masing –masing menunjukan banyaknya spesies mangsa dan pemangsa pada
waktu .
t Jika mangsa dan pemangsa tidak saling berinteraksi, maka model pertumbuhan populasi mangsa adalah
. t
ax dt
dx
Dalam hal ini
a
menunjukkan laju kelahiran dari populasi mangsa. Jika populasi mangsa berkurang, maka akan mengakibatkan populasi pemangsa berkurang. Hal
ini dikarenakan mangsa merupakan sumber makanan untuk pemangsa. Jadi laju pertumbuhan populasi pemangsa bergantung pada banyaknya populasi mangsa,
yaitu
, t
ey dt
dy
dengan
e
menunjukkan laju kematian dari populasi pemangsa. Hal ini disebabkan karena spesies pemangsa bergantung pada mangsa dan akan berkurang jumlahnya.
Selanjutnya, jika kedua spesies tersebut saling berinteraksi dan populasi pemangsa bergantung pada populasi mangsa sebagai sumber makanan, maka model yang
diungkapkan oleh Lotka
–Volterra adalah
. t
y t
f x t
ey dt
dy t
y t
cx t
ax dt
dx
2.22
Parameter a, c, e, f menunjukkan interaksi antara kedua spesies tersebut, dengan
a menunjukkan laju kelahiran dari populasi mangsa, c menunjukkan tingkat interaksi antara mangsa dan pemangsa yang berpengaruh terhadap mangsa atau
menunjukkan adanya predasi yang mengakibatkan berkurangnya mangsa, e menunjukkan laju kematian dari populasi pemangsa dan bergantung pada mangsa
dan kematian alami yang mengakibatkan berkurangnya pemangsa, f menunjukkan tingkat interaksi antara mangsa dan pemangsa yang berpengaruh
pada pemangsa.
2.6.2 Analisis Model Lotka –Volterra
Pada bagian ini akan dibahas kestabilan titik tetap pada model Lotka –
Volterra. Perhatikan model Lotka –Volterra yang telah diberikan pada persamaan
2.22 sebagai berikut
. f xy
ey dt
dy cxy
ax dt
dx
Titik tetap pada model Lotka –Volterra di atas diperoleh berdasarkan sistem
persamaan berikut
.
fx e
y cy
a x
Penyelesaian persamaan di atas memberikan titik tetap
,
1
T
dan
, c
a f
e T
2
. Dengan melinearkan model Lotka
–Volterra di atas, akan diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut
f x
e f y
cx cy
a J
. Matriks Jacobi untuk titik tetap pertama
,
1
T
adalah
e a
J
T
1
.
Nilai eigen matriks Jacobi tersebut adalah
a
1
dan
e
2
. Karena kedua
nilai eigen yang diperoleh berbeda tanda, maka titik tetap
,
1
T
bersifat sadel. Jadi sistem tidak stabil pada titik tetap tersebut.
Matriks Jacobi untuk titik tetap kedua
, c
a f
e T
2
adalah
2
c af
f ce
J
T
.
Nilai eigen matriks Jacobi tersebut adalah ae
i
2 1,
. Karena kedua nilai eigen berbentuk imajiner, maka titik tetap
, c
a f
e T
2
bersifat center. Jadi sistem stabil pada titik tetap tersebut.
Selanjutnya, tinjau masalah nilai awal berikut
. .
. .
xy y
y xy
x x
1 5
1
2.23
dengan syarat awal
, 7
x
. 5
y
Dalam hal ini dipilih parameter
, 1
a
, .1
c
, .5
e
. .1
f
Dengan menggunakan software Mathematica diperoleh bidang phase untuk masalah nilai awal 2.23 yang ditunjukkan pada Gambar 3. Berdasarkan
Gambar 3 diperoleh bahwa pada titik tetap
1
T
sistem tidak stabil, sedangkan pada titik tetap
2
T
sistem stabil.
Gambar 3 Bidang phase masalah nilai awal 2.23. Dengan bantuan software Mathematica diperoleh penyelesaian numerik
masalah nilai awal 2.23, seperti digambarkan pada Gambar 4 berikut.
Gambar 4 Penyelesaian numerik masalah nilai awal 2.23.
2.6.3 Model Lotka –Volterra Logistik
Model Lotka –Volterra logistik dibentuk berdasarkan pada model Lotka–
Volterra tetapi diberikan asumsi bahwa sumber makanan untuk mangsa yang terbatas, sehingga mempengaruhi laju pertumbuhan logistik pada mangsa. Jika
sumber makanan terbatas, maka mengakibatkan interaksi antar spesies mangsa
5 1 0
1 5 5
1 0 1 5
2 0 2 5
5 1 0
1 5 2 0
t 5
1 0 1 5
y x
1
T
2
T y
x
untuk mendapatkan makanan, sehingga spesies mangsa berkurang. Jadi laju pertumbuhan logistik untuk populasi mangsa adalah
. t
bx dt
dx
2
Jika laju pertumbuhan logistik mangsa mempengaruhi model Lotka –Volterra pada
persamaan 2.22 dan terjadi interaksi antara mangsa dan pemangsa, maka model Lotka
–Volterra logistik adalah
. t
y t
f x t
ey dt
dy t
y t
cx t
bx t
ax dt
dx
2
2.24
Parameter a, b, c, e, f menunjukkan interaksi antara kedua spesies tersebut,
dengan a menunjukkan laju kelahiran dari populasi mangsa, b menunjukkan tingkat interaksi antar spesies mangsa untuk mendapatkan makanan, c
menunjukkan tingkat interaksi antara mangsa dan pemangsa yang berpengaruh terhadap mangsa atau menunjukkan adanya predasi yang mengakibatkan
berkurangnya mangsa, e menunjukkan laju kematian dari populasi pemangsa karena bergantung pada mangsa dan kematian alami yang mengakibatkan
berkurangnya pemangsa, f menunjukkan tingkat interaksi antara mangsa dan pemangsa yang berpengaruh pada pemangsa.
2.6.4 Analisis Model Lotka –Volterra Logistik
