KOSMOLOGI : DINAMIKA JAGAD RAYA

BAB VI KOSMOLOGI : DINAMIKA JAGAD RAYA

Interaksi antar materi pada skala besar jagad raya saat ini hanya dipengaruhi oleh gravitasi. Karena itu, pemecahan persamaan medan gravitasi Einstein akan sanggup memberikan deskripsi jagad raya secara klasik, baik pada asperk kualitatif maupun kuantitatif. Ada beberapa model jagad raya yang dapat disajikan sebagai penyelesaian persamaan Einstein.

6.1 Dinamika Jagad Raya

Persamaan medan gravitasi Einstein akan diselesaikan untuk objek fisis jagad raya. Terlebih dahulu akan dihitung tensor energi-momentum gas galaksi. Setiap partikel (galaksi) di jagad raya bergerak mengikuti garis dunia (world line).

Kecepatan − 4 partikel tersebut dapat dinyatakan oleh vektor kontravarian V

dx

dengan x adalah vektor koordinat − 4 dan τ adalah swawaktu (proper time) yang diukur oleh jam standar yang ikut bergerak bersamanya. Partikel-partikel di jagad

raya dapat dianggap sebagai fluida sempurna (perfect fluid). Tensor energi- momentum untuk fluida sempurna dirumuskan sebagai (Anugraha, 1997)

(6.2) dengan ρ adalah rapat massa galaksi dan p adalah tekanan jagad raya. Sepanjang garis dunia partikel gas galaksi, koordinat ( r , θ , φ ) bernilai konstan. Dari keadaan ini, metrik Robertson-Walker (Anugraha, 1997) memberikan

2 ds 2 = − dt (6.3) Padahal dari definisi,

2 2 ds = − d τ (6.4) yang berarti

Jadi kecepatan − 4 partikel tersebut di kerangka Robertson-Walker adalah

V µ = (0 1 , ) (6.6) Komponen tensor metrik kovarian untuk metrik Robertson-Walker yang

nilainya tak lenyap adalah

00 = − 1 , g 11 =

2 , g 22 = S r dan g 33 = S r sin θ (6.7)

− 1 kr

Adapun pasangan komponen kontravarian yang tak nol adalah

00 11 1 − kr

2 , g = 2 2 dan g = 2 2 2 (6.8)

S r sin θ Dari bentuk persamaan (6.1), tensor energi-momentum fluida sempurna memiliki komponen kovarian T µν = ( ρ + p ) V µ V ν + pg µν (6.9)

Dari kecepatan − 4 kontravarian di atas, nilai kecepatan − 4 kovarian adalah

(6.10) Dengan demikian komponen kovarian tensor energi-momentum yang tak lenyap

2 , T 22 = pS r dan T 33 = pS r sin θ (6.11)

1 − kr

Lambang Christoffel jenis kedua dirumuskan sebagai (Lawden, 1992)

1 αβ  ∂ g νβ ∂ g βµ ∂ g µν 

Γ µν = 2 g  µ + ν − β  (6.12)

Dari pers. (6.7), (6.8) dan (6.12), nilai-nilai lambang Christoffel jenis kedua yang tak lenyap adalah 0 1 ∂ g mn

12 = Γ 21 = Γ 13 = Γ 31 = , Γ 33 = − 2 sin 2 θ , Γ 23 = Γ 32 = cot θ (6.13)

Tensor Ricci dirumuskan sebagai (Lawden, 1982)

R µα =

Dengan nilai-nilai lambang Christoffel di atas, nilai komponen tensor Ricci yang tidak lenyap adalah

2 (6.15) S dt

1 ∂ Γ 11 ∂ 1 2 3  ∂ Γ 11 ∂ Γ 11  R ν

11 = 1 − ν + Γ β 1 Γ 1 ν − Γ βν Γ 11 = 1 ( Γ 11 + Γ 12 + Γ 13 ) −    0 + 1  ∂ x

= r  −  2 + 2 + 2 k  (6.17)  dt

= −  r sin θ

 2 + 2 + 2 k  (6.18)  dt

 dS 

 dt 

Nilai skalar kelengkungan adalah

Kini persamaan Einstein yang berbentuk

2 g µν R − g µν Λ = − 8 π GT µν (6.20) akan diselesaikan dengan menggunakan hasil-hasil di atas. Untuk komponen − 00 diperoleh

Untuk komponen − 11 diperoleh

+ k − Λ S = − 8 π GpS . (6.22)

 dt 

dt

Untuk komponen − 22 dan − 33 juga diperoleh hasil yang sama dengan seperti pada komponen − 11.

Selanjutnya model jagad raya standar diperoleh jika Λ = 0. Bentuk pers. (6.21) dan (6.22) berturut-turut menjadi

3 π G ρ S (6.23) ɺ ɺ ɺ 2 2 2 S S + S + k = − 8 π GpS (6.24)

Pada bentuk di atas telah digunakan lambang

untuk menyingkat penulisan. Jika pers. (6.23) dan (6.24) digabungkan, diperoleh

( ρ + 3 p ) S (6.27)

atau

Sementara itu kalau pers. (6.23) diturunkan ke t, didapat bentuk

3 dt

Dengan menyamakan ruas kanan (6.28) dan (6.29) diperoleh bentuk

dt

Jika pada ruas kiri persamaan terakhir dikalikan dengan S, bentuk terakhir tersebut menjadi

Alternatif bentuk lain untuk pers. (6.32) adalah

Pers. (6.33) dikenal sebagai persamaan kekekalan energi. Sementara itu pers. (6.32) dapat dibentuk menjadi

Dengan menyatakan persamaan keadaan p = p ( ρ ) , persamaan terakhir dapat digunakan untuk menyatakan ρ sebagai fungsi S. Sebagai contoh jika rapat energi jagad raya didominasi oleh materi non-relativistik dengan pengabaian nilai tekanan

(p ≈ 0 ), pers. (6.35) memberikan

(6.36) Pada keadaan dimana rapat energi didominasi oleh partikel relativistik (radiasi)

3 ρ S = konstan.

maka 1 p =

3 ρ (Weinberg, 1972) sehingga dari (6.35) diperoleh

(6.37) Dengan mengetahui ρ sebagai fungsi S, dapat ditentukan S(t) untuk seluruh

ρ 4 S = konstan.

waktu t. Model jagad raya dengan metrik Robertson-Walker ini dikenal dengan model Friedmann.

Dinamika jagad raya di masa lalu, sekarang dan masa depan dapat dianalisis melalui persamaan-persamaan yang telah disebutkan di atas. Pers. (6.27) menunjukkan bahwa “percepatan” S/ ɺ ɺ S bernilai negatif karena besaran ρ + 3 p

selalu positif. Karena menurut definisi S > 0 dan S/ ɺ S juga > 0 (karena yang nampak pergeseran merah, bukan pergeseran biru), maka kurve S(t) dengan t haruslah berbentuk kurve cekung dan memiliki nilai S(t) = 0 pada suatu waktu tertentu di masa lalu. Didefinisikan pada saat itu sebagai awal waktu t = 0 sehingga

S ( t = 0 ) = 0 (6.38)

Waktu saat ini ( t )

0 disebut usia jagad raya sejak t = 0. Jika Sɺ = 0 untuk 0 ≤ t ≤ t 0 maka Sɺ = K = konstan dan S = Kt . Nilai

0 maka usia jagad raya haruslah lebih kecil dari waktu Hubble yang dirumuskan sebagai

Karena ɺ Sɺ selalu negatif untuk 0 ≤ t ≤ t

0 < H 0 (6.41) Untuk saat di masa depan, nilai tekanan p tidak pernah negatif. Dari pers.

(6.32) nampak bahwa rapat 3 ρ harus lebih kecil dari kenaikan S. Untuk nilai k = − 1, Sɺ ( t ) definit positif, sehingga S (t ) monoton naik. Saat t

→ ∞ , S (t ) → ∞ . Untuk k = 0, S (t ) juga monoton naik, tetapi kenaikannya lebih lambat dari t. Adapun untuk k = +1, 2 Sɺ (t ) = 0 ketika ρ S = 3 / 8 π G . Karena Sɺ ɺ

definit negatif maka S (t ) akan membesar lalu mencapai nilai maksimum (saat Sɺ (t ) = 0) lalu mengecil sampai S = 0 pada suatu waktu yang terhingga di masa depan.

Jadi secara kualitatif, model dan nasib jagad raya di masa depan ditentukan oleh tanda kelengkungan ruang. Jika k = − 1 atau 0, jagad raya akan berekspansi selama- lamanya. Sedangkan jika k = +1, ekspansi terseut akan berhenti dan kemudian mengalami kontraksi balik menuju keadaan singular S = 0.

6.2 Rapat Energi dan Tekanan Jagad Raya

Pada masa kini ( t = t 0 ) , rapat energi dan tekanan jagad raya diberikan oleh pers. (6.23) dan (6.24) sebagai

dan

Disini, S 0 adalah faktor skala kosmik untuk saat sekarang ( t = t 0 ) , H 0 dan q 0 berturut-turut adalah konstanta Hubble dan parameter perlambatan, dengan nilai

− masing-masing 75 km(s Mpc) 1 dan 1,2. Dari pers. (6.42), nilai kelengkungan ruang k 2 /S

0 dapat bernilai positif, nol atau negatif, sehingga ρ 0 dapat bernilai lebih besar, sama atau lebih kecil dari rapat kritis ( critical density ) yang dirumuskan

sebagai

= 1,1 × 10 kg/m

untuk mana telah diisikan nilai k = 0. Akan terlihat nanti bahwa nilai p 0 << ρ 0 (6.45)

sehingga dapat diambil nilai p 0 = 0. Hal ini menunjukkan bahwa rapat energi jagad raya saat ini didominasi oleh materi non-relativistik. Pers. (6.43) menjadi

2 = ( 2 q 0 − 1 ) H 0 (6.46)

dan (6.42) memberikan perbandingan rapat energi saat ini dengan rapat kritis (6.44) sebagai

Pers. (6.48) di atas memberikan informasi bahwa q 0 tidak pernah bernilai negatif. Maka untuk 1 q

0 > 2 , kelengkungan jagad raya bernilai positif ( k = +1), sedangkan untuk 1 q

0 < 2 , kelengkungan jagad raya bernilai negatif ( k = − 1). Jika rapat energi jagad raya saat ini sama dengan rapat kritis maka ruang-waktu bersifat

datar yang berkorelasi dengan nilai 1 q

Berdasarkan pengamatan, rapat massa-energi jagad raya yang disumbang oleh materi yang tampak, yaitu galaksi adalah (Weinberg, 1972)

ρ galaksi = 3 , 1 × 10 kg / m .

(6.49) Jika massa-energi hanya terkonsentrasi di galaksi, pers. (6.48) memberikan nilai

parameter perlambatan q 0 = 0 , 014 jika ρ 0 = ρ galaksi (6.50)

yang berimplikasi pada model jagad raya terbuka dengan kelengkungan ruang bernilai negatif. Namun, nilai q ini tidak sesuai dengan hasil analisis 0 q antara

hubungan pergeseran dan luminositas yang memberikan nilai q 0 = 1,2 (Weinberg, 1972). Di sini ada dua kemungkinan penyebab terjadinya ketidaksesuaian. Pertama,

penghitungan nilai q melalui hubungan pergeseran merah dan luminositas menghasilkan nilai q 0 yang tidak sesuai. Atau kedua, adanya massa yang hilang ( missing mass ) berupa materi gelap ( dark matter ) yang belum dapat dideteksi orang. Tampaknya, kemungkinan kedua inilah yang lebih masuk akal. Sebab paling tidak, ada beberapa kandiidat materi jagad raya yang dapat menyumbang massa-energi agar nilai rapat kritis dapat terlampaui, seperti lubang hitam ( black holes ), lubang

hitam mini, radiasi latar belakang gelombang mikro, “lautan” neutrino, graviton serta materi antar galaksi. Faktor kesulitan teknologi yang menyebabkan orang belum dapat memastikan materi apa saja yang dapat menyumbang massa jagad agar dapat melebihi massa kritis jagad raya.

6.3 Masa Dominasi Materi

Dinamika jagad raya dapat ditentukan melalui solusi persamaan Einstein (6.23) dan (6.24) dengan pengabaian tetapan kosmologi Λ

2 dan 2 2 S S ɺ ɺ + S ɺ + k = − 8 π GpS .

(6.52) Pada masa dominasi materi, p dapat diabaikan (p ≈ 0 ) sehingga pers. (6.52)

menjadi

(6.53) Bentuk terakhir ini dapat dituliskan menjadi

dt

Jika persamaan tersebut diintegralkan, dihasilkan bentuk

2 S S ɺ = C − kS (6.55) dengan C suatu tetapan integrasi. Dengan substitusi (6.55) ke (6.51) diperoleh

= tetapan

yang menunjukkan bahwa C adalah suatu tetapan positif. Pers. (6.56) melukiskan bahwa selama masa dominasi materi, berlaku persamaan kekekalan massa-energi dengan bentuk yang serupa dengan pers. (6.12).

Pada saat sekarang ini, jagad raya didominasi oleh materi. Pers. (6.52) dapat dituliskan menjadi

2 = − 2  ɺ 2  −   = ( 2 q 0 − 1 ) H 0 (6.57)

atau

dengan indeks − 0 menyatakan keadaan pada masa sekarang. Pers. (6.55) dapat dituliskan sebagai

(6.59) Dengan substitusi (6.59) ke (6.56), besaran C dapat dinyatakan dalam besaran q 0

0 S 0 + kS 0 = S 0 H 0 + kS 0 .

dan 0 H untuk tiga nilai k :

Untuk k = +1, q > 0 2 : C =

1 3 • 2 Untuk k = 0, q =

0 2 : C = S 0 H 0 (6.61)

Untuk k = − 1, q < 1 0 2 : C =

Pers. (6.55) akan diselesaikan untuk menentukan nilai S dan t sebagai fungsi suatu parameter θ yang dikenal dengan sudut pengembangan jagad raya (development angel)

6.3.1 Untuk k = + 1 Pers. (6.55) menjadi

(6.63) Melalui persamaan transformasi

sehingga pers. (6.63) menjadi

C ( 1 − cos ) ɺ θ θ

Dengan mengintegralkan ke t diperoleh

C ( θ − sin θ )

+ D (6.67)

dengan D suatu tetapan integrasi. Dari syarat awal S(t) = 0 dihasilkan D = 0. Dengan substitusi nilai C dari pers. (6.60) akhirnya diperoleh

Pers. (6.68) dan (6.69) melukiskan kurva S sebagai fungsi t dengan parameter θ yang berbentuk sikloid. Kurva tersebut ditampilkan pada Gb. 1. Jagad raya yang

dilukiskan oleh nilai k = +1 ini adalam jagad raya yang berhingga (finite universe). Jagad raya pada model ini berekspansi dari keadaan singular

(6.70) lalu ketika θ = π mencapai ruji maksimum sebesar

S maks =

pada saat

kemudian kembali berkontraksi menuju singularitas ketika θ = 2 π pada saat

Jika pers. (6.68) dan (6.69) diturunkan ke θ akan diperoleh laju pertambahan ruji jagad raya sebesar

Laju pertambahan ruji jagad raya pada saat awal ketika jagad raya mulai

berekspansi yaitu saat + t → 0 atau θ → 0 adalah dS

Keanehan nilai tersebut sudah dapat diduga, mengingat adanya asumsi pengabaian tekanan. Padahal pada masa awal, jagad raya didominasi oleh radiasi sehingga pengabaian tersebut tidak benar. Namun demikian asumsi tersebut dapat dibenarkan untuk masa sekarang ini. Dapat dihitung pula laju pengerutan ruji jagad raya ketika mengakhiri masa kontraksi menuju keadaan singularitas adalah sebesar

Adapun laju pengembangan ruji jagad raya pada ruji maksimum tentu saja sama dengan nol, yang terjadi saat θ = π .

Hasil dua persamaan di atas menunjukkan bahwa ada suatu masa tertentu dimana laju pengembangan / pengerutan ruji jagad raya melebihi laju cahaya di ruang hampa yang dirumuskan sebagai

(6.78) Hal ini berarti setengah dari sudut sudut pengembangan jagad raya ketika berekspansi atau setengah dari sudut pengerutan jagad raya ketika berkontraksi menyebabkan laju pertambahan / pengerutan ruji jagad raya lebih besar daripada laju cahaya di ruang hampa.

0 < θ < π / 2 atau 3 π / 2 < θ < 2 π .

Selanjutnya akan ditentukan ruji dan usia jagad raya saat ini. Pers. (6.64) dapat dituliskan sebagai

Jika hasil ini diisikan ke dalam pers. (6.68) dan (6.69) dihasilkan nilai-nilai

2 q 0 − 1  − 1 − Dengan mengisikan nilai 1

13 milyar tahun dan q = 1,2 maka diperoleh nilai 0

0 H = 75 km (s.Mpc)

atau H 0 =

Ruji jagad raya = S = 11 milyar tahun cahaya 0 (6.84) dan

Usia jagad raya = t = 7 milyar tahun 0 (6.85)

Hubungan antara rapat energi dan sudut pengembangan θ dapat diturunkan dari pers. (6.51). Persamaan tersebut dapat dituliskan sebagai

8 π GS

Dengan menggunakan hasil (6.68) dan (6.74) diperoleh

4 π Gq 0 ( 1 − cos θ )

Ini berarti ketika + t → 0 atau θ → 0 maka ρ → ∞ yang menunjukkan bahwa rapt energi jagad raya saat terjadi Big Bang bernilai takhingga. Nilai rapat energi jagad

raya saat ini sebesar ρ 0 dapat dihitung dengan hasil

4 π Gq 0 ( 2 − q 0 )

yang identik dengan hasil yang ditelaah sebelumnya. Dari pers. (6.80), secara umum q berubah terhadap waktu t atau sudut pengembangan θ yang dirumuskan sebagai

1 + cos θ

Karena θ mulai dari 0 − 2 π sepanjang evolusi jagad raya, maka nilai q bernilai mulai dari 1

2 sampai ∞ ketika ruji jagad raya mencapai maksimum lalu mengecil kembali ke nilai 1

2 . 6.3.2 Untuk k = 0 Pers. (6.55) menjadi

(6.90) Dengan mengintegralkan pers. (6.90) terhadap t kemudian menggunakan pers. (6.61) akan dihasilkan

2 Sɺ S = C.

Grafik S versus t terdapat pada Gb. 1. Limit t → ∞ menghasilkan nilai S → ∞ . Jadi jagad raya dengan k = 0 adalah model jagad raya terbuka (open universe). Nilai S

Usia jagad raya saat ini ketika S = S 0 adalah

− Dengan 1 H 0 = 13 milyar tahun, diperoleh Usia jagad raya = t = 8,7 milyar tahun. 0 (6.93) Jika pers. (6.91) diturunkan ke pers. t dihasilkan

yang menunjukkan bahwa laju pengembangan mula-mula bernilai tak hingga, kemudian terus mengecil hingga mendekati nol saat t → ∞ .

Rapat energi jagad raya dapat ditentukan yaitu

6 π Gt

Rapat energi saat ini menjadi

sesuai dengan pers. (6.44). Jadi rapat energi saat ini sejak dari t = 0 hingga menuju takhingga menurut model k = 0 sama dengan rapat kritis. Secara umum untuk rentang waktu yang panjang, rapat energi jagad raya untuk model k = 0 selalu sama dengan rapat kritisnya.

6.3.3 Untuk k = − 1 Pers. (6.55) menjadi

(6.97) Melalui persamaan transformasi

C (cosh ψ − 1 )

3 / 2 (cosh ψ − 1 ) (6.98)

diperoleh

C (sinh ψ − ψ )

3 / 2 (sinh ψ − ψ ) (6.99)

Pada Gb. 1 ditunjukkan kurva S sebagai fungsi t. Seperti halnya pada model k = − 1, jika t → ∞ atau ψ → ∞ maka S → ∞ . Jadi S di sini adalah faktor skala

kosmik, bukan ruji jagad raya karena nilainya tak memiliki makna. Ini dapat juga dipahami dari nilai kelengkungan ruang yang negatif.

Jika (6.98) dan (6.99) masing-masing diturunkan ke ψ akan diperoleh laju pengembangan jagad raya sebesar

dS dS / d ψ cosh ψ + 1

Gambar. 6.1 Kurva S sebagai fungsi t untuk tiga nilai k

Ketika jagad raya mulai mengembang ( t → 0 atau ψ → 0 ) menurut model ini didapat laju pengembangan faktor skala kosmik sebesar

Adapun untuk t → ∞ maka nilainya adalah

Hal ini menunjukkan bahwa laju pengembangan jagad raya pada model k = − 1 sepanjang waktu selalu lebih besar dari laju cahaya di ruang hampa.

Dengan menggunakan hasil (6.97) dan (6.100), terdapat ungkapan

Jika hasil ini dimasukkan ke dalam pers. (6.99) akan dihasilkan bentuk

1  1 q 0 cosh ( q 0 − 1 ) 

Dengan anggapan bahwa rapat massa-energi jagad raya hanya terkonsentrasi di − galaksi, maka nilai 1 q = 0,0014. Dengan

0 H 0 = 13 milyar tahun, diperoleh Usia jagad raya = t = 12,4 milyar tahun. 0 (6.107) Hubungan antara rapat energi dan ψ dapat dituliskan sebagai

8 π GS

Dengan menggunakan pers. (6.98) dan (6.100), pers. (6.108) dapat dituliskan menjadi

4 π Gq 0 (cosh ψ − 1 )

Ini berarti bahwa untuk + t → 0 atau ψ → 0 maka ρ → ∞ . Adapun untuk t → ∞ atau ψ → ∞ maka ρ → 0 . Nilai rapat energi saat ini sebesar ρ 0 dapat dihitung sebesar

4 π Gq 0 ( q 0 − 2 )

yang serupa dengan pers. (6.44). Dari pers. (6.103), secara umum q menurut model k = − 1 berubah terhadap waktu t atau ψ dengan perumusan

1 + cosh ψ

Karena 1 ψ mulai dari 0 − ∞ , maka q mulai dari

2 lalu mengecil sampai dengan nol.

6.4 Horison Partikel dan Horison Peristiwa

Ditinjau koordinat r untuk mana suatu objek memancarkan foton pada waktu t yang selanjutnya diamati pada waktu 1 t di koordinat r = 0. Karena 0 t tidak dapat 1

lebih kecil dari t = 0 saat ekspansi jagad raya dimulai, jarak objek terjauh dengan koordinat r yang dapat diamati saat ini disebut dengan horison partikel (particle horison) yang dirumuskan sebagai

Untuk k = +1, pers. (6.68) dan (6.69) memberikan

dt

= d θ (6.113)

sehingga dengan menggunakan pers. (6.80) dan (6.82) diperoleh

cos ( q − 1 )

( k = +1) (6.114)

0 H 0 2 q 0 − 1 Untuk k = 0 dan − 1, nilai H d berturut-turut adalah

t 0 dt

( k = 0) (6.115)

cosh ( q 0 − 1 )

( k = − 1) (6.116)

− 1 Dengan mengisikan nilai H

0 = 13 milyar tahun, q 0 = 1 , 2 (k = +1) dan

q 0 = 0 , 0014 (k = − 1), diperoleh horison partikel dengan nilai berturut-turut :

• 19 milyar tahun cahaya (k = +1), • 26 milyar tahun cahaya (k = 0), dan • 65 milyar tahun cahaya (k = − 1).

Jika sebuah peristiwa di koordinat r terjadi pada waktu t , kita akan 0

mengamatinya pada waktu t yang dirumuskan oleh persamaan 1

t dr 1 dt

0 1 − kr

Jarak terjauh suatu peristiwa yang dapat kita amati adalah

t max dt

d E = S 0 ∫ (6.118)

dengan

t max =

3 / 2 untuk k = +1

dan t max = ∞ untuk k = 0 atau − 1. (6.120)

Besaran d E ini disebut sebagai horison peristiwa (event horison)

Pada kasus k = +1, nilai d E adalah

Dengan mengisikan nilai-nilainya diperoleh horison peristiwa untuk k = +1 sebesar 50 milyar tahun cahaya. Arti fisis horison peristiwa ini adalah cahaya yang dipancarkan dari suatu peristiwa terjauh tidak akan kita amati sebelum jagad raya jatuh menuju keadaan singularitas. Adapun untuk k = 0 atau −

1, diperoleh d E takhingga sehingga peristiwa terjauh yang terjadi saat ini tidak akan dapat diamati.

6.5 Masa Dominasi Radiasi

Dibandingkan dengan masa kini, peran radiasi bak elektromagnetik pada masa awal ekspansi jagad raya menjadi dominan (Peebles, 1971). Meskipun saat itu radiasi dan materi berada dalam keadaan setimbang dengan yang satu menciptakan yang lain atau sebaliknya, materi memiliki energi amat tinggi sehingga berperilaku ultra relativistik. Dari teori relativitas khusus, energi materi ultra relativistik bernilai

2 E 2 = p + m ≈ p , seperti yang berlaku bagi radiasi. Karena materi berperilaku sama seperti radiasi, masa awal jagad raya ditelaah dengan asumsi seolah-olah

jagad raya hanya berisi radiasi. Dengan demikian rapat energi jagad raya saat itu tidak lain adalah rapat energi radiasi bak radiasi elektromagnetik.

Radiasi latar belakang gelombang mikro yang ditemukan pada tahun 1965 oleh Penzias dan Wilson didapati bersifat isotrop untuk setiap pengamat galaksi. Rapat energi radiasi adalah ρ yang bernilai sama untuk setiap pengamat. Untuk

pengamat yang ikut bergerak dalam kerangka Robertson-Walker, nilai kecepatan − 4 pengamat kontravarian adalah

V = (0 1 , ) (6.122)

Diasumsikan bahwa variasi wakttu terhadap komponen medan m E dan B radiasi tersebut bersifat acak. Kaitan antara komponen tersebut dirumuskan sebagai

mn < E E > + < B B > = A η (6.123) dengan tanda < > menunjukkan nilai rerata. Jika dilakukan penjumlahan pada

persamaan di atas meliputi jangkauan m, n = 1, 2, 3 maka diperoleh

2 2 mn ∑ < E E > + < B B > = E + B = 2 ρ = A ∑ η = 3 A (6.124)

sehingga pers. (6.124) menjadi

Nilai komponen tensor energi − momentum medan elektromagnetik T dirumuskan sebagai

2 ( E + B ) adalah rapat energi medan elektromagnetik (6.128)

00 1 2 T 2 = ρ =

m = ( E × B ) m adalah komponen ke − m vektor Poynting (6.129)

2 η ( E + B )( − E E + B B ) adalah tensor tegangan Maxwell. (6.130)

mn 1 mn

Akan dihitung nilai rata-rata komponen T dari nilai di atas. Dari pers. (6.130) diperoleh

2 < η > ( E + B )( − < E E > + < B B > ) (6.131)

mn

1 mn

Jika i ≠ j maka

(6.132) Sedangkan untuk i = j berlaku

Selanjutnya mengingat radiasi bersifat ajeg (steady), laju aliran energi pada sembarang arah bernilai nol sehingga nilai rata-rata vektor Poynting lenyap yang dirumuskan sebagai

m > = < T > = < T > = 0 (6.134) Sementara itu

(6.135) Dengan demikian hanya untuk

00 < T > = ρ .

µ µν = ν sajalah yang mengakibatkan nilai T tidak

lenyap. Jadi T dari pers. (6.127) tereduksi ke bentuk

T = 3 ρ V V + 3 η ρ (6.136)

(6.137) Persamaan di atas dapat dituliskan dalam bentuk kovarian sebagai

dengan kecepatan − 4 pengamat galaksi V = (0 1 , ) .

4 1 T µν =

3 ρ V µ V ν + 3 η µν ρ (6.138)

Dalam kerangka Robertson-Walker, bentuk η µν diperluas menjadi tensor metrik

g µν . Sementara itu kecepatan − 4 kovarian pengamat galaksi adalah V µ = (0 1 , ) . Dengan demikian komponen tensor medan elektromagnetik di dalam kerangka

Robertson-Walker dapat dihitung sebagai

3 3 Jika pers. (6.139) dihubungkan dengan pers. (6.11) untuk fluida sempurna,

3 ( 1 − kr )

nampak bahwa radiasi elektromagnetik berlaku untuk seperti fluida sempurna dengan rapat energi 1 ρ dan tekanan yang setara dengan nilai

3 ρ . Dengan demikian pada masa dominasi radiasi dapat dikatakan bahwa nilai tekanan jagad raya sama dengan sepertiga nilai rapat energinya.

Dengan menggunakan nilai komponen tensor Ricci yang telah dihitung, persamaan Einstein untuk objek jagad raya pada masa dominasi radiasi dapat diselesaikan. Dengan mengabaikan tetapan kosmologi Λ , komponen − 00 memberikan

sedangkan komponen − 11, − 22 dan − 33 memberikan hasil yang sama berupa

Telah dijelaskan pada pembahasan-pembahasan sebelumnya bahwa pada masa-masa awal ekspansi jagad raya, nilai

untuk ketiga nilai k. Jadi nilai k pada dua penyelesaian persamaan Einstein di atas dapat diabaikan. Dengan mengeliminasi nilai ρ diperoleh

dt

Melalui dua kali pengintegralan dihasilkan

S ɺ = dan S = 2 At (6.144)

dengan A tetapan positif. Substitusi hasil terakhir ini ke pers. (6.140) akan dihasilkan

32 π G t

Jika diasumsikan bahwa selama masa ini, radiasi berada dalam kesetimbangan suhu dengan materi, maka spektrum radiasi tersebut memenuhi aturan spektrum radiasi benda hitam. Kaitan antara suhu T dengan rapat energi ρ diberikan dalam

hukum Stefan-Boltzmann (disini nilai c diisikan) dengan perumusan (Lawden, 1982)

4 ρ = aT (6.146) dengan

− 16 − 3 − 4 a =

3 3 = 7 , 5 . 10 Jm K (6.147)

15 c h

adalah tetapan Stefan-Boltzmann. Besaran k, h dan c berturut-turut adalah tetapan Boltzmann, tetapan Planck dan laju cahaya di ruang hampa. Akhirnya dengan menyamakan pers. (6.145) dan (6.146) dihasilkan kaitan antara usia t dan suhu jagad T pada masa dominasi radiasi yaitu

 32 π Ga  t

10 − 1 / 2 = 1 , 52 × 10 t (6.148) Jika diamati, persamaan di atas berisi tiga tetapan dasar dalam teori kuantum

gravitasi yaitu G, c dan h. Persamaan di atas juga menceritakan bahwa ketika jagad raya berusia satu detik, suhunya kira-kira 10 1 , 52 × 10 K . Ketika waktu t bertambah,

maka suhunya menurun.

6.6 Data Fisis Jagad Raya

Kini data fisis jagad raya diungkap, dengan pembatasan hanya untuk model jagad raya tertutup ( k = +1)

Tabel 6.1 Data fisis jagad raya (k = +1)

No Besaran jagad raya

Lambang

Nilai

1 Tetapan Hubble

H 0 75 km/secMpc

2 Waktu Hubble

H 0 13 milyar tahun

3 Parameter perlambatan q 0 1,2

4 Ruji saat ini S 0 11 milyar tahun cahaya

5 Ruji saat ekspansi maksimum S max 19 milyar tahun cahaya

6 Usia saat ini t 0 7,1 milyar tahun

7 1 Waktu Big Bang − ekspansi maks.

2 t max 29,5 milyar tahun

8 Waktu Big Bang − Big Crunch t max 59 milyar tahun

0 2,2 × 10 m − 26 10 3 Rapat energi saat ini ρ

2 3 79 9 3 Volume saat ini 2 π S

0 2,5 × 10 kg/m

2 3 80 11 3 Volume saat ekspansi maksimum 2 π S max 1,1 × 10 m Rapat energi saat ekspansi

27 12 3 ρ min 5,0 × 10 kg/m maksimum

13 Sudut pengembangan θ 0 0,55 π

( dS / dt ) 0 0,85 c

14 Laju pertambahan ruji saat ini

62 15 3 Laju pertambahan volume saat ini 2 6 2 π Sɺ

0 S 0 1,6 × 10 m /s

16 53 Massa total materi ρ

0 V 0 5,6 × 10 kg

17 28 Jumlah ekuivalen massa materi m

total /m sun 2,8 × 10

18 80 Jumlah ekuivalen massa baryon m

total /m proton 3,4 × 10 19 Horison partikel

d H 19 milyar tahun cahaya 20 Horison peristiwa

d E 50 milyar tahun cahaya

6.7 Masa Depan Jagad Raya

Bagaimanakah masa depan jagad raya ? Apakah akan terus mengembang selamanya ataukah pada akhirnya akan terhenti dan kembali menyusut ? Apakah akan terjadi suatu kebalikan Big Bang yaitu semacam Big Crunch (Penciutan Dahsyat), ketika seluruh materi di jagad raya tertarik menuju satu titik, serta radiasi 2,7 K memanas kembali ? Setelah Big Crunch, apakah akan terjadi lagi the New Big Bang yang memulai evolusi jagad raya yang baru ? (Krane, 1992).

Dari telaah pada pasal 3, rapat energi jagad raya yang disumbang oleh galaksi tampak bernilai lebih kecil daripada rapat kritis yang memisahkan model jagad terbuka dengan model jagad tertutup. Sementara itu analisis pergeseran merah galaksi menunjukkan model jagad raya tertutup. Manakah yang lebih mendekati fakta ?

Jika nilai 0 H dan q berturut-turut adalah 75 km/secMpc dan 1,2, agaknya 0

masih sangat lama bagi jagad raya untuk mencapai ekspansi maksimum, terlebih lagi untuk mencapai kontraksi akhir. Waktu yang diperlukan untuk keduanya berturut-turut adalah 23 dan 52 milyar tahun.

Dalam kaitannya dengan alam, pertanyaan yang cukup mendasar adalah tentang adanya peradaban lain di jagad ini. Apakah manusia hanyalah satu-satunya makhluk beradab di jagad yang amat luas dan hampir kosong ini yang menempati bumi yang tak istimewa ? Ataukah jagad raya penuh berisi bentuk-bentuk kehidupan lain di luar jangkauan pemikiran manusia ? Apapun jawaban untuk keduanya sama-sama menimbulkan rasa kagum, takut dan takjub.

Demikian pula masa depan jagad raya ini telah memiliki dua kemungkinan yang sama-sama menimbulkan rasa takut dan kagum. (1) Jagad raya akan mengembang selamanya, semua bintang dan galaksi akan menggunakan seluruh energinya sampai habis hingga menjadi lubang hitam. Seluruh proton akan meluruh menjadi antilepton. Jagad raya akan menjadi dingin dan gelap, serta seluruh kehidupan berakhir. (2) Ekspansi jagad raya akan berhenti yang diikuti dengan penyusutan gravitasi, serta seluruh jagad raya luluh menjadi satu titik. Mungkin akan terbentuk jagad raya yang baru dengan hukum-hukum alam yang berbeda. Tidak ada yang

Soal-Soal Latihan BAB VI

1. Tunjukkan bahwa metrik Robertson − Walker dapat dinyatakan dalam bentuk

melalui persamaan transformasi

1 2 + ku / 4

2. Tunjukkan bahwa metrik de Sitter ds 2 = A 2 exp( 2 HT )( dr 2 r 2 d 2 2 2 2 2 + 2 θ + r sin θ d φ ) − c dt

dapat ditransformasi ke bentuk 2

2 du

2 2 2 2 2 2 2 2 ds 2 = + u ( d θ + sin θ d φ ) − c ( 1 − H u / c ) dT

2 2 1 2 − H u / c melalui persamaan transformasi

2 2 u 2 exp( − HT ) ln( 1 − H u / c ) r =

3. Tunjukkan bahwa untuk seluruh model Friedmann dengan Λ = p = 0 , jarak galaksi dengan pergeseran merah z diberikan oleh

c [ q 0 z + ( q 0 − 1 )( 2 q 0 z + 1 − 1 )]

4. Tunjukkan bahwa jika Λ tidak lenyap dalam model Friedmann, maka S (t ) memenuhi

ɺ 2 2 S 3 S = c ( D − kS + Λ S / 3 )

2 κ 3 c ρ S = 3 D . Tunjukkan bahwa untuk kasus khusus k = 0 , D = 0 akan menghasilkan jagad raya de Sitter.

5. Suatu jagad raya yang berisi radiasi berapat energi U memiliki persamaan keadaan

ɺ ɺ ɺ 2 2 2 2 2 2 2 S S + S + kc − c Λ S 1 = −

3 κ c US , ɺ 2 2 2 2 2 3 2 ( S + kc ) − c Λ S = κ c US .

Tunjukkan bahwa

2 ɺ 2 2 2 S 4 S = c ( D kS − 1 +

dengan D adalah parameter rapat energi yang didefinisikan oleh persamaan

3 4 D = κ US .

6. Untuk jagad raya yang berisi radiasi, jika k = 1, Λ = 3 / 4 D dan S = 0 pada t = 0, tunjukkan bahwa pada sembarang t berlaku

S 2 = 2 D [ 1 − exp( − ct / D )] .

Jika S = 2 D pada t = 0, tunjukkan bahwa jagad raya tersebut statik tetapi tidak stabil.