36
sedangkan pada fluida yang melibatkan variabel arus , amplitudo gelombang soliter sangat kecil bilamana lapisan bawah lebih kecil dari lapisan fluida di atasnya. Pada
fluida yang melibatkan arus, gelombang soliter berupa elevasi bilamana perbandingan lapisan atas dengan ketebalan fluida lebih besar dari sepertiga, sedangkan bila tanpa
arus gelombang soliter berupa elevasi bilamana perbandingan lapisan atas dengan ketebalan fluidanya lebih besar dari setengah.
5.2 Saran
Pada penelitian ini hanya dibahas untuk kasus arus yang bergerak sejajar dengan arah perambatan gelombang, sedangkan pada kenyataannya tidak selamanya
searah dengan perambatan gelombang. Fenomena alam ini tentu saja sangat mungkin terjadi pada gelombang soliter internal, sehingga penelitian ini terbuka untuk
penelitian lanjutan.
DAFTAR PUSTAKA
Apel JR. 1980. Satellite sensing of ocean surface dynamics. Ann. Rev. Earth Planet. Sci, 8: 308-342.
Billingham J, King AC. 2000, Wave Motion. Cambridge University Press. Clarke S, Grimshaw R, Miller P, Pelinovsky E, Talipova T. 1981. On the Generation
of soliton and breather in the modified Korteweg de-Vries equation. Chaos 10: 383-392.
Grimshaw R. 1971. The solitary wave in water of variable depth. Fluid Mech. 46: 611-622.
Grimshaw R. 1983. Evolution equations for nonlinear internal waves in stratified shear flows. Stud. Appl. Math. 65: 159-188.
Grimshaw R. 1979. Slowly varying solitary wave I. Korteweg-de Vries equation, Proc. Roy. Soc. Ser. A. 368: 359-375.
Grimshaw R, Pelinovsky E, Talipova T. 2006 Modeling Internal Solitary Waves in the Coastal Ocean UK : Loughborough University.
Holloway P, Pelinovsky E, Talipova T. 2002. Internal tide transformation and oceanic internal solitary waves. USA: Dordrecht Kluwer.
Long RR. 1953. Some aspects of the flow of stratified fluids J. Tellus 5 : 42 – 58. Newell A. 1985. Soliton in Mathematics and Physics. Pennsylvania: University of
Arizona. Strauss WA. 1992. Partial Differential Equations. USA: Malloy Lithographing Inc.
Zhou X. 1985. Effect of current on the fission of a solitary waves. Sci. Sinica. 28:
1278 – 1290. Zhou X. 1989. Effect of variable current on internal solitary waves. Dynamics of
Atmospheres and Ocean. 14: 17 – 39.
38
LAMPIRAN
39
Lampiran 1 Penurunan persamaan ?? G? ? dan ?? G??
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
?
???? ? ??G
? ? ? ?
? ? ?
?? ??
? ? ? ?
? ? ? ?
?? ??
?? G ? ?
Persamaan ??G? ? disubstitusi ke persamaan ?? G?? diperoleh ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
?? ??
? ? ?
?
???? ? ??G
? ? ?
?
???? ? ?
?
?????? ?
?
????? ?
?
????? G ??G
? ? Selanjutnya ?
?
???? pada ?? G? ? dan ?? G? ? dieliminasi sehingga diperoleh ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
?
????? ? ?
?
???? ? ?
?
????? G ??G??
Karena ?
?
?????, ?
?
???? dan ?
?
????? masing-masing adalah ?
?
?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
???? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ??
?
?
????? ? ?
?
????? ? ? ? sehingga persamaan ??G?? dapat ditulis
? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?G Kedua ruas dibagi dengan faktor ? ? ? ? ? sehingga diperoleh
? ? ??
?? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
?? ??
? atau
? ??
?
? ? ?
?
? ? ?
?
? ? ?
? ?
?
?
? ? ? ??G
? ? ? ? • ??• ? ? ? ?
, dan ? ? ?
? ?
G
40
Dengan cara sama, dari persamaan ??G? ?, persamaan ?? G?? diperoleh ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
?
????G ??G? ?
Karena ?
?
???? ? ?
?
????? ? ?
?
???? ? ?
?
????? ??G? ?
dengan ?
?
????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
???? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? • ?
?
?????? ?
?
????? ? ? ? maka diperoleh
???
?
? ? ?
?
? ? ?
?
? ? ?
? ?
??
?
? ?? ? ? ? ??G??
dengan ? ? ? ? G
41
Lampiran 2 Penurunan persamaan ?? G? ? dan ?? G? ?
Dari persamaan permukaan fluida ? ????? ? ?????? ? ? ? ? ?
diperoleh turunan total ? terhadap waktu ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?? ????
atau ?
? ? ?? ? ?? ? ? ?
atau ?
? ? ?? ? ?? ? ?
? ? ?
????? ? ?? ? ? ?
? ? ???? ? ? ?? ? ??
sehingga diperoleh ?
?
? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???G
?? G ? ?
Selanjutnya dari persamaan pada batas bawah fluida ? ?? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?
diperoleh turunan total ? terhadap waktu ? adalah ? ?
? ? ? ??
? ? ? ? ? ? ? ??? ?? atau
? ? ?
?? ? ? ???? ? ? atau
? ? ?
?? ? ? ?? ?? ? ? ?
? ? ?? ? ? ?? ?? ? ?
? ? ?
?? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?G
??G ? ?
42
Lampiran 3 Penurunan persamaan 10.a 10.b
Dari persamaan 9.a ?
?
? ??
?
? ? ?
?
? ?? ???
?
?
? ?
?
? ?? ????
? ??
?
? ??
?
? ? ?
?
? ? ?
? ?
?
?
? ? ? ?????
? ??
?
? ? ?
?
? ? ?
?
? ? ?
? ?
??
?
? ? ? ? ? ????
dengan syarat batas 9.b ?
?
? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ????
??? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ??? ????
?? ?? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ???G
????? Apabila kecepatan horizontal, kecepatan vertikal, rapat massa, dan tekanan
fluida masing- masing dinyatakan oleh ?
?
? ? , ?
?
?
?
? ? , ?
?
? ? dan ?
?
? ? ? maka dari persamaan 9.a.i dapat dinyatakan sebagai
?
?
? ??
?
? ????
?
? ? ?
?
? ? ?
?
?
?
? ? ???
?
? ??
?
? ? atau
?
?
? ??
?
? ???
? ?
? ??
?
? ???
?
? ? ?
?
?
?
? ? ??
? ?
? ? ?
?
?
?
? ? ??
?
? ? G 9.a.i.i
Dari persamaan 9.c diperoleh ? ?
?
? ?
?
? ? ? sehingga persamaan 9.a.i.i dapat
ditulis ?
?
? ??
?
? ???
? ? ?
? ? ? ? ?
? ??
?
? ???
?
? ? ?
?
?
?
? ? ??
? ?
? ? ?
?
?
?
? ? ??
?
? ? atau
?
?
? ??
?
? ???
? ? ?
?
?
? ??
?
? ? ??
?
? ? ?
?
?
?
? ? ??
? ?
? ? ?
?
?
?
? ? ??
?
? ? atau
?
?
? ?
?
??
?
?
?? ?
? ?
?
?
??
? ? ??
?
? ? ??
?
? ? ?
?
?
?
? ? ??
?
? ? ?
? ?
? ?
?
? ?
? ? ?
? ?G 9.a.i.ii
Apabila setelah t detik, kordinat gelombang ? dinyatakan dalam ? ? ? ? ? ?, maka
?
?
? ?
?
? ?
?
? ? ? ?
?
G
43
Sehingga persamaan 9.a.i dapat dinyatakan sebagai ? ??
?
? ? ?
?
? ? ?
?
? ? atau
?
?
?? ? ?? ? ? ?
?
? ? G 9.a.i.iii
Misalkan ? ? ? ? ?? sehingga persamaan 9.a.i.iii dapat ditulis ? ?
?
? ? ?
?
? ? .
Untuk penyederhanaan ? ? ??? ??? ? sehingga ? ?
?
? ? ?
?
? ? G 9.a.i.iv
Selanjutnya dimisalkan fluida yang ditinjau memiliki rapat massa ?
?
??
?
??? , tekanan
?
?
??
?
??? , gaya badan arah horizontal adalah ?
?
?
?
??
?
??? dan gaya badan arah
horizontal adalah ?
?
?
?
??
?
??? , sedangkan kecepatan partikel dalam arah horizontal
dan vertikal masing- masing adalah ?
?
??
?
??? dan ?
?
?
?
??
?
??? , sehingga persamaan
9.a.i.iv menjadi ?
?
?
? ?
? ?
?
?
?
?
? ?
? ? ?? G?G?G??
atau ?
?
?
? ? ?
?? ? ??
? ?
?
?
?
?
? ?
? ? atau
?
?
?
?
?
? ? ?
? ?
?
?
?
?
? ?
? ? atau
?
?
?
? ? ?
? ?
?
?
? ?
? ? G ??G? G?G???
Dengan menyubstitusi persamaan ?? G? G?G??? ke persamaan 9.a.i.ii diperoleh ?
?
? ??
?
? ? ??
?
? ? ?
?
?
?
? ? ??
?
? ? ?
? ?
? ?
?
? ?
? ? ?
? ?G Dengan cara sama diperoleh
???G ? ??
?
? ? ?
?
? ? ?
?
? ?
?
? ?
?
?
? ?
? ?
?
?
? ?
???
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
? ?
??
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
??
?
?
? ?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
? ? ? ?? ? ? ?G
44
?
??
?
? ? ???
?
? ??
?
? ? ??
?
? ??
?
?
?
? ? ??
?
? ? ?
? ?
? ?
?
? ?
? ?
?
? ? ?
?
???
?
?
? ?
?
? ?
?
?
? ?
? ? ?
? ?
?
?
? ? G ?? G ? ??
?
? ? ?
?
? ? ?
?
? ?
?
? ?
??
?
? ? ? ? ?
?
??
?
? ? ?
?
?
?
? ??
?
? ? ??
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
? ?
?
? ?
? ?
? ?
?
??
? ?
?
?
? ?
?
???
?
?
? ?
?
? ?
?
?
? ?
? ? ?
? ?
??
?
? ?? ? ?? G = 0.
? G ?
?
? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ????
? ?
?
? ??
?
? ? ? ?
?
?
? ??
?
? ? ?
?
?
?
? ? ? ? ?
????
? ? ?
?
? ? G
45
Lampiran 4 Penurunan persamaan 12.a 12.b
Dari persamaan ??? G? ? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
?
?? ??• ? ? ?
?
? ?
? ? ?
? ? ?
????• ??? ? ? ? ?
? ?
? ?? ? ? ? ? ?
? ?
? ?
?
? ? ? ? ?
? ?
? ? ?G Dengan aturan rantai diperoleh
?
?
? ?
?
? ? ? ?
?? ?? ?
? ? ? ? ?
? ?
?
?
? ?
?
? ?
?
?
? ??
? ?
?
?
? ?
?
? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ?
?
?
?
?? ?? ? ? ?
?
?
?
? sehingga persamaan 10.a.iii menjadi
??
?
? ? ??? ?
?
?
?
? ??
?
? ? ???
? ?
?
?
? ??
?
?
?
? ? ??
?
? ? ?
? ?
? ?
?
? ?
? ?
?
? ?
? ? ?
?
???
?
?
? ?
?
? ?
? ?
?
?
? ?
? ? ?
? ?
??
? ?
?
?
? ? ?? ? G
? G???G?? Apabila uraian asimtotik pada persamaan 11.b disubstitusikan ke persamaan
?? ?G? G???G?? , maka diperoleh
??
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
? ?
?
? ? ??
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ?
?
? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ?
??
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ?
?
? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ??
??
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ??
? ?
?
? ?
?? ?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
? ?
?
? ? ???
?
?
? ?
?
? ?
? ?
?
?
? ?
? ? ?
? ?
??
? ?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
? ?
?
? ? ?
?
? ? ?
46
atau ?
?
?
? ?
?
? ?
? ?
?
?
? ?
?
??
? ?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
?
?
?
??
?
?
? ?
? ? ?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
? ? ?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
?
? ?
?
?
?
??
?
?
? ?
? ? ?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
??
? ?
?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
?
?
?
? ?
?
?
? ?
?
? ?
?
?
?
?
??
? ?
?
? ?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
? ?
?
?
? ?
? ?
?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
? ?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
? ?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
??
?
?
??
?
?
? ?
?
? ?
?
?
? ?
? ?
? ? ?
? ?
? ? ? ? G Dari koefisien ?
?
diperoleh ?
?
?
? ?
?
??
? ?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
?
?
?
??
?
?
? ? G ?? ? G?G???G???
Misalkan ?? ? ? ? ?
?
, dalam kondisi tunak ? = 0 sehingga persamaan ??? G? G???G??? menjadi
?
?
?
? ?
?
? ?
? ?
?
?
? ?
?
?
?? ?
??
? ?
?
?
?
??
?
?
?
? ? ?
?
?
? ?
??
? ?
? ?
?
??? ?
??
? ? ??
?
?
?
?? ? ? ?
?
?? ?? ?
? ?
? ? ??
?
?
?
? ? ?
? ?
? ? G ?? ?G??
47
Lampiran 5 Penurunan persamaan ?? ? G? ?
?
?
?? ?? ?
??
? ? ?
?
?????
?
? ? ?
? ?
? ?? 12.a.i
?
? ?
? ?
?
? ?? 12.a.ii
?
??
? ? ?
? ?
? ?? 12.a.iii
? ?? ?
??
? ? ?
?
?
?
?
?
? ?? 12.a.iv
Substitusikan variabel ?
? ?
pada persamaan ?? ? G?G???? ke persamaan ? ? G?G?? sehingga diperoleh
?
?
???? ?? ?
? ?
? ? ? ?
?
?????
?
??? ?
? ?
? ? ? selanjutnya diturunkan terhadap ? sehingga diperoleh
??
?
??? ? ?
? ?
? ? ?
?
?????
?
??
?
? ?
? ? ?
? ? G 12.a.v
?
? ?
? ? • ?
?
pada persamaan 12.a.ii masing- masing diturunkan terhadap ? kemudian disubstitusi ke persamaan 12.a.v sehingga diperoleh
?? ?
? ? ?
? ? ?
?
?
?
?
?
? ? G ?? ? G???
Selanjutnya dengan menyubstitusi persamaan 12.vi ke persamaan 12.v diperoleh ?? ??
?
??? ? ?
??
? ? ?
?
?????
?
??
?
? ? ?
?
?
?
?
?
? ? G ?? ?G? ?
48
Lampiran 6 Penurunan persamaan ?? ? G? ? ? ?? ? ?
?
?
?? ?? ?
? ?
? ? ?
?
?????
?
? ? ?
??
? ?? 12.a.i
?
? ?
? ?
?
? ?? 12.a.ii
?
??
? ? ?
??
? ?? 12.a.iii
? ?? ?
? ?
? ? ?
?
?
?
?
?
? ?? 12.a.iv
Misalkan ?
?
? ? ?
?
?
? ?
?? ? G 13
Jika persamaan 13 disubstitusi ke pesamaan 12.a.iii, maka diperoleh ?
? ?
? ? ??
?
?
? ?
?? ? ?
?
? ? atau
?
? ?
? ??
?
?? ? ?
?
kedua ruas diintegralkan terhadap ? sehingga diperoleh ?
?
? ? ??? ? ?
?
G 15.a
Jika persamaan 15.a disubstitusi ke pesamaan 12.a.iv, maka diperoleh ? ?? ?
? ?
? ? ?
?
?
?
?? ?
?
?
? ?
?? ? ? atau
?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
? kedua ruas diintegralkan terhadap ? sehingga diperoleh
?
?
? ? ?
?
?
?
? G 15.b
Dengan menyubstitusi persamaan 15.b ke persamaan 12.a.ii diperoleh ?
? ?
? ? ?
?
?
?
? ? ? karena ??
?
??
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
? ? ? maka ?
??
? ??
?
??
?
?
?
?
?
, sehingga diperoleh ?
?
? ? ?
?
??
?
?
?
. 15.c
Selanjutnya persamaan 13 disubstitusi ke persamaan 12.a.iv sehingga diperoleh
?? ??
?
??? ? ?? ?
?
?
? ?
?? ? ?
?
? ? ??
?
?? ?
?
?
? ?
?? ? ???
?
? ? ?
?
?
?
?? ?
?
?
? ?
?? ? ? ? ? atau
49
?? ??
?
??? ? ?? ?
?
?
? ?
?? ? ?
?
? ? ??
?
??
?
?
? ?
?? ? ???
?
? ? ?
?
?
?
??
?
?
? ?
?? ? ? atau
??
?
?? ?? ??? ? ?
?
? ??
?
?? ? ??
?
? ?
?
?
?
? . 12.a.v
Karena ??? ? ?
?
? ??
?
? ? ?
?
?? atau
?? ??? ? ?
?
? ?? ??
?
? ? ?
?
?? ?? atau
? ?
?
??
?
? ?? ?? ??? ? ?
?
? ??
?
?? ? ?? maka persamaan 12.a.v dapat dinyatakan sebagai
?? ?
?
?
?
??
?
?
?
? ?
?
?
?
? atau
??
?
?
?
??
?
?
?
? ?
?
?
?
? ? ? . 14.a
Dengan menyubstitusi persamaan 15.c ke persamaan 12.b.ii diperoleh ? ? ?
?
??
?
?
?
? ?
?
?
?
? ? atau
? ? ??
?
?
?
? ?
?
? ?? yang apabila diturunkan terhadap ? maka diperoleh
? ?
?
??
?
?
?
? ?
? ?
. 12.b.iv Pada batas atas fluida di ? ? ?
?
, substitusikan persamaan 13 ke persamaan 12.b.i sehingga diperoleh
?? ?
? ?
? ? ?
?
?
? ?
?? ? atau
?
? ?
? ?
?
? ,
50
sehingga persamaan 12.b.iv menjadi ? ?
?
??
?
?
?
? ?
?
? atau
? ??
?
?
?
? ? atau
? ??
?
?
?
? ? ? ? . pada ? ? ?
?
G 14.b
51
Lampiran 7 Penurunan persamaan 16
Koefisien ?
?
dari uraian asimptotik pada persamaan 11.b seperti pada halaman 46 adalah
?
? ? ?
? ?
? ?
? ? ?
?
?
?
?
?
??
? ?
? ? ?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
?
? ?
?
?
?
? ?
?
?
? ?
? ? ?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
??
? ?
?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
?
?
?
? ?
?
?
? ?
?
? ?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
? ?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
? ? ?
? ?
? ? • ? ? ? ? ???? ?????? ? ? • ??• ?
? ? ?
sehingga diperoleh
? ?
? ?
?
?
?
?
??
? ?
?
?
?
?
? ?
? ? ?
?
?
? ?
?
?
? ?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
?
?
?
??
? ?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
?
? ?
?
?
? ? ?
?
?
?
?
? ?
? ??
?
?
?
?
? ?
? ? ?
?
?
?
?
??
?
? ?
? ? ????
? ?
? ?
?
? ?
?
?
? ?
? ?
?
?
? ?
? = ? ?
?
? ?
?
?
? ?
? ?
? ?
?
?
? ?
?
?
? ?
? ?
?
?
? ?
? ?
? ?
? ? ?
?
? ?
?
?
??
? ?
?
?
? ?
? ?
?
?
? ?
? atau
??
? ?
?
? ?
?
?
? ?
? ?
?
?
? ?
? ? ?
?
16.i dengan
?
?
? ? ?
?
? ?
?
?
? ?
? ?
? ?
?
?
? ?
?
?
? ?
? ?
?
?
??
? ?
? ?
? ? ?
?
? ?
?
?
??
? ?
?
?
? ?
? ?
?
?
? ?
?G Bagian
? ?
?
? ?
?
?
? ?
? ?
?
?
??
? ?
?
?
? ?
? ? ?
?
?
?
?? ?
?
?
?
?
? ?
? ? ?
?
??
?
?
? ?
? ?
?
?
? ?
? ?? ? G
??? dalam kondisi tunak persamaan 9.a.iii adalah
?
?
??
?
?
?? ?
? ?
?
?
? ?
? ? ?
? ?
?
?
? ?
?
maka persamaan 16.ii dapat dinyatakan sebagai
52
? ?
?
? ?
?
?
? ?
? ?
?
?
??
? ?
?
?
? ?
? ? ?
?
?
?
?? ?
?
?
?
?
? ?
? ? ??
? ? ? ?
?
?
?
? atau
? ?
?
? ?
?
?
? ?
? ?
?
?
??
? ?
?
?
? ?
? ? ?
?
?
?
?? ?
?
?
?
?
? ?
? ? ??
? ? ? ?
? ?
?
?
? atau
? ?
?
? ?
?
?
? ?
? ?
?
?
??
? ?
?
?
? ?
? ? ?
?
?
?
?? ?
?
?
?
?
? ?
?
? ?
? ?
?
? sehingga diperoleh
?
?
? ? ?
?
? ?
?
?
? ?
? ?
? ?
?
?
? ?
?
?
? ?
? ?
?
?
??
? ?
? ?
? ?
?
?
?
?? ?
?
?
?
?
? ?
?
? ?
? ?
?
?.
53
Lampiran 8 Penurunan persamaan ?? ? ?
? ?? ?
? ?
? ? ?
?
? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ?
?
? 17.a
? ?
?
? ?
?
?
?
? ? ?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
?
?
?
? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
?
, 17.b ?
?
? ? ?
? ?
?
?
?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? G
17.c Pada persamaan 17.a ? ? • ?????• ??• ?? ?? variabel ?? dieliminasi sehingga
diperoleh ?
?
?
? ?
? ?
?
?
?
? ?
? ?
?
?
?
?
G 17.d
Kedua ruas pada persamaan 17.b diturunkan terhadap ? ? ?
? ?
? ?
?
?
? ?
? ? ??
?
?
?
?
?
? ? ?
?
?
?
?
? ?
?
? ?
?
?
, nilai ?
?
?
? ?
disubstitusikan ke persamaan 17.d sehungga diperoleh
? ?
? ?
? ?
?
?
?
? ?
? ?
?
?
?
?
? ? ??
?
?
?
?
?
? ? ?
?
?
?
?
?
?
? ?
G 17.e
Selanjutnya kedua ruas pada persamaan 17.a dikalikan ? diperoleh ? ? ?
?
?? ?
? ?
? ? ?
?
? ??
?
?
?
? ? ?
? ?
? ? ?
?
, kemudian disubstitusi ke persamaan 17.e sehingga diperoleh
? ?
?
? ??
?
?? ?
? ?
? ? ?
?
? ??
?
?
?
? ?
? ?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
? ???
?
?
?
?
?
? ? ?
?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
?? ?
? ?
? ?
?
?
?
? ?
?
19.b dengan
?
?
? ? ??
? ?
?
?
?
?
? ? ?
?
? ? ?
?
?? ?
? ?
? ? ??
?
?
?
?
?
? ? ?
?
?
?
?
?
?
? ?
G Selanjutnya dari persamaan 17.c
?
?
? ? ?
? ?
?
?
?
?
atau ? ? ?
?
? ?
?
?
?
atau ?? ?
?
? ?
?
?
?
pada z = - h 19.c
54
Lampiran 9 Penurunan persamaan 21
Pada bagian ini akan diformulasikan persamaan gerak gelombang internal. Untuk itu substitusi variabel
?
?
? ?? ?? ?
?
? ? ?
?
? ?? ?
?
?
? ?
?? ? ?? ?
?
? ?? ?
?
?
?
? ? ,
?
? ?? ?
?
??
?
?
?
? dari persamaan persamaan 13 dan 15, ke persamaan 16.i sehingga diperoleh
?
?
? ? ?
?
???
?
?
?
?
?
? ?
?
?
? ?
? ? ??
?
? ?
?
??
? ?
??
?
? ? ?
?
?
?
??
? ?
?
? ?
? ? ?
?
? atau
?
?
? ? ?
?
???
?
?? ?
?
??
?
? ?? ?? ?
?
??? ?? ?
?
?
?
? ? ??
?
? ?
?
?
? ?
?? ? ??? ?? ?
?
?
?
? ? ?
?
??
?
?
?
?
?
? ? ?
?
?
?
? ?
?
?? ?? ?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
? ??
?
?G Selanjutnya Jika variabel ?
?
pada persamaan 19 disubstitusi ke persamaan 20, maka
? ?
? ?
?
? ?
? ? ? ? ? ?? ?
? ?
? ??
? ?
?
?
? ??
?
?? ?
? ?
?
?
? ?
?
?? ?
? ?
?
? ? ?
?
?
?
? ?
? ? ? atau
? ?
? ?
?
? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
?
? ?
? ? ? ? ? ??
? ?
?
? ?
?
? ?
? ? ? ? ? ??
?
?? ?
? ?
?
? ?
?
? ?
? ? ? ? ?
?
?
?? ?
? ?
?
? ? ? ?
?
? ?
? ? ?G ?? ?G??
Untuk memudahkan, maka ruas kanan persamaan 20.a akan dievaluasi secara terpisah yaitu :
?G ? ? ?
? ? ?
?
? ?
? ? ? mis ? ? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ?? ? ? ?
? ?
? ? ? ? ? ? ?
?
, sehingga
? ? ?
? ? ?
?
? ?
? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ?
? ?
?
? ?
?
?
? ? atau
55
? ? ?
? ? ?
?
? ?
? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ?
G ? ?
?
???
?
?? ?
?
??
?
? ?? ?? ?
?
??? ?? ?
?
?
?
G
?
?
? ?
? ? ??
?
? ?
?
?
? ?
?? ? ??? ?? ?
?
?
?
? ? ?
?
??
?
?
?
?
?
? ? ?
?
?
?
? ?
?
?? ?? ?
?
??
?
?
?
?
?
?
? ?
? ? ? ?
?
???
?
? ? ?? ?G
? ? koefisien ? ?
?
dari persamaan 20.b adalah ? ? ?
? ?
? ?
?
? ?
?? ?? ?
?
??? ?? ?
?
?
?
?
?
? ? ? ? ?
? ?
? ?
?
? ?
? ??
?
?
? ?
?? ? ??? ?? ?
?
?
?
?
?
? ? ? ? ?
? ?
?
?
?
? ?
?
?? ?? ?
?
??
?
?
?
?
? ?
?
? ?
?
?
? ? ??G ?
??
? ?
?
? ?
?
? ?
? ? ? dengan ?
?
seperti pada persamaan 16 yaitu ?
?
? ? ??
?
?
? ?
? ?
?
?
? ?
? ?
?
?
? ?
?? ? ??
?
? ?
?
??
? ?
sehingga ?
??
? ?
?
? ?
?
? ?
? ? ? ? ? ??
? ?
?? ??
?
?? ?
?
?
?
? ?
?
? ?? ?? ?
?
??
? ?
?
?
?
? ?
?? ?? ?
?
??? ?
?
?
?
? ?
?
? ? ? ??
?
? ?
?
?
? ?
?? ? ??? ?
?
?
?
? ?
?
?? ? ? ??? G
?? koefisien ? ?
?
dari persamaan 20.c adalah ? ? ?
?? ?
?
??? ?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
? ?
? ? ? ? ? ? ?
?
?
? ?? ?
?
?
?
? ?
? ?
?
? ?
? ? ? ???G ?
??
?
?? ?
? ?
?
? ?
?
? ?
? ? ? misalkan ? ? ? ? ? ? ? ?
?
?? ? ? ? ??
?
?? ?
??
?
?
?? ? ? ? ?
?
?? ?
? ?
sehingga
56
? ??
?
?? ?
? ?
?
? ?
?
? ?
? ? ? ? ?
?
?? ?
??
? ? ? ?
?
?? ?
? ? ?
?
? ?
?
?
? ? atau
? ??
?
?? ?
? ?
?
? ?
?
? ?
? ? ? ? ?
?
?? ?? ?? ?
?
?
?
? ? ?
?
? ?
? ?
?
? ?
??
?
?
? ?
? ? ?? G ?
?
?
?? ?
? ?
?
? ? ? ?
?
? ?
? ? ? dengan ?
?
? ?? ?
?
?
? ?
?? ? ? sehingga
? ?
?
?? ?
? ?
?
? ? ? ?
?
? ?
? ? ? ? ? ?
?
?? ?
? ?
?? ?
?
?
? ?
?? ? ?
? ? ?
?
? ?
? ? ? atau
? ?
?
?? ?
? ?
?
? ? ? ?
?
? ?
? ? ? ? ? ? ?
?
??
?
?
? ?
?
?
?
? ? ? ?
?
? ?
? ? atau
? ?
?
?? ?
? ?
?
? ? ? ?
?
? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ?
? ?
?
??
?
?
? ?
?
? ?
?
? ?
? ?G Untuk memudahkan, maka koefisien ? dihilangkan sehingga
? ? ? ? ?
? ?
?
? ?
?? ?? ?
?
??? ?? ?
?
?
?
?
?
? ? • ? • ???? ? ? ? ? ?
? ?
?
? ?
??
?
?
? ?
?? ? ? ?
? ?
? ?
?
? ?
? ??
?
?
? ?
?? ? ??? ?? ?
?
?
?
?
?
?? • ?• ???? ? ? ? ?
?
?
? ?? ?
? ?
?
? ?
??? ?
?
?
?
? ? misal ? ? ?
?
? ? ?? ? ??
? ?
? ? ?
?
?
?
?? ? ? ? ? ?? ?
?
??? ?
?
?
?
? ? ? ? ?
? ?
??? ?
?
?
?
?
? ?
??
?
?
? ?
sehingga ? ? ? ?
?
? ?
? ??
?
?
? ?
? ? ?
? ??
?
?
? ?
?
?
? ?
??
? ?
? ? ?
?
?
?
?? ? atau
57
? ? ? ?
? ?
?
??
?
? ?
? ?
? ?
? ?
?
??
? ??
?
?
? ?
?
?
? ?
? ? ? ?
? ?
?
?
??
?
?
? ?
?
?
? ?
? ? G Untuk
? ?
? ?
? ?
? ??
?
?
? ?
?
?
? ?
?? ? ? ?
? ?
? ?
? ?
? ??
?
?
? ?
?
?
? ?
? ? ?? ? G? ?
dengan ?
? ?
? ? ? ?
? ?
8.b selanjutnya subtitusikan persamaan 14.b.i ke persamaan 20.d sehingga
persamaan 20.d dapat ditulis sebagai ?
? ?
?
? ?
? ??
?
?
? ?
?
?
? ?
?? ? ? ?
? ?
?
? ?
? ? ?
? ?
?
? ?
? ? ?? ? G
?? dengan menyubstitusi persamaan 14.a ke persamaan 20.e diperoleh
? ?
? ?
? ?
? ??
?
?
? ?
?
?
? ?
?? ? ?
? ?
??
?
??
?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
? ?
? ? ?? ? G
? ? misalkan ? ? ? ?
?
? ? ? ? ??
?
?
?
? ? ?
? ?
?? ? ? ? ? ??
?
??
?
?
?
?
?
? ? ? ? ? ?
?
??
?
?
?
sehingga persamaan 20.f menjadi ?
? ?
?
? ?
? ??
?
?
? ?
?
?
? ?
?? ? ?
? ? ?
?
?
?
??
?
?
?
? ?
? ?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
? ? ?
? ?
???
?
?
? ?
atau ?
? ?
?
? ?
? ??
?
?
? ?
?
?
? ?
? ? ? ?
? ?
?
??
?
? ?
? ?
? ?
? ?
?
?
??
?
?
? ?
? ?
?
?
? ?
? ?
? ?
?
?
??
?
?
?
? ?
? ?
? ?
?
?
? ?
?? ?G?? sehingga
? ? ? ?
? ?
?
??
?
? ?
? ?
? ?
? ? ?
?
?
?
??
?
?
?
? ?
? ?
?
?
??
?
?
? ?
? ?
?
?
? ?
? ?
? ?
?
?
??
?
? ?
?
?
? ?
? ?
?
?
? ?
? ?
? ?
?
?
??
?
?
? ?
?
?
? ?
? ?G atau
58
? ? ? ?
? ?
?
?
??
?
? ?
?
?
??
? ?
?
?
? ?
misalkan ? ? ?
?
??
?
? ? ?? ? ??
?
??
?
?
?
?
?
? ? ? ? ? ?
?
?
? ?
? ? ? ? ?
? ?
?
? ?
sehingga ? ? ?
? ?
?
? ?
?
?
??
?
? ? ?
? ?
? ?
?
? ?
??
?
??
?
?
?
?
?
? ?
?
?
? ?
atau ? ? ?
? ?
?
?
?
? ?
??
?
? ?
? ?
?
?
??
?
?
?
?
?
G Untuk
? ? ? ? ?
?
?
?
? ?
?
?? ?? ?
?
??
?
?
?
?
? ?
?
? ?
?
?
?? atau
? ? ? ? ?
?
?
?
? ??
?
?
? ?
?
? ?
?
?
? ? ? ? ? ?
?
??
?
? ?
? ?
? ? ?
?
??
?
?
? ?
? ?
?
?
? ?
? ? ?
?
??
?
?
?
? ?
??
? ?
?
?
? ?
? ? ? ?
?
??
?
? ?
? ?
? ? ?
?
??
?
?
? ?
? ?
?
?
? ?
? ?
?
?
? ?
??
?
? ? ?
? ?
?
??
?
?
?
?
?
? ? ? ?
?
??
?
?
? ?
? ?
?
?
? ?
? ?
? ?
?
??
?
?
?
?
?
G
Untuk ? ? ?
?? ?
?
??? ?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
? ?
? ? ? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
? ?
59
? ? ? ? ??
?
??
?
?
?
?
? ?
?
? ?
? ?
?
?? ? ? ? ?
?
??
?
? ?
? ?
? ? ?
?
??
?
?
? ?
? ?
?
?
? ?
? ? ?
?
??
?
?
?
? ?
??
? ?
?
?
? ?
? ? ? ?
?
??
?
?
? ?
? ?
?
?
? ?
? ?
? ?
?
??
?
?
?
?
?
G Untuk
? ? ? ? ?
?
? ?? ?
?
?
?
? ?
? ?
?
? ?
? ? ? atau
? ? ? ? ??
?
?
?
? ?
? ?
?
? ?
?
?
? ? misal ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
?
?
?
?? ? ? ? ? ??
?
?
?
? ?
?
?? ? ? ? ? ?
?
?
?
? sehingga
? ? ? ?
?
?
?
?
?
? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
?? atau
? ? ? ?
?
?
?
?
?
? ? ? ?
?
??
?
?
? ?
? ?
?
?
? ?
? ?
?
??
?
?
?
?
?
koefisien ? ?
?
????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? adalah ? ?
?
? ?
?
? ?
??
?
?
? ?
?? ? ?
? ?
?
??
?
? ?
? ?
? ?
? ?
?
??
?
?
?
?
?
? ? ?
?
??
?
?
? ?
?? ?
?
?
? ?
? ?
?
?
??
?
?
?
?
?
? ? ?
?
??
?
?
? ?
??
?
?
? ?
? ?
? ?
?
??
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
? ? ?
?
?
??
?
?
? ?
??
?
?
? ?
? ?
?
??
?
?
?
?
?
???? ? ?
?
? ?
?
? ?
??
?
?
? ?
? ? ? ?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
??
?
?
?
?
?
? ? ?
?
??
?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
??
?
? ?
? ?
60
untuk koefisien
?
? ? ? ?
?
??
? ?
?
?
?
?
?
? ?
? ? ? atau
? ? ? ??
? ?
??
?
??
?
?
?
?
? ?
?
? ?
? ? ? • ???? ? ? ??
? ?
? ? ?? ? ??
? ?
?
?
? ? ?? ? ??
?
??
?
?
?
?
?
? ? ? ? ? ?
?
??
?
?
?
sehingga ? ? ??
? ?
? ?
?
??
?
?
?
? ? ?
?
??
?
?
? ?
?
? ?
??
? ?
?
?
? ? atau
? ? ?
?
?? ? ?
?
? ? ?
?
?? ?
? ?
?
?
? ?
? ?
61
Lampiran 10 Penurunan persamaan 29 Dari persamaan 26.b
? ? ?
? ???
?
?
? ? ?
?? ? ? ? ? ? ???
?
?
? ? ?
? ?
??• ? • ????• ?• ? ?
???
?
?
? ? ?
? ?? maka persamaan 26.b menjadi
? ? ?
? ? ? ? ? ?
atau
? ? ?
? ? ? ? ?? kedua ruas diintegralkan sehingga diperoleh
?? ? ? ? ? ? ?
? ?
??
atau
?? ? ???
?
?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ?
? ? ?? ? G
? ? Jika persamaan 25.j disubstitusi ke persamaan 27.b, maka diperoleh
?? ? ???
?
????
?
? ?? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ?
? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ?
? ?G ?? ?G??
?• ? ? ?• ????• ?• ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ?
??• ?• ?
? ? ? ? ? ? ??• ? ? ? ? ?
?
sehingga persamaan ??? G? ? menjadi
62
?? ? ???
?
????
?
? ??
? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ?
??
atau
?? ? ???
?
? ? ?
????
?
?
? ? ?
? ?? ? ? ? ? ?
? ?
? ?
atau
?? ? ???
?
? ? ?
? ??• ? ??? ?
? ?
? ???? ?? ?
?
??• ? ?? ??? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ?
? ?
atau
?? ? ? ???
?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ?
? ?G ?? ?G? ?
Jika persamaan 25. i disubstitusi ke persamaan 28.d, maka diperoleh
?? ?
? ?
? ? ???
?
? ? ? ?
?? ?? ?
? ?
? ? ? ? ?
? ?
? ?
atau
?• ? ? ? ??
?
?
?
?
?
?
?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ?
? ? ????
? ? ?
? ?
??
?
?
?
?
?
? ??? ?? ? ? ?
? ?
???
atau
? ?
? ?
??
?
?
?
?
?
? ? ? • ???• ??? ?? ? ? ?
? ?
??? ??? ?
63
Lampiran 11 Penurunan persamaan 31
Dari persamaan 9 ?
?
? ? ?
?
? ? ?
?
? ? , i
?
?
? ?
?
? ? , ii
? ??
?
? ? ?
?
? ? ?
?
? ? ?
? ?
?
?
? ? ? iii
???
?
? ? ?
?
? ? ?
?
? ? ?
? ?
??
?
? ?? ? ? G iv Jika gelombang ? setelah t detik dinyatakan dalam ? ? ? ? ? ?,
maka ? ? ? ? ? ? ? • ?? ? ? ? ? ?
Sehingga persamaan 31.i ?
?
? ? ?
?
? ? ?
?
? ? ? dapat dinyatakan sebagai
? ? ??
?
? ??
?
? ? ?
?
? ? ,
? ?
?
?? ? ?? ? ? ?
?
? ? . Misalkan ? ? ? ? ?? maka
? ?
?
? ? ?
?
? ? .
Untuk penyederhanaan ? ? ??? ??? ? sehingga ? ?
?
? ? ?
?
? ? Persamaan 31.iii
? ??
?
? ? ?
?
? ? ?
?
? ? ?
? ?
?
?
? ? ? ? ??? ? ???
?
? ? ?
?
? ? ?
? ?
?
?
? ? ? ? ?? ?
?
? ? ?
?
? ? ?
? ?
?
?
? ? , untuk penyederhanaan ? ? ?????? ? sehingga
? ? ?? ?
?
? ? ?
?
? ? ?
? ?
?
?
? ? Persamaan 31.iv
? ??
?
? ? ?
?
? ? ?
?
? ? ?
? ?
??
?
? ? ? ? ? ? ?? ? ?
?
? ??
?
? ? ?
?
? ? ?
? ?
??
?
? ? ? ? ? ? ? ??? ? ???
?
? ? ?
?
? ? ?
? ?
??
?
? ? ? ? ? ? ? ?? ?
?
? ? ?
?
? ? ?
? ?
??
?
? ? ? ? ? .
Untuk penyederhanaan ? ? ??? ??? ? sehingga ? ? ?? ?
?
? ? ?
?
? ? ?
? ?
??
?
? ?? ? ?
64
Lampiran 12 Penurunan persamaan 33.a-b Dari persamaan 31.a
? ?
?
? ? ?
?
? ? G ???
?
?
? ?
?
? ? G ????
??? ?
?
? ? ?
?
? ? ?
? ?
?
?
? ? G ?????
? ???
?
? ? ?
?
? ? ?
? ?
??
?
? ? ? ? ? ? ??? ?
dengan syarat batas 31.b ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??
??? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ??? ??
?? ?? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???G
????? Selanjutnya dimisalkan fluida yang ditinjau memiliki rapat massa ?
?
??
?
??? , tekanan
?
?
??
?
??? , gaya badan arah horizontal adalah ?
?
?
?
??
?
??? dan gaya badan arah
horizontal adalah ?
?
?
?
??
?
??? , sedangkan kecepatan partikel dalam arah horizontal
dan vertikal masing- masing adalah ?
?
??
?
??? dan ?
?
?
?
??
?
??? , dengan ? parameter
kecil. Misalkan pula
?
?
? ?
?
? ? ?
?
? ?
?
?? ?? ?G
? ? sehingga diperoleh
?? ? ? ?
?
?? dan ? ? ?? ?
?
? ? G ?? ?G? ?
?G ? ?
?
? ? ?
?
? ? ? ?
?
?
? ? ?
? ? ? ? ?
? ?
?
?
?
?
? ?
? ? ? ?
?
?
? ? ?
?
?
? ?
?
?
?
?
??
? ? ? ?
?
?
? ? ?
? ?
?
?
? ?
? ?G ??G ?
?
? ?
?
? ? ? ?
? ? ?
?? ? ??
? ?
?
?
? ?
? ? ? ?
? ? ?
?
?
? ?
?
?
??
? ? ? ?
?
? ?
?
? ? G
65
???G? ???
?
? ? ?
?
? ? ?
? ?
?
?
? ? ? ?
?
? ?
?
?
? ? ?
? ? ? ? ?
? ?
?
?
?
?
??
? ? ?
? ?
?
? ? ?
? ? ? ? ?
? ?
?
?
?
? ?
?
??
?
?
? ? ?
?
?
? ?
?
?
?
?
? ?
?? ?
? ?
?
? ? ?
?
?
? ?
?
?
?
? ?
?
??
?
?
? ? ?
? ?
?
?
? ?
? ? ?
? ?
?
?? ?
? ?
?
?? G ? ???
?
? ? ?
?
? ? ?
? ?
??
?
? ? ? ? ? ? ?
?
? ?
?
?
?
?
? ? ?
? ? ? ??
? ?
?
?
?
?
?
?
? ?
? ? ?
? ?
??
? ?
? ?
?
? ? ? ? ?
?
??
?
?
?
?
?? ?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
? ?
? ? ?
? ?
??
? ?
? ?
?
? ? ? ?
?
?
?
?
??
?
?
? ? ?
? ?
?
?
? ?
? ? ?
? ?
??
? ?
? ?
?
? ? ?
?
?
?
? G ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??
? ?
?
?
?
? ?
?
?
? ? ?
?? ? ? ?
? ? ? ?
?
?
?
? ?
?
?
? ? ?
?
?
? ? ? ?
?
? ?
?
?
? ? ?
? ? ???G? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ??
? ?
?
?
?
? ?
?
?
? ?
?? ? ??
? ? ? ?
?
?
?
? ?
?
?
? ?
?
?
? ? ? ?
?
? ?
?
?
? ?
? ?
66
Lampiran 13 Penurunan persamaan 40 42
Berdasarkan domain fluida pada persamaan 38.b. Persamaan 14.a dengan syarat batas 14.b dapat ditulis
??
?
??
?
?
??
?
??
? ?
?
?
?
? ? ?G ?? ? G
?? ?• ??• ?????? ?????
? ??
?
?
??
? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ?? ? G
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ??? ? ? ? ? • ??• ???
? ?
G Sedangkan persamaan 38.a menjadi
?
?
???? ? ? ?
?
? ??• ? ? ? ? ??? ? ?
?
?
? ??• ? ? ? ? ??? ?
?? ?G? ? ? ? • ??• ? ?
?
?
? G
Untuk batas ? ? ? ??? ? karena ?
?
???? = ?
?
konstan, maka ?
? ?? ?
? ? sehingga solusi umum daerah ini
adalah ? ???? ? ? ??? ? G Untuk ??? ? diperoleh ? ???? ? ? dan ?
? ?
? ? sehingga ? ??
?
? ? ? ? ? , atau
? ? ? ??
?
? sehingga
? ??? ? ? ???? ? ??
?
? ?? ?G??
Untuk ??? ? ? G ? ?? ? ? ? ? ?? ??
?
? ? ?G ?? ? G
? ? Untuk batas ? ? ? ?? ? ? ?
?
?
???? = ?
?
konstan, maka ?
? ?? ?
? ? sehingga solusi umum pada batas ini adalah
? ???? ? ? ??? ? ?? ?G
? ? Untuk ??? ? ? diperoleh
? ? ? ? ? ? atau ? ? ? sehingga
? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?G
? ? atau
? ???? ? ? ?? ? ??? karena kontinyu di ??? ? ? sehingga dari persamaan ?? ?G? ? dan ??? G?? diperoleh
67
? ?? ? ? ? ? ? ?? ??
?
? ? ? , sehingga
? ? ? ?? ? ? ?
? ??
?
? ? ?? ? G? ?
diperoleh penyelesaian ? ??? untuk dua daerah yang diberikan pada persamaan 38.b yaitu
? ? ? ?? ? ? ?
? ???? ? ?? ? ? ?
? ??
?
? ? ? ??? ? ??
?
? ? ? ?
? ??
?
? ? ? ?
? ?? ? ? ?
? ??
?
? ? ???? ? ??
?
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?
? ???? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ?
atau
? ???? ? ? ? ??? ?
? ? ? ?? ? ? ? G
?? ? ? ? ?? ??
?
? ? ? ???? ? ??
?
? ? ? ? ?? ? ? G
?? ? G ? ?
Selanjutnya substitusi persamaan ?? G?? ke persamaan ?? ?G? ? memberikan ??
?
??
?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
? ?
? ?? ?G? ?
sehingga dengan mengintegralkan kedua ruas terhadap z dari ? ? ? ? sampai ? ? ? ?
diperoleh ?
?
??
?
?
?
? ? ? ? ?
G ? ? ? ?
? ?
? ?
?
?
? ? ? ? ? ?
G ? ? ? ?
?? ?G?? Selanjutnya ? ??? pada persamaan 40.a dengan daerah yang dibatasi oleh persamaan
38.b disubstitusi ke persamaan ?? ? G?? sehingga diperoleh ?
?
??
?
? ?? ? ? ?
?? ??
?
? ? ? ? ?
?
??
?
? ? ?
? ?
?
?
? ?? ? ? ?
?? ??
?
? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??
?
? ? ?
? ?
?
?
? ?? ? ? ? ? ? ? untuk ? ? ?, diperoleh
?
?
??
?
?? ? ? ? ?? ??
?
? ? ? ? ?
?
??
?
? ?
? ?
?
?
?? ? ? ? ?? ??
?
? ? ? ?? ? ? ? ??
?
? ? ?
? ?
?
?
?? ? ? ? atau
68
?
?
??
?
?? ? ? ? ?? ??
?
? ? ? ? ?
?
??
?
? ?
? ?
?
?
?? ? ? ? ? ?
? ?
?
?
?? ? ? ? atau
?
?
? ??
?
?? ? ? ? ????
?
? ? ? ? ?
? ?
?? ? ? ?? ? ?
?
??
?
? ? ?? ? ? ?? atau
?
?
? ?
?
?? ? ?
?
? ??? ? ? ? ? ?
?
? ? ?? ? ? ? ??
atau ?
?
?
?
? ?? ? ?
?
? ??? ? ? ? ? ?
?
? ? ?? ? ? ? ??
?? ? G ? ?
gunakan persamaan ? ?
? ??
?
? ?
?
? ?
?
? ?
?
sehingga persamaan 37.c dapat ditulis sebagai ? ? ?
? ? ? ?
?? ? ? ? ?
?
???? ? ?
?
? ? ?? ? ? ??
atau ? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ??
?
? ? ?
?
?
?
? ? ?
?
?
?
? ?
?
?
?
? ? atau
??
?
?
?
?? ? ? ? ? ??
?
? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?G ??? ?
Persamaan 38 memberikan persamaan untuk ??
?
yaitu
??
?
? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ??
?
? ? ?
?
?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?
?
?? ? ? ? G
?? ? G ? ?
Deret Taylor dari ??
?
terhadap ? yang diberikan pada persamaan 42.a dengan menggunakan asumsi ? yang cukup kecil atau ?
?
? ?
?
adalah ??
?
? ?
? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ??
?
?? ? ? ??
?
? ?? ?G? ?
69
Lampiran 14 Penurunan persamaan ?? ? G? ?? ? G? ? ? ? ? ? G??.
Dari persamaan 22.i ?? ? ? ?
?
?
??
?
?
? ?
? ?
?
?
? ?
G Setelah diskalakan, persamaan 22.i dapat dinyatakan sebagai
?? ? ? ? ?
?
??
?
?
? ? ?
? ??
?
?
? ?
?? ? G?G?? Dengan menggunakan kondisi seperti pada persamaan 38.b dan 40.a, persamaan
22.i.a dapat dinyatakan sebagai ?? ? ? ?
?
?
??
?
?
? ? ? ?
? ??
? ? ? ?
? ? ? ?
?
??
?
?
? ? ? ?
? ??
? ? ?
?? ?G?G? ? Dari persamaan 40.a diperoleh
?
?
? ??? ?
? ? ? ? ? • ?
?
? ??? ? ??
?
? ??
?
? ? Turunan ?
?
? ? • ?
?
terhadap ?? masing- masing adalah ?
? ??
? ?
? ? ? ? ? • ?
? ? ?
? ?
? ? ? ?
?
? Dengan menyubstitusi persamaan 43 ke dalam persamaan ?? ?G?G?? diperoleh
persamaan 44.a yaitu ?? ? ? ?
?
?
?
?
?
? ? ? ?
? ??
? ? ? ?
? ? ? ?
?
?
?
?
? ? ? ?
? ??
? ? ?
? ? ?
?
? ??
?
?? ? ? ?
?
? ? ?
G ? ?
? ??
?
?? ? ? ?
?
? ?
?
? ?
G ? ?
? ? ? ?
?
? ?
?
?? ? ? ?
?
? ? ?
?
?? ? ? ?
?
? ?
?
? Dengan cara yang sama, dapat diperoleh persamaan 44.b dan 44.c yaitu
?? ? ?
? ?
?
?
?
? ? ? ? ? ? ???
?
? ? ? ?
?
? ? ? ?
?
?
?
? ?? ? ?
?
? ?
?
? ?? ?G? ?
? ? ? ? ?
?
? ?
? ? ? ?
? ? ?? ? ?
?
? ?
?
? G ?? ?G??
70
Lampiran 15 Penurunan persamaan 48.a, 48.b, dan 48.c
dari persamaan 40.a ?
?
???? ? ??? ?
? ? ? ?
?
???? ? ??? ? ??
?
? ??
?
? ? sehingga
?
? ??
? ?
? ? ? G
?
? ??
? ?
? ? ? ?
?
? Dari persamaan 22.iii
? ? ? ?
?
?? ?
? ? ?
???
?
?
? ?
G? • ?? • ??? ?? ? ? ? ? ??????• ?????????
? ? ? ? ? ?
?
?? ? ????
? ? ?
?
?
? ??
? ? ? ?
? ? ?
?
?? ? ?????
?? ?
?
?
???
? ? ?
?
? ? ? ? ?
?
?? ? ???
? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
?
???? ? ?
?
?? ? ???
? ? ?
? ?
? ? ? ?
?
? ?
?
? ???
? ? ? ?
?
?? ??? ??
?
? ?
?? ? ? ? ?
?
? ? ?
G G
? ? ?
?
?
?? ??? ??
?
? ?
?? ? ?
?
? ?
?
? ?
G G
? ? ?
? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ??
?
? ? ? ? ?
? ?? ? ?? ??
?
?? ? ?
?
? ?
?
? Dengan menyubstitusi persamaan 42.b dan 45.c ke persamaan 22.iii kemudian
menggunakan pendekatan Boussinesq yaitu ?
?
? ?
?
atau ? yang cukup kecil, sehingga deret Taylor dari ? terhadap ? , adalah
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?? ?
?? ?
? ?
?
? ? ? ? ? ?
?
? ? ?
?
? ?? ? ? ? ? ? ? ??
?
? ? ? ?
?
? ? ? ? ?? ?
? ? ? ??? ? ? ?? ?
?
?
71
dengan cara yang sama akan diperoleh ?? ?
?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ??
?? ? ? ?
?
? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?
?
? ? ??? ? ? ?? ?
?
? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ??
?
?? ? ? ?? ? ?
?
?? ? ?? ??? ? ? ? ?? ?? ? ? ??
?
? ?? ?
?
? ? ? ??? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ???? ? ? ? ?? ?? ? ? ??
?
? ?? ? ?
?
? ? ?? ? ? ??? ? ??? ? ?
?
?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?? ?? ? ? ??
?
G
?? ? ?
? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?
?
? ??
?
? ?? ?
?
? ? ??
?
? ?
? ?
? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ?? ?
?
? ? ??
?
??
? ? ? ? ?? ? ? ? ?
?
? ? ? ??
?
? ? ? ??
?
? ? ??
?
? ? ?? ?? ? ? ?? ? ?
? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ?
?
? ? ? ?
?
? ? ?? ?? ? ? ?? ? ??
ABSTRACT
RIDZAN DJAFRI. The effect of variable currents on internal solitary waves, case study for two- layer fluid. Under supervision of JAHARUDDIN and FARIDA
HANUM.
Abstract Internal waves are waves that appear at the boundary of two- layers of fluid with
different density. The internal wave motion model is derived based on the assumption that the bottom boundary of fluid is slowly varying, thus the resulting
of equations motion is KdV equation with variable coefficients. KdV equation coefficients also depend on the current velocity. Solitary wave formulation,
carried out to determine the dependence of the wave variables to the physical variables. A case study on two-layers of fluid is discussed.
Keyword: KdV equation, currents velocity, solitary internal waves
RINGKASAN
RIDZAN DJAFRI. Pengaruh Arus pada Gerak Gelombang Soliter Internal, Studi Kasus pada Fluida Dua Lapisan . Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan FARIDA
HANUM.
Gelombang internal merupakan gelombang yang terjadi pada batas dua lapisan fluida dengan rapat massa yang berbeda. Teori untuk gelombang internal
pertama kali dikembangkan oleh Stokes, sedangkan teori umum untuk gelombang internal yang tidak tunak unsteady dengan rapat massa yang tidak konstan telah
dikembangkan oleh Fjeldstand 1933. Kedua teori tersebut diterapkan pada fenomena yang terjadi pada bidang oseanografi. Salah satu gelo mbang internal
yang banyak dikaji adalah gelombang soliter internal. Gelombang soliter internal terjadi di bawah permukaan fluida, sehingga keberadaannya tidak dapat dilihat
secara langsung kasat mata, namun dapat dideteksi melalui foto satelit berdasarkan pola gelap terang yang muncul di permukaan laut. Selain di laut,
gelombang soliter juga terjadi di danau dan atmosfer.
Kebanyakan teori tentang gelombang soliter internal dikembangkan untuk kasus gerak gelombang yang hanya dipengaruhi oleh gaya gravitasi, sedangkan
gerak pada arah horizontalnya berupa konstanta Zhou 1985. Pada kenyataannya, gerak gelombang juga dipengaruhi oleh gerak pada arah horizontal, seperti yang
terjadi pada gerak gelombang internal di selat dengan dasar tidak rata ataupun pengaruh topografi pada gerak gelombang soliter internal yang di bahas oleh
Grimshaw 1983. Pada gelombang internal di atmosfer, gerak pada arah horizontalnya berupa kecepatan angin. Berdasarkan kenyataan ini, para peneliti
mengembangkan suatu model untuk menjelaskan persamaan gerak gelombang internal, dengan melibatkan va riabel arus dalam arah vertikal dan arah horizontal.
Untuk memprediksi pengaruh arus pada gerak gelombang soliter internal, terlebih dahulu ditinjau persamaan dasar untuk fluida ideal yang bersifat tak
mampat incompressible dan takkental inviscid beserta syarat batas fluida, kemudian diturunkan persamaan lain untuk fluida yang telah diberi variabel arus.
Persamaan dasar fluida dengan variabel arus merupakan masalah taklinear yang sulit diselesaikan, sehingga persamaan dasar dan syarat batasnya ini terlebih
dahulu dibuat dalam uraian asimtotik. Kemudian untuk menyederhanakan, digunakan asumsi penyatuarahan. Asumsi ini berarti bahwa gelombang soliter
internal yang diamati bergerak hanya searah dengan rambatan gelombang. Asumsi lain adalah bahwa gelombang yang diamati adalah fluida dangkal yaitu fluida
yang memiliki panjang gelombang lebih besar dibandingkan dengan kedalamannya, sehingga dapat diterapkan persamaan Korteweg-de Vries KdV.
Pada penelitian ini, persamaan KdV yang diturunkan dari hukum kekekalan massa dan hukum kekekalan momentum diselesaikan dengan metode
asimtotik, yaitu dengan memisalkan peubah-peubah takbebasnya dalam bentuk uraian asimtotik. Selanjutnya kecepatan gelombang dalam arah vertikal dan arah
horizontal diubah dalam variabel arus, sehingga diperoleh suatu persamaan Long Long 1953. Dari persamaan Long, dievaluasi rapat massa fluida dalam variabel
arus, sehingga simpangan yang diperoleh merupakan kekuatan arus atau angin.
Hasil penelitian dalam tesis ini menunjukkan bahwa, variabel arus memengaruhi parameter gelombang soliter amplitudo, panjang ge lombang dan
kecepatan fase, sehingga ditemukan alasan pentingnya mempertimbangkan variabel arus ketika akan mengevaluasi sifat dari gelombang soliter internal.
Kata kunci: gelombang soliter, pengaruh arus , metode asimtotik.
1
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
