Persamaan Gerak Gelombang Pengaruh arus pada gerak gelombang soliter internal: studi kasus pada fluida dua lapisan

12 IV PEMBAHASAN Pada bagian ini akan dibahas penurunan persamaan gerak gelombang internal pada fluida takmampat dan takkental yang melibatkan variabel- variabel fluida dalam keadaan setimbang, berdasarkan alur penelitian pada Zhou 1989. Apabila kecepatan arus dan rapat massa dalam keadaan setimbang diketahui pada kondisi upstream yaitu kondisi jauh di kiri dan di kanan dimana garis arus nya hampir berupa garis lurus, maka kecepatan arus dan rapat massa pada keseluruhan domain fluida akan ditentukan berdasarkan persamaan dasar fluida dalam keadaan setimbang. Rumusan persamaan dasar pada fluida dalam keadaan setimbang berdasarkan pada alur penelitian dalam Grimshaw 1979.

4.1 Persamaan Gerak Gelombang

Tinjau persamaan dasar fluida ideal yang diperoleh pada bagian sebelumnya: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? G ? ? dengan syarat batas ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ??? ???? P = 0 ? ? ? ? ? ? ??? ???, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?G ??G ? ? Misalkan total kecepatan horizontal, kecepatan vertikal, rapat massa, tekanan fluida dan batas permukaan masing- masing dinyatakan oleh ? ? ? ? , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? dan ? ? ? ? dengan ? ? , ? ? ? ? ? dan ? ? masing-masing menyatakan kecepatan 13 horizontal, rapat massa, tekanan fluida dan batas permukaan pada fluida dalam keadaan setimbang. Selanjutnya diasumsikan bahwa gelombang yang ditinjau memiliki amplitudo yang cukup kecil, sehingga didefinisikan ? ? ? ? ? ? dan ? ? ? ? ? ? 9.c dengan ? suatu parameter kecil dan total kecepatan partikel dalam arah vertikal adalah ? ? ? ? ? ? ? dengan ? ? kecepatan vertikal dalam keadaan setimbang. Jika dalam kondisi ini pengaruh gaya luar diabaikan, maka persamaan 9.a dengan syarat batas 9.b memberikan ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? G ?? dengan syarat batas ? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? G? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? G Penurunan persamaan 10.a-b dapat dilihat pada Lampiran 3. Selanjutnya didefinisikan variabel berikut : ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ??• ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? G ? ? dengan WX’ adalah kecepatan fase gelombang linear. Misalkan variabel–variabel takbebas pada persamaan ?? ?G?? dinyatakan oleh uraian asimtotik berikut: 14 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? G? ? dengan ? ?? ?? ??• ? bergantung pada ? ?? dan ?. Dengan memasukkan uraian asimtotik pada persamaan 11.b ke persamaan ??? G??, maka pada koefisien ? ? diperoleh : ? ? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? G ? ? kemudian dari persamaan ??? G? ? diperoleh syarat batas ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?? ? G? ? dengan ?? ? ? ? ? ? G ?? ?G?? Penurunan persamaan 12.a bagian pertama diberikan dalam Lampiran 4. Selanjutnya persamaan ?? ? G? ? akan disederhanakan, untuk itu substitusikan variabel ? ? ? pada persamaan ?? ?G? G???? ke persamaan ? ?G? G?? kemudian diturunkan terhadap ?, dan variabel ? ? pada persamaan ?? ? G? G??? disubstitusi ke persamaan ?? ?G? G??? , maka variabel ? ?? ? dapat dieliminasi sehingga diperoleh ?? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?G ?? ? G ? ? Penurunan persamaan 12.d dapat dilihat pada Lampiran 5. Selanjutnya dengan pemisahan peubah, misalkan : ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? G 13 Jika ? ? pada persamaan 13 disubstitusikan ke dalam persamaan 12.d dan syarat batas 12.b, maka diperoleh masalah nilai batas untuk ? berikut: ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?G ?? ?G ? ? ? ? • ??• ?????? ????? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? G ? ? 15 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?G Dari persamaan ??? G? ? diperoleh nilai ? ? , ? ? dan ? ? masing- masing ? ? ? ? ??? ? ? ? , ? ? ? ? ? ? ? ? ? , ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 15 lihat Lampiran 6 dengan fungsi ? ???? ? adalah suatu fungsi yang akan ditentukan kemudian. Selanjutnya dari koefisien ? ? pada uraian asimtotik persamaan 10.a dan persamaan 10.b diperoleh ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 16 dengan ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? dan syarat batas berikut: ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 17 dengan ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?G Penurunan persamaan 16 dapat dilihat pada Lampiran 7. Selanjutnya ? ? ? ? ? ? ? • ? ? dieliminasi pada persamaan 16, kemudian dimisalkan ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? maka diperoleh masalah nilai batas untuk ? ? berikut : ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? G ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 19 16 dengan ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? G ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? G Penurunan persamaan 19 dapat dilihat pada Lampiran 8. Persamaan 19 mempunyai penyelesaian, jika memenuhi syarat keterselesaian ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? G ??? ? Jika ? ? dan ? ? disederhanakan menggunakan persamaan 13 dan persamaan 15, kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan 20, maka diperoleh suatu persamaan untuk As,? sebagai berikut ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? G 21 Nilai ? dan ? diperoleh dari ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 22 koefisien ? diberikan oleh ? ? ? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? 23 dengan ? ditentukan oleh ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? sedangkan J merupakan matriks Jacobi dari transformasi koordinat yang diberikan pada persamaan 11.a. Penurunan persamaan 21, 22, dan 23 dapat dilihat pada Lampiran 9. 17 Persamaan 21 merupakan persamaan gerak gelombang dengan koefisien yang bergantung pada variabel s. Persamaan ini sulit diselesaikan secara analitik dan numerik. Oleh karena itu, diasumsikan bahwa dasar fluida berupa permukaan yang hampir rata bervariasi dengan sangat lambat. Ini berarti dimisalkan koefisien ? = 0, sehingga persamaan 21 menjadi ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? G 24 Persamaan 24 merupakan persamaan gerak gelombang internal yang mirip dengan persamaan KdV pada permukaan dasar yang rata Grimshaw 1971. Berikut ini akan ditentukan penyelesaian persamaan 24 yang berupa gelombang soliter.

4.2 Penyelesaian Persamaan Gerak