Tujuan penelitian Persamaan Dasar Fluida

2 gerak gelombang juga dipengaruhi oleh gerak arus pada arah horizontal yang tidak berupa konstanta, seperti yang terjadi pada gerak gelombang internal di selat dengan dasar tidak rata. Pengaruh topografi pada gerak gelombang soliter internal telah dibahas dalam Grimshaw 1983. Pada gelombang internal di atmosfer, gerak arus pada arah horizontalnya berupa kecepatan angin. Berdasarkan kenyataan ini, para peneliti mengembangkan suatu model untuk menjelaskan persamaan gerak gelombang internal dengan melibatkan variabel arus dalam arah vertikal dan arah horizontal.

1.2 Tujuan penelitian

Sebagai sebuah fenomena alam, gelombang soliter internal tentu harus dapat dijelaskan secara fisis maupun matematis. Berdasarkan latar belakang di atas, maka tujuan dari penelitian ini adalah menurunkan suatu persamaan gerak gelombang internal yang melibatkan variabel arus dalam arah horizontal dan vertikal. Kemudian berdasarkan persamaan gerak yang diperoleh, akan diformulasikan gerak gelombang soliter internal. Selain itu, tujuan penelitian ini juga antara lain menentukan kebergantungan parameter gelombang soliter amplitudo, panjang gelombang dan kecepatan fase terhadap variabel fisis rapat massa, variabel arus dan kedalaman berdasarkan hukum konservasi massa. Kemudian simulasi numerik akan dilakukan dengan meninjau kasus fluida dua lapisan dengan variabel arus yang berbeda-beda. 3 II TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan dibahas beberapa teori yang mendukung. Teori-teori tersebut meliputi persamaan dasar fluida yang disarikan dari Billingham King 2000.

2.1 Persamaan Dasar Fluida

Fluida adalah zat cair yang mengalir, artinya zat yang mengalir terhadap sekitarnya. Persamaan dasar akan diturunkan berdasarkan hukum kekekalan massa dan momentum. Hukum kekekalan massa berdasar pada kesetimbangan massa. Untuk itu maka tinjau elemen fluida dengan sisi ? ? ?sisi ? ?, dan sisi ? ? adalah ketebalan elemen fluida dengan arah tegak lurus dengan bidang gambar yang dilalui fluida dengan rapat massa ? ??????? seperti yang diperlihatkan pada Gambar 1. ? ? Misalkan ? ?? ????? dan ? ?? ????? masing- masing adalah kecepatan fluida pada arah ? dan ?G Pada arah horizontal laju perubahan massa pada elemen fluida merupakan selisih antara massa yang masuk dan massa yang keluar yaitu ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ?? ? ? ? ??? ?? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ? G Pada arah vertikal, laju perubahan massa elemen fluida tersebut adalah: ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Gambar 1 Laju perubahan massa pada elemen fluida. 4 ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? sehingga total laju perubahan massa pada elemen fluida per satuan waktu adalah jumlah perubahan massa pada arah horizontal dan arah vertikal yaitu ??? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? atau ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ??G ? ? atau ?? ?? ? ? ? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?G ??G? ? Selanjutnya diasumsikan bahwa fluida yang ditinjau takmampat incompressible, maka diperoleh ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ??G ? ? sehingga persamaan 1.b memberikan ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? G ??G? ? Dalam bentuk sederhana Persamaan 2.b dan 2.a dapat ditulis ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? G ? ?? ? Dalam kesetimbangan momentum, tekanan ? dan gravitasi ? memengaruhi gaya permukaan pada elemen fluida. Laju perubahan momentum merupakan selisih 5 antara momentum yang masuk dan momentum yang keluar, ditambah semua gaya yang bekerja pada elemen tersebut. Misalkan ? ? ???? dan ? ? ???? masing-masing adalah gaya ? ang bekerja pada arah ? dan arah ? pada elemen fluida dengan sisi dx, dz dan ketebalan b seperti diperlihatkan pada Gambar 2.a . Gaya pada arah horizontal dan arah vertikal masing- masing adalah ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ???? ? ??G ? ? ? ? • ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ???? ? ??G? ? dengan ? ? ???? dan ? ? ???? masing- masing adalah gaya yang bekerja pada elemen fluida pada arah horizontal dan arah vertikal. Perubahan kecepatan ? ? pada saat ? ? adalah ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? atau ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? G ? ? dan perubahan kecepatan ? ? pada saat ? ? adalah ? z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? u w ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? P P ? ? ? ? ? z a b Gambar 2 Gaya kesetimbangan pada suatu elemen fluida 6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? G ?? G? ? Persamaan gaya pada arah horizontal diperoleh dengan menyubstitusi persamaan ?? G ? ? ke persamaan ??G? ? sehingga diperoleh ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? ??G ? ? sedangkan persamaan gaya yang bekerja pada arah vertikal adalah ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????G ??G? ? Selanjutnya gaya-gaya pada persamaan ?? G? ? dan ?? G? ? akan dibandingkan dengan gaya lain yang bekerja pada elemen fluida yaitu gaya badan body force , gaya tekan pressure force dan gaya kekentalan viscous force. Misalkan gaya badan, gaya tekan, dan gaya kekentalan masing- masing dinyatakan dengan ? ?? ?? ? • ? . Misalkan ? ? ????? ??• ? ? ????? masing masing adalah gaya badan pada arah ? dan ?? ?? ? ???? ??• ? ? ????adalah gaya tekan pada arah ? dan z, sedangkan ? ? ????? ??• ? ? ????? adalah gaya kekentalan pada arah ? dan ??? maka total gaya yang bekerja pada arah ? dan z pada elemen fluida tersebut adalah ? ? ???? ? ? ? ?????? ? ? ????? ? ? ????? ? ??G ? ? dan ? ? ???? ? ? ? ????? ? ? ? ???? ? ? ? ????? G ??G? ? Gaya badan adalah gaya yang bekerja langsung pada massa fluida seperti gaya gravitasi, gaya sentrifugal, gaya elektromagnetik dan lain- lain. Misalkan ? dan ? masing-masing adalah komponen gaya pada sumbu ? dan z, sehingga gaya badan pada elemen fluida tersebut adalah ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??G?? 7 ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??G? ? dimana pada arah sumbu z, gaya badan dipengaruhi pula oleh gaya gravitasi dengan ? adalah percepatan gravitasi. Selanjutnya, gaya tekan pada arah ? dan z seperti pada Gambar 2.b masing- masing adalah ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? G ??G ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??G ? ? dengan P adalah tekanan pada fluida. Gaya kekentalan dianggap nol karena diasumsikan fluida takkental inviscid sehingga diperoleh ? ? ????? ? ? ? ????? ? ? G ?? G ? ? Jika persamaan ?? G??, ?? G?? dan ?? G? ? disubstitusikan ke persamaan ?? G??? maka diperoleh ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ?G ??G? ? Gaya pada arah horizontal ? ? ???? pada persamaan ??G? ? dan persamaan ?? G? ?, dapat dieliminasi sehingga diperoleh ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? atau ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? atau ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??G ? ? dengan ? = ? ? merupakan total gaya elemen fluida pada arah horizontal, sedangkan ? ? ? ? ? ? dengan ? adalah frekuensi Buoyanc y yang merupakan suatu konstanta pada fluida yang dalam kondisi tunak besarnya dapat dianggap sama dengan ? ? ? G 8 Penurunan persamaan ?? G? ? dapat dilihat pada Lampiran 1. Konstanta ? juga biasa digunakan pada frekuensi Brunt-Vaisala ? ??? dengan persamaan ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??G? ? untuk menggambarkan kepadatan fluida berlapis. Selanjutnya apabila persamaan ?? G ? ? , ?? G? ? dan ?? G?? disubstitusikan ke persamaan ??G? ?, akan diperoleh gaya elemen fluida pada arah vertikal yaitu ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? atau ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ??G?? dengan ? ? ? ? merupakan total gaya pada arah vertikal, penurunan persamaan ?? G ?? dapat dilihat pada Lampiran 1.

2.2 Syarat batas