21
Selanjutnya substitusikan persamaan ?? ?G? ? dan ?? ?G?? ke persamaan ?? ? G? ?, diperoleh
?? ? ???
?
? ? ?
????
?
?
? ?
?
?? ? ? ? ? ? ?
? ?
? ? ?? ?G
? ? atau
?? ? ????
?
?? ? ? ? ? ? ? ?
? ?
??G ?? ?G? ?
Selanjutnya dengan menyubstitusi ? pada persamaan 25.i ke persamaan ?? ? G? ? diperoleh
?
? ?
??
?
?
?
?
?
? ?• ???• ??? ?? ? ? ?
? ?
? ?? ??? ?
Penurunan persamaan 29 dapat dilihat pada Lampiran 10. Berdasarkan persamaan 29 dapat diperoleh hubungan antara amplitudo
gelombang dan kondisi fisis seperti rapat massa, kecepatan arus dan ketebalan fluida. Besaran µ dan ? adalah koefisien per samaan 2 4 yang nilainya
ber gan tun g p ad a kon d isi fisis fluid a. Ap abila kecep atan ar us d an r ap at m assa fluida diketahui d i
upstream , m aka ked u a besar an t er sebu t d ap at d it en t u kan ber dasar kan r um usan per sam aan dasar pada fluida dalam keadaan setim bang.
Rum usan per sam aan dasar fluida dalam keadaan setim ban g diber ikan ber ikut ini.
4.3 Fluida dalam Keadaan Setimbang
Untuk penyederhanaan, misalkan dalam keadaan setimbang fluida ideal yang ditinjau bersifat tunak. Fluida tunak adalah fluida yang dalam perambatannya tidak
bergantung pada waktu time independent flow. Ilustrasi dari asumsi gelombang tunak ini adalah dimisalkan suatu gelombang difoto, gelombang tersebut bergerak
seakan-akan bingkai foto yang bergerak, sehingga kecepatan gelombang sama dengan kecepatan bingkai. Misalkan gelombang tersebut bergerak ke kanan dengan
22
kecepatan ?G Dalam hal ini ? disebut juga kecepatan fase atau cepat rambat
gelombang Grimshaw et al. 2006, maka koordinat foto ? setelah ? detik adalah ? ? ? ? ? ?
, sehingga
?
?
? ?
?
? ? • ?
?
? ? ? ?
?
G Akibatnya persamaan 9.a bagian pertama
?
?
? ??
?
? ? ?
?
? ?? dapat ditulis
? ??
?
? ? ?
?
? ? ?
?
? ? ? atau
? ?
?
? ? ?
?
? ? ? ?? ?G
? ? dengan ? ? ? ? ?.
Untuk memudahkan penulisan, notasi ? dan X pada persamaan ?? ?G? ? masing masing ditulis dengan notasi ? ??• ?? sehingga diperoleh
? ?
?
? ? ?
?
? ?G ?? ?G? ?
Dengan cara yang sama, persamaan dasar fluida seperti pada persamaan ?? ? menjadi ? ?
?
? ? ?
?
? ? ? ?
?
? ?
?
? ?? ? ?? ?
?
? ? ?
?
? ? ?
? ?
?
?
? ? ? ? ?? ?
?
? ? ?
?
? ? ?
? ?
??
?
? ?? ? ? ?? ?
? ?
? ?? ? G? ?
dengan syarat batas ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??
? ? ? ?
?
? ? ???? ? ? ? ? ????
? ?? ? G? ?
lihat Lampiran 11. Selanjutnya dalam keadaan setimbang, dimisalkan bahwa fluida yang ditinjau
memiliki rapat massa ?
?
?? ???? tekanan ?
?
????? , kecepatan partikel dalam arah
horizontal dan vertikal masing- masing adalah ?
?
????? dan ?
?
?
?
?? ??? , sedangkan
total gaya pada arah horizontal dan vertikal masing-masing adalah ?
?
?
?
?? ??? ,
23
?
?
?
?
????? , dengan ? ? ? adalah suatu parameter kecil yang digunakan sebagai
pendekatan pada gelombang linear Grimshaw et al. 2006. Misalkan pula
?
?
? ?
?
? ? ?
?
? ?
?
?? ?? ?G
? ? sehingga
?
?
? ?
?
?
? ?
?
?
? ?
?
?
?
?
G ?? ?G? ?
Dengan menyubstitusi persamaan ?? ?G? ? ke persamaan ??? G? ? diperoleh ?
?
?
? ? ?
? ?
?
?
? ?
? ? ? ?
?? ?
? ?
? ?
? ? ? ?
?
??
?
?
?? ?
? ?
?
?
??
? ? ?
? ?
?
? ? ?
? ?
?
? ?
?
?
?
??
?
?
? ? ?
? ?
?
?
? ?
? ? ?
? ?
??
? ?
? ?
?
? ? ?
?
?
?
? ?
? ?? ? G
? ?
dengan syarat batas ?
?
? ?
?
?
?? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
??
?
?? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
??
?
?? ?
?
? ?
?
?
? ?
? ? ???? ? ? ? ? ??
?
?? ?
?? ? G? ?
lihat Lampiran 12. Dalam kondisi setimbang, ?
?
dan ?
?
dapat dianggap sebagai gaya badan dari elemen fluida atau sebagai gaya gesekan atau juga dapat dianggap sebagai gaya luar.
Dalam kondisi setimbang, persamaan dasar fluida dalam keadaan tunak diberikan oleh persamaan ?? ? G? ?. Jika persamaan ?? ?G? G???? diturunkan terhadap ? dan
persamaan ?? ? G?G?? ? diturunkan terhadap ? ? kemudian ?
? ? ??
dieliminasi, maka diperoleh
? ? ?
?
?
??
?
?
? ? ?
? ?
?
?
? ?
?? ?
?? ?
?
?
?
?
??
?
?
? ? ?
? ?
?
?
? ?
? ? ?
? ?
?
? ? ?
? ?
? ?
? ?
?
?
? ?
?
G ?? ?G
? ? Selanjutnya misalkan
? ? ?
?
?
? ?
? ?
? ?
G ?? ?G? ?
Setelah persamaan ?? ?G? ? disubstitusi ke persamaan 34.a akan diperoleh
24
? ? ?
?
?
??
?
?
? ?
? ?
?
? ?
?
?
? ?
? ? ?? ? ?
?? ?
?
?
?
??
?
?
? ?
?? ? ?
??
? ? ?
?
?
? ?
? ? ?
? ?
?
? ?
? ?
? ?
? ?
?
?
? ?
G 34.c
Selanjutnya, misalkan fungsi ? merupakan fungsi arus yang memenuhi ?
?
? ?
?
dan ?
?
? ? ?
?
? maka ?
?
hanya bergantung pada ? , misalkan ?
?
? ?
?
?? ?G Berdasarkan kondisi
upstream, yaitu ? dan turunan-turunannya nol untuk ?
?
? ? ? ? persamaan ?? ?G??
menjadi ?
?
?
?
? ? ?
? ?
? ? ?
?
? ?
?
? ?? ?
?
?
? ? ?
?
? ? ?
? ?
?
? ? ?
? ?
?
?
?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
???
? ?
?
?
?
? ? ?
? ?
? ? ?
?
? ?
?
? ?? ?
?
?
? ? ?
?
? ? ?
? ?
?
? ? ?
? ?
?
?
?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
??? ? ?
? ?
? ?
?
?
? ?
? ?? ? G
? ? atau
?
?
?
?
? ? ?
? ?
? ? ?
?
? ?
?
? ?? ?
?
?
? ? ?
?
? ? ?
? ?
?
? ? ?
? ?
?
?
?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
???
? ?
?
?
?
? ? ?
? ?
? ? ?
?
? ?
?
? ?? ?
?
?
? ? ?
?
? ? ?
? ?
?
? ? ?
? ?
?
?
?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
??? ? ?
? ?
? ?
?
?
? ?
?? ?G ? ?
atau dapat ditulis sebagai ?
?
????? ? ? ?
? ?
? ?
?
?
? ?
??? ? dengan
? ? ?
? ?
? ?
?
?
? ?? ?
? ?
?
?
? ?
?
? ? ?
? ?
?
?
?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
?? dan
????? ? ? ?
? ?
?
?
? ?
?
?
? ?
25
Jika gaya luar ?
?
? ? • ?
?
diabaikan, maka penyelesaian persamaan 35 adalah ? ? ? ?? ?
, yang merupakan penyelesaian dari persamaan Long untuk kondisi tunak pada fluida dua dimensi Long 1953. Syarat batas 33.b.i dan 33.b.iii menjadi
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
??
?
?? ? ? ? ? ?
???? ? ? ? ? ??
?
?? 36 dengan ? ??? adalah fluks massa pada aliran setimbang, sehingga syarat batas
dinamik yang ditinjau adalah ?
?
?
? ? ?
? ? ?
?
? ? ? ?
?? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
?
?
? ?
?
? ? ?
?
? ? ? ??
?
? ?
?
?
?
?
? ?
?
?? ? ? ? ? ? ? ?
?
??
?
?? ??? ?
Dengan demikian fungsi ? dapat diperoleh berdasarkan persamaan dasar fluida yang diberikan oleh persamaan 35 dengan syarat batas 36. Hasil dari fungsi ? ?
diperoleh kecepatan arus dalam keadaan setimbang, yaitu ?
?
G Untuk penyederhanaan,
dapat digunakan pendekatan Boussinesq, yaitu ? ? ?. Hal ini dapat dilakukan karena ?
memenuhi nilai ? antara ? ?
? ?
dan ? ?
? ?
Holloway et al. 2002. Berikut ini akan dikaji gerak gelombang soliter dengan meninjau suatu kasus tertentu, dimana ?
?
dan ?
?
diketahui.
4.4 Contoh Kasus pada Fluida Dua Lapisan
