17
Persamaan 21 merupakan persamaan gerak gelombang dengan koefisien yang bergantung pada variabel s. Persamaan ini sulit diselesaikan secara analitik dan
numerik. Oleh karena itu, diasumsikan bahwa dasar fluida berupa permukaan yang hampir rata bervariasi dengan sangat lambat. Ini berarti dimisalkan koefisien ? = 0,
sehingga persamaan 21 menjadi ?
?
? ? ? ? ?
?
? ?
?
? ?
? ? ?
? ? G 24
Persamaan 24 merupakan persamaan gerak gelombang internal yang mirip dengan persamaan KdV pada permukaan dasar yang rata Grimshaw 1971. Berikut ini akan
ditentukan penyelesaian persamaan 24 yang berupa gelombang soliter.
4.2 Penyelesaian Persamaan Gerak
Kar ena penyelesaian
dar i per samaan
gelombang d’Alem bert
?
??
? ?
?
?
? ?
? ? adalah ? ?? ? ??? dan ? ?? ? ??? dengan c kecepatan gelombang
Str auss 1992 , m aka d ap at d iaju kan t ebakan u n t u k penyelesaian persamaan 2 4 yaitu
? ? ? ? ? ? ?? ?G? ?
sehingga ? ? ? ? ? ? ? • ? ? ? ? ? ? ?G
Notasi c pada penyelesaian per samaan d’Alembert diganti dengan ?, sedangkan
fungsi ? diganti dengan fungsi ? . Per samaan ?? ?G? ? disubstitusi ke per samaan 2 4 sehingga diper oleh
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ?
?
? ?
?
? ??
?
? ? G ?? ?G? ?
Dengan mengintegr alkan per samaan ?? ?G? ? ter hadap ? diper oleh ? ?? ?
? ?
?? ?
?
? ?
?
? ?
?
? ? ?
?
? ?
?
?? ?G?? d en gan ?
?
mer upakan tetapan integr asi. Apabila diasumsikan bahwa penyelesaian per sam aan 24 ber upa gelom bang soliter, yaitu A d an sem u a
18
tu r unannya mendekati n o l untuk ? ? ? , maka ?
?
? ? . Selanjutnya per samaan 2 5 .c dikalikan dengan faktor ? ?? ?? ? sehingga diper oleh
? ? ?? ? ?
? ? ? ? ??
?
? ? ? ?
? ??
?
? ?
?
? ? ?
?
? ? ? ?
? ? G Integr alkan kedua r uas ter hadap ? , diper oleh
? ??
?
? ?
? ? ? ?
?
? ?
?
? ? ? ?
? ? ?
?
? ?
?
G ?? ? G
? ? Kar ena diasum sikan penyelesaian per sam aan 2 5.d ber upa gelombang soliter ,
maka ?
?
? ? sehingga dapat dituliskan dalam bentuk
? ? ?
? ? ?
?
? ?
?
?? ? ?
? ?
?
? ? ?
atau ? ?
? ? ? ? ? ?? ?
? ? ?
?
? ? ? G
?? ?G? ?
Dengan pemisahan var iabel, per samaan ?? ? G?? dapat ditulis ? ? ?
? ? ? ? ?? ?
? ??
?
? ? ?
? ?
G ?? ? G
? ?
Pemilihan 0 sebagai batas integr asi, tidak mengur angi sifat umum per masalahan kar ena titik awal ini dapat ditr ansfor m asikan secar a linear . Integr al r uas kanan
dapat diselesaikan dengan melakukan tr ansfor masi ber ikut. ? ?
? ?
?
? ?
?????
?
? ?? ? G
? ? maka
19
?? ? ? ? ?
?? ? ??• ? ?
? ? ????
?
? ?
?? ? ?
? ? ? ? ? ? ???• ?
?
? G Jadi per samaan ?? ? G? ? member ikan
? ? ? ? ? ?
?
? ?
?G
Jika dilakukan tr ansfor masi balik dar i per samaan ?? ? G? ?, maka diper oleh ? ? ?
? ? ?
????
? ?
? ? ? ?
?? atau
? ? ? ?
? ? ????
?
? ??
? ?
atau ? ? ? ????
?
? ? ?? ?G? ?
den gan ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
?
? atau
? ? ? ?? ?
?
??
?
G ???G??
Dengan demikian penyelesaian persamaan ?? ? ? dapat ditulis sebagai ? ? ? ????
?
? ? ?? ?G??
dengan
20
? ? ? ? ? ?
?
? ?
? ? ? ? ?? sedangkan ? dan ? memenuhi persamaan 25.i.
Penurunan persamaan ?? ? G?? dapat dilihat pada Lampiran 10. Berdasarkan persamaan 25.i diperoleh tiga parameter gelombang internal
yaitu ? , ? dan ?. Jika salah satu parameter diketahui, maka dua parameter lainnya dapat ditentukan. Parameter ? bergantung pada nilai ? yang merupakan koefisien
dari persamaan KdV dan nilainya bergantung pada rapat massa dan kedalaman fluida. selain itu bergantung pada nilai parameter ?G
Persamaan 24 memenuhi hukum konservasi massa yang dinyatakan sebagai berikut Grimshaw 1971
? ???
?
? ? ?
?
??? ? ?
? ? ?
?? ? G ? ?
sehingga dengan menyub stitusi persamaan 25 ke persamaan ?? ? G?? diperoleh ?
??
? ?
? ????
? ?
????
? ?
?
?
? ?? ?
?
? ? ?
?
?
? ? ?
? ? ? ? atau
? ? ?
? ???
?
?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ???
?
?
? ? ?
? ? G ?? ?G? ?
Persamaan ?? ?G? ? digunakan untuk memperoleh amplitudo yang bergantung pada variabel s. Untuk itu, misalkan
? ? ???
?
?
? ? ?
? ? sehingga persamaan ??? G? ? dapat ditulis sebagai
? ? ? ?
? ? ? ?? ???? ? ?
? ? ? ? ? ? ?G
?? ?G ? ?
Jika kedua ruas pada persamaan 27 diintegralkan, maka diperoleh ?? ?
???
?
?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ?
??G ?? ?G? ?
21
Selanjutnya substitusikan persamaan ?? ?G? ? dan ?? ?G?? ke persamaan ?? ? G? ?, diperoleh
?? ? ???
?
? ? ?
????
?
?
? ?
?
?? ? ? ? ? ? ?
? ?
? ? ?? ?G
? ? atau
?? ? ????
?
?? ? ? ? ? ? ? ?
? ?
??G ?? ?G? ?
Selanjutnya dengan menyubstitusi ? pada persamaan 25.i ke persamaan ?? ? G? ? diperoleh
?
? ?
??
?
?
?
?
?
? ?• ???• ??? ?? ? ? ?
? ?
? ?? ??? ?
Penurunan persamaan 29 dapat dilihat pada Lampiran 10. Berdasarkan persamaan 29 dapat diperoleh hubungan antara amplitudo
gelombang dan kondisi fisis seperti rapat massa, kecepatan arus dan ketebalan fluida. Besaran µ dan ? adalah koefisien per samaan 2 4 yang nilainya
ber gan tun g p ad a kon d isi fisis fluid a. Ap abila kecep atan ar us d an r ap at m assa fluida diketahui d i
upstream , m aka ked u a besar an t er sebu t d ap at d it en t u kan ber dasar kan r um usan per sam aan dasar pada fluida dalam keadaan setim bang.
Rum usan per sam aan dasar fluida dalam keadaan setim ban g diber ikan ber ikut ini.
4.3 Fluida dalam Keadaan Setimbang