3.1.1 Kasus Pertama Model Lotka –Volterra
Berikut ini diberikan kasus untuk penyelesaian masalah pada model Lotka
–Volterra yang diberikan pada persamaan 3.1. Dalam kasus ini terdapat interaksi dua spesies antara spesies mangsa dan spesies pemangsa. Misalkan pada
kondisi awal banyaknya mangsa
7
1
n
dan banyaknya pemangsa
5
2
n
dan dipilih laju kelahiran mangsa
1
a
, tingkat interaksi antara mangsa dan pemangsa yang mengakibatkan berkurangnya mangsa
1 0.
c
, laju kematian pemangsa
5 0.
e
dan tingkat interaksi antara pamangsa dan mangsa yang mengakibatkan bertambahnya pemangsa
. .1
f
Interpretasi fisis pada kasus ini adalah laju kelahiran mangsa sebesar satu unit per hari dan laju kematian pemangsa sebesar
satu unit per dua hari, tingkat interaksi antara mangsa dan pemangsa yang mengakibatkan berkurangnya mangsa dalam sepuluh hari kemungkinan mangsa
akan dimangsa sebesar satu unit dan tingkat interaksi antara pemangsa dan mangsa yang mengakibatkan pemangsa akan bertambah dalam sepuluh hari
sebesar satu unit. Penyelesaian persamaan 3.1 kasus pertama dengan menggunakan metode
homotopi sampai suku yang keempat diperoleh dalam bentuk
t x
t x
t x
t x
t x
t x
4 3
2 1
,
t y
t y
t y
t y
t y
t y
4 3
2 1
3.6 dengan
, t
n t
x
1
, t
n t
y
2
dan
4 3
2 1
, ,
, ,
,
i t
y t
x
i i
dihitung dengan bantuan software Mathematica dan diberikan pada Lampiran 5. Grafik penyelesaian persamaan 3.1 untuk kasus pertama dengan menggunakan
metode homotopi dapat dilihat pada Gambar 7. Berdasarkan penyelesaian
t x
dan
t y
pada persamaan 3.6, maka penyelesaian dengan menggunakan metode homotopi Pade
dari persamaan 3.5 dengan koefisien
k
p
dan
k
q
diperoleh dengan bantuan software Mathematica dan diberikan pada Lampiran 5. Grafik penyelesaian dengan menggunakan metode homotopi Pade
dapat dilihat pada Gambar 7. Pada Gambar 7 juga diperlihatkan perbandingan antara
penyelesaian pembanding masalah nilai awal 3.1 dengan penyelesaian menggunakan metode homotopi dan metode homotopi Pade
untuk kasus pertama.
Gambar 7 Penyelesaian masalah nilai awal 3.1 kasus pertama. Berdasarkan Gambar 7 penyelesaian dengan metode homotopi Pade
lebih mendekati
penyelesaian pembanding, dengan daerah kekonvergenan yang lebih luas dibandingkan penyelesaian metode homotopi.
Gambar 8 Galat penyelesaian masalah nilai awal 3.1 kasus pertama. Dalam Gambar 8 diperoleh bahwa dengan metode homotopi Pade
memberikan daerah kekonvergenan yang luas dibandingkan pada metode
0.5 1.0
1.5 2.0
2.5 3.0
t 5
10 15
20 25
Numerik y Homotopi y
P ade y Numerik x
Homotopi x P ade x
0.2 0.4
0.6 0.8
1.0
t
0.5 1.0
1.5 galat
Galat X
P ade Homotopi
0.2 0.4
0.6 0.8
1.0
t
0.05 0.10
0.15 0.20
0.25 0.30
galat
Galat Y
P ade Homotopi
t x
t y
homotopi. Hal ini terlihat pada galat yang muncul, dimana galat pada metode homotopi Pade
lebih kecil dibandingkan galat pada metode homotopi.
3.1.2 Kasus Kedua Model Lotka –Volterra
Kategori