1 m
m
t x
t x
t x
,
1 m
m
t y
t y
t y
3.11 dengan
, t
x
m
, t
y
m
,... 2
, 1
m
diberikan pada persamaan 3.9 dan 3.10.
3.2.1 Kasus pertama Model Lotka –Volterra Logistik
Berikut ini diberikan kasus untuk penyelesaian masalah pada model Lotka
–Volterra logistik yang diberikan pada persamaan 3.7. Dalam kasus ini terdapat interaksi dua spesies antara spesies mangsa dan spesies pemangsa.
Misalkan pada kondisi awal banyaknya mangsa
10
1
n
dan banyaknya pemangsa
5
2
n
dan dipilih laju kelahiran mangsa
2
a
, tingkat interaksi antar mangsa untuk mendapatkan makanan yang mengakibatkan berkurangnya mangsa
1 0.
b
, tingkat interaksi antara mangsa dan pemangsa yang mengakibatkan berkurangnya
mangsa
1 0.
c
, laju kematian pemangsa
5 0.
e
dan tingkat interaksi antara pamangsa dan mangsa yang mengakibatkan bertambahnya pemangsa
1 0.
f
. Interpretasi fisis pada kasus ini adalah laju kelahiran mangsa sebesar dua unit per
hari dan laju kematian pemangsa sebesar satu unit per dua hari, maka tingkat interaksi antar mangsa untuk mendapatkan makanan yang mengakibatkan
berkurangnya mangsa dalam sepuluh hari kemungkinan mangsa akan mati sebesar satu unit, tingkat interaksi antara mangsa dan pemangsa yang mengakibatkan
berkurangnya mangsa dalam sepuluh hari kemungkinan mangsa akan dimangsa sebesar satu unit dan tingkat interaksi antara pemangsa dan mangsa yang
mengakibatkan pemangsa akan bertambah dalam sepuluh hari sebesar satu unit. Penyelesaian persamaan 3.7 kasus pertama dengan menggunakan metode
homotopi sampai pada suku yang keempat diperoleh dalam bentuk
t x
t x
t x
t x
t x
t x
4 3
2 1
,
t y
t y
t y
t y
t y
t y
4 3
2 1
dengan
, t
n t
x
1
, t
n t
y
2
dan
4 3
2 1
, ,
, ,
,
i t
y t
x
i i
dihitung dengan bantuan software Mathematica dan diberikan pada Lampiran 7.
Grafik penyelesaian persamaan 3.7 untuk kasus pertama dengan menggunakan metode homotopi dapat dilihat pada Gambar 10. Berdasarkan penyelesaian
t x
dan
t y
pada persamaan 3.6, maka penyelesaian dengan menggunakan metode homotopi Pade
dari persamaan 3.5 dengan koefisien
k
p
dan
k
q
diperoleh dengan bantuan software Mathematica dan diberikan pada Lampiran 7. Grafik penyelesaian dengan menggunakan metode homotopi Pade
dapat dilihat pada Gambar 10. Pada Gambar 10 juga diperlihatkan perbandingan antara
penyelesaian pembanding masalah nilai awal 3.10 dengan penyelesaian menggunakan metode homotopi dan metode homotopi Pade
untuk kasus pertama.
Gambar 10 Penyelesaian masalah nilai awal 3.7 kasus pertama. Berdasarkan Gambar 10 penyelesaian dengan metode homotopi Pade
lebih mendekati
penyelesaian pembanding, dengan daerah kekonvergenan yang lebih luas dibandingkan penyelesaian metode homotopi, dalam hal ini yang berarti
bahwa hampiran dari penyelesaian metode homotopi Pade mendekati atau hampir sama dengan penyelesaian numerik untuk daerah atau selang yang luas dan
memiliki galat yang kecil pada daerah atau selang luas.
0.5 1.0
1.5 2.0
2.5 3.0
t 10
10 20
30 40
Numerik y Homotopi y
P ade y Numerik x
Homotopi x P ade x
t y
t x
Gambar 11 Galat penyelesaian masalah nilai awal 3.7 kasus pertama. Dalam Gambar 11 diperoleh bahwa dengan metode homotopi Pade
memberikan daerah kekonvergenan yang luas dibandingkan pada metode homotopi. Hal ini terlihat pada galat yang muncul, dimana galat pada metode
homotopi Pade lebih kecil dibandingkan galat pada metode homotopi.
3.2.2 Kasus Kedua Model Lotka –Volterra Logistik
