8
Penurunan persamaan ?? G? ? dapat dilihat pada Lampiran 1. Konstanta ? juga biasa digunakan pada frekuensi Brunt-Vaisala ? ??? dengan persamaan
?
? ?
? ? ? ?
?
?
?
??G? ? untuk menggambarkan kepadatan fluida berlapis. Selanjutnya apabila persamaan
?? G ? ?
, ?? G? ? dan ?? G?? disubstitusikan ke persamaan ??G? ?, akan diperoleh gaya elemen fluida pada arah vertikal yaitu
? ? ? ?
?? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ??
? ? ? ?
? ? ?
? ?
??
?
? ? ? ?
? ? ? ? ? atau
???
?
? ? ?
?
? ? ?
?
? ?
?
? ?
??
?
? ?? ? ? ? ??G??
dengan ?
?
? ? merupakan total gaya pada arah vertikal, penurunan persamaan
?? G ??
dapat dilihat pada Lampiran 1.
2.2 Syarat batas
Selanjutnya akan dibahas masalah nilai batas yang harus dipenuhi gerak partikel fluida, yaitu syarat batas kinematik yang disebabkan oleh adanya gerak
partikel fluida dan syarat batas dinamik yang disebabkan oleh tekanan partikel fluida. Misalkan batas atas fluida adalah kurva permukaan fluida, sedangkan batas bawahnya
adalah dasar yang cukup keras sehingga tak ada partikel fluida yang menembus dasar, seperti yang diperlihatkan pada Gambar 3.
9
Gambar 3 Batas fluida. Misalkan kurva permukaan fluida adalah z = ?
. Persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk implisit sebagai
Misalkan pula tak ada partikel fluida yang menembus permukaan, maka syarat batas kinematik pada permukaan fluida merupakan turunan total S terhadap waktu
sehingga diperoleh
Dengan operator sebagai simbol untuk turunan total terhadap waktu
maka turunan total S terhadap waktu t adalah lihat Lampiran 2.
Pada syarat batas dinamik diasumsikan bahwa tekanan permukaan sama dengan tekanan udara yang dimisalkan sama dengan nol, sehingga
z = ?
10
Pada batas bawah fluida dimisalkan bahwa dasar fluida mengikuti persamaan ? ? ? ? ?? ?
atau ? ?
?
??? ? ? ? ? ??? ? ?G Dengan asumsi tak ada fluida yang menembus dasar, maka batas bawah kinematik
adalah turunan total ? terhadap waktu ?G Dengan cara yang sama dengan persamaan
?? G ? ?
diperoleh ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?G ??G
? ? Penurunan persamaan ?? G? ? dapat dilihat pada Lampiran 2.
Dengan demikian persamaan dasar fluida sebagai berikut: ?
?
? ? ?
?
? ? ?
?
? ? ? ?
?
? ?
?
? ? ? ???
?
? ? ?
?
? ? ?
?
? ? ?
? ?
?
?
? ? ? ? ??
?
? ? ?
?
? ? ?
?
? ? ?
? ?
??
?
? ? ? ? ? ?? ?
? ?
? ?? G
? ?
dengan syarat batas ?
?
? ? ?
?
? ? ? ? ???? ? ? ??? ????
P = 0 ? ? ? ? ? ? ??? ???, ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?G
?? G ? ?
11
III METODOLOGI PENELITIAN
Pada penelitian ini dibahas tinjauan matematis mengenai gelombang internal. Salah satu persamaan yang dapat menggambarkan perilaku gerak gelombang internal
adalah persamaan Korteweg de Vries KdV, yang merupakan suatu persamaan bagi gerak gelombang yang panjang gelombangnya jauh lebih besar daripada
amplitudonya asumsi fluida dangkal. Persamaan KdV ini diturunkan dari persamaan dasar fluida ideal, yaitu fluida yang takmampat incompressible dan
takkental inviscid. Analog dengan penurunan persamaan KdV, maka dalam penelitian ini
diasumsikan bahwa gelombang yang ditinjau memiliki panjang gelombang yang cukup besar dibandingkan dengan kedalaman fluida. Metode yang digunakan dalam
penurunan persamaan gerak gelombang internal adalah metode asimtotik. Dalam hal ini semua variabel takbebas yang muncul dalam persamaan dasar akan dinyatakan
dalam uraian asimtotik. Hasilnya diharapkan berupa persamaan KdV dengan koefisien variabel yang bergantung pada variabel arus, baik dalam arah horizontal,
maupun dalam arah vertikal. Berdasarkan persamaan KdV yang dihasilkan, diformulasikan gerak
gelombang soliter internal dengan mengasumsikan penyelesaian persamaan KdV berupa gelombang berjalan gelombang soliter. Hasil formulasi ini akan digunakan
untuk menentukan kebergantungan parameter gelombang soliter amplitudo, panjang gelombang, dan kecepatan fase terhadap variabel arus. Hubungan ini akan
digambarkan dengan menggunakan software Mathematica, dengan meninjau kasus fluida dua lapisan yang masing- masing memiliki rapat massa yang konstan.
12
IV PEMBAHASAN
Pada bagian ini akan dibahas penurunan persamaan gerak gelombang internal pada fluida takmampat dan takkental yang melibatkan variabel- variabel fluida dalam
keadaan setimbang, berdasarkan alur penelitian pada Zhou 1989. Apabila kecepatan
arus dan rapat massa dalam keadaan setimbang diketahui pada kondisi upstream yaitu kondisi jauh di kiri dan di kanan dimana garis arus nya hampir berupa garis lurus,
maka kecepatan arus dan rapat massa pada keseluruhan domain fluida akan ditentukan berdasarkan persamaan dasar fluida dalam keadaan setimbang. Rumusan
persamaan dasar pada fluida dalam keadaan setimbang berdasarkan pada alur penelitian dalam Grimshaw 1979.
4.1 Persamaan Gerak Gelombang
