=
. t
y
Notasikan
. ,
1
q m
m m
q q
t m
t y
2.5
Deret Taylor dari fungsi ,
q t
terhadap q di sekitar q = 0 adalah
1
1
q m
m m
q q
t m
t y
q t
, ,
.
m
q
2.6 Jika persamaan 2.5 disubstitusikan ke dalam persamaan 2.6, maka diperoleh
. ,
1 m
m m
q t
y t
y q
t
Karena ,
, t
y t
1
maka pada saat q = 1 diperoleh .
1 m
m
t y
t y
t y
Jika
1
h
dan
1
t B
, maka dari persamaan 2.4 diperoleh [
, q
t
,
1 1,
,
q
] = [
, q
t
,q].
Selanjutnya, fungsi
, q
t
adalah penyelesaian dari persamaan berikut:
[
, q
t
,
q h
t B
, ,
] = 0 atau
1 q
ℒ [
, q
t
–
t y
o
] =
t qhB
]. ,
[ q
t A
2.7
Kemudian jika kedua ruas pada persamaan 2.7 diturunkan terhadap q hingga m kali, maka diperoleh sebagai berikut :
ℒ
] [
t y
t y
m m
m 1
=
t hB
1
m
m
y R
2.8 dengan
,..., ,
t y
t y
t y
t y
m m
1 1
1
m
m
y R
=
1 1
1 1
q m
m
q q
t A
m ]
, [
2.9 dan
. ,
, 1
1 1
m m
m
2.10 Penurunan persamaan 2.8 dapat dilihat pada Lampiran 1.
Jadi penyelesaian pendekatan dari persamaan 2.1 dengan metode homotopi adalah
,
1 m
m
t y
t y
t y
dengan
, t
y
m
,... 2
, 1
m
diperoleh dari persamaan 2.8, dan
t y
merupakan pendekatan awal yang diberikan.
2.2
Perluasan Metode Homotopi
Pada bagian ini akan dibahas perluasan dari konsep dasar metode homotopi yang telah diuraikan di atas. Misalkan diberikan sistem persamaan
diferensial berikut :
1
]
, [
t v
t u
A ,
] ,
[
2
t
v t
u A
2.11 dengan
1
A
dan
2
A
suatu operator turunan yang bentuknya taklinear,
u
dan
v
fungsi yang akan ditentukan dan bergantung pada t. Selanjutnya, didefinisikan suatu fungsi homotopi
dan
sebagai berikut
] ,
, ,
, [
q q
t q
t
=
1 q
ℒ
1
, [
q t
–
t u
o
]+
] ,
, ,
[ q
t q
t A
qh
1 1
] ,
, ,
, [
q q
t q
t
=
1 q
ℒ
2
, [
q t
–
t v
o
]+
], ,
, ,
[ q
t q
t A
qh
2 2
2.12 dengan
ℒ
1
dan ℒ
2
suatu operator linear , dan
fungsi yang akan ditentukan dan bergantung pada t dan parameter q serta
t u
dan
t v
merupakan pendekatan awal dari penyelesaian.
Berdasarkan persamaan 2.12 pada saat
,
q
diperoleh persamaan berikut
] ,
, ,
, [
t t
= ℒ
1
, [
t
–
t u
o
]
] ,
, ,
, [
t t
= ℒ
2
, [
t
–
t v
o
], dan pada saat
, 1
q
diperoleh persamaan berikut
] ,
, ,
, [
1 1
1 t
t
=
] ,
, ,
[ 1
1
1 1
t t
A h
] ,
, ,
, [
1 1
1 t
t
=
]. ,
, ,
[ 1
1
2 2
t t
A h
Berdasarkan sifat operator linear ℒ
1
dan ℒ
2
pada persamaan 2.2, maka penyelesaian persamaan
, t
,0=0 dan
, t
,0=0 masing
–masing adalah
, t
=
t u
o
dan
, t
=
t v
o
. Berdasarkan persamaan 2.11, maka penyelesaian persamaan
, 1
t
,1=0
dan
, 1
t
,1=0 masing
–masing adalah
, t
u t
1
dan
, t
v t
1
.
Deret Taylor dari
, q
t
dan
, q
t
terhadap q di sekitar q = 0 adalah
, ,
t t
atau
, t
t
, ,
t t
atau
, ,
t t
2.13 dengan
t u
t
dan
. t
v t
Pada saat
1
q
dan persamaan 2.13, diperoleh persamaan berikut
1
1 1
m m
t t
t ,
,
. ,
,
1
1 1
m m
t t
t
Karena
, 1
t
=
t u
dan
, 1
t
=
, t
v
maka diperoleh
1 m
m
t u
t u
t u
,
1 m
m
t v
t v
t v
dengan
t u
m
dan
, t
v
m
,... 2
, 1
m
yang akan ditentukan dan
t u
dan
t v
merupakan pendekatan awal yang diberikan.
Selanjutnya, fungsi
, q
t
dan
, q
t
adalah penyelesaian dari persamaan
berikut
[
, ,
, q
t q
t
,
q
] = 0
[
, ,
, q
t q
t
,
q
] = 0 atau
1 q
ℒ
1
, [
q t
–
t u
o
] =
] ,
, ,
[ q
t q
t A
qh
1 1
1 q
ℒ
2
, [
q t
–
t v
o
] =
]. ,
, ,
[ q
t q
t A
qh
2 2
2.14 Kemudian jika kedua ruas pada persamaan 2.14 diturunkan terhadap q hingga
m kali, maka diperoleh sebagai berikut ℒ
1
] [
t u
t u
m m
m 1
=
1
h ,
,
1
1 1
m m
m
v u
R
ℒ
2
] [
t v
t v
m m
m 1
=
2
h ,
,
,
1
1 2
m m
m
v u
R
2.15 dengan
,
,
1
1 1
m m
m
v u
R
=
1 1
1
1 1
q m
m
q q
t q
t A
m ]
, ,
, [
,
,
1
1 2
m m
m
v u
R
=
1 2
1
1 1
q m
m
q q
t q
t A
m ]
, ,
, [
2.16
,..., ,
t u
t u
t u
t u
m m
1 1
,..., ,
t v
t v
t v
t v
m m
1 1
. ,
, 1
1 1
m m
m
2.17
Jadi berdasarkan metode homotopi diperoleh penyelesaian pendekatan sistem persamaan 2.11 sebagai berikut
1 m
m
t u
t u
t u
,
1 m
m
t v
t v
t v
dengan
, t
u
m
, t
v
m
,... 2
, 1
m
diperoleh dari persamaan 2.15 dan
t u
dan
t v
merupakan pendekatan awal yang diberikan.
2.3 Metode Homotopi Pade
