ANALISIS TENSOR DAN TEORI RELATIVITAS UMUM

BAB III ANALISIS TENSOR DAN TEORI RELATIVITAS UMUM

Untuk setiap sistem fisis, setiap hukum yang menghubungkan besaran fisis tidak akan bergantung kepada pemilihan sistem koordinat. Hal ini berarti, persamaan gerak sistem (baik zarah maupun medan) akan memiliki bentuk yang tetap (tidak berubah) di dalam semua sistem koordinat. Persamaan yang tidak berubah bentuknya terhadap transformasi koordinat dikatakan memiliki sifat kovarian terhadap transformasi tersebut. Sifat inilah yang menyebabkan tensor banyak digunakan untuk menelaah suatu sistem fisis.

Tensor adalah besaran yang merupakan perluasan dari vektor, seperti halnya vektor merupakan perluasan dari besaran skalar. Tensor memiliki komponen- komponen seperti halnya vektor. Besaran vektor sangat penting di dalam fisikan karena ia menyatakan objek dengan kaedah-kaedah yang tetap sama meskipun kerangka acuan yang dipilih berubah-ubah. Perubahan kerangka acuan memang menyebabkan nilai komponen tensor berubah pula, namun kaedah-kaedah yang berlaku bagi komponen tensor tetap tidak berubah.

Teori Relativitas Umum adalah salah satu teori fisika modern yang cukup besar peranannya dalam menerangkan struktur ruang-waktu dan jagad raya. Teori ini adalah teori yang indah, memiliki daya pikat ramalan terhadap gejala alam yang cukup menarik, namun memiliki persyaratan matematik berupa analisis tensor. Karena itulah dalam hand out ini akan disajikan analisis tensor sebagai jembatan untuk memahami teori relativitas umum.

3.1 Analisis Ruang Riemann

Pada pasal ini akan diuraikan landasan formalisme matematik hukum gravitasi Einstein. Dimulai dari penjelasan tentang skalar, vektor, dan tensor, dilanjutkan dengan analisis ruang Riemann, hingga pada penurunan rumus-rumus tensor.

3.1.1 Skalar, Vektor dan Tensor

Ditinjau sebuah ruang berdimensi N dengan sistem koordinat 1 2 K N = ( x , x ,..., x ) (3.1)

Sistem koordinat dalam ruang tersebut dapat ditransformasi menjadi 1 2 N K = ( x , x ,..., x ) (3.2)

Akan ditinjau tiga perangkat besaran yang memiliki sifat tertentu pada perubahan sistem koordinat tersebut, yaitu skalar, vektor dan tensor.

Misalkan ada sebuah perangkat besaran fisis yang memiliki nilai V di K dan nilai V di K . Jika V = V (3.3)

yaitu V bersifat invarian, maka besaran tersebut dinamakan skalar. Contoh besaran skalar adalah laju cahaya di ruang-waktu datar vakum dan muatan listrik.

Misalkan terdapat seperangkat N besaran A µ ( µ = 1, 2, …, N ) yang nilainya ditentukan oleh N bilangan. Di K, besaran tersebut memiliki komponen

1 2 N ( A , A ,..., A ) (3.4) sedangkan di K dinyatakan sebagai

(3.5) Jika terdapat hubungan

1 2 N ( A , A ,..., A ) .

A = ∑ µ A = ∑ ∂ µ x A (3.6)

1 2 maka perangkat N A = ( A , A ,..., A ) adalah vektor kontravarian di K. Lambang ∂ µ

µ menyatakan ∂ / ∂ x . Analog dengan di atas, jika di K perangkat A µ memiliki komponen

(3.7) sedangkan di K komponennya berbentuk

( A 1 , A 2 ,..., A N ) ,

( A 1 , A 2 ,..., A N ) (3.8) serta berlaku hubungan

A ν = ∑ ν A µ = ∑ ∂ ν x A µ (3.9)

maka A µ disebut komponen kovarian di K. Lambang ∂ µ menyatakan ∂ / ∂ x . Dari pengertian di atas, vektor adalah besaran yang lambang komponennya

memiliki satu indeks. Jika indeksnya terletak di atas (bawah) dinamakan vektor kontravarian (kovarian).

Tensor merupakan perluasan vektor. Indeks tensor lebih besar dari satu.

r µν

Banyaknya indeks disebut rank r dengan jumlah komponen N . Tensor B ,

C αβγ berturut-turut dinamkana tensor rank − 2 kontravarian dan tensor rank − 3 kovarian. Karena jumlah rank tensor lebih dari satu maka dimungkinkan terdapat

indeks yang terletak di atas dan di bawah. Tensor seperti ini dinamakan tensor

campuran ( mixed tensor ) Sebagai contoh D αβ dinamakan tensor rank − 3 campuran. Selain itu dapat pula dikatakan bahwa vektor dan skalar tak lain

merupakan tensor rank − 1 dan rank − 0. Persamaan transformasi untuk tensor kontravarian serupa dengan bentuk produk (3.2) yaitu

∂ x ∂ x αβ

B = ∑ α β B . (3.10)

Demikian pula kaedah transformasi persamaan tensor kontravarian mengikuti produk pers. (3.10) yaitu

B µν = ∑ µ ν B αβ . (3.11)

Sedangkan untuk tensor campuran berlaku kaedah

B ν = ∑ α ν B β . (3.12)

Pers. (3.10), (3.11) dan (3.12) dapat dikembangkan untuk tensor dengan peringkat yang lebih tinggi.

Selanjutnya untuk mempersingkat penulisan akan digunakan kesepakatan penjumlahan Einstein meliputi indeks berulang yang menyatakan bahwa jika di

3.2 Operasi pada Tensor

Operasi yang berlaku pada tensor adalah :

1. Kombinasi linear Berlaku jika tensor-tensor tersebut memiliki jenis yang sama seperti

aA αβ + bB αβ = cC αβ .

Adapun bentuk aA αβ + bB α tidak didefinisikan.

2. Perkalian luar Terhadap dua tensor atau lebih yang memiliki indeks yang berbeda, dapat dilakukan perkalian luar seperti

A α B µν = C αµν .

3. Kontraksi Proses menyamakan sepasang atau lebih pasangan indeks kovarian dan kontravarian, seperti

C αµν       → C βµν = C µν (3.15) disebut kontraksi meliputi indeks ( α , β ) . Proses kontraksi menurunkan rank

kontraksi ( α , β )

tensor sebanyak 2.

4. Perkalian dalam Proses ini dilakukan terhadap tensor sehingga faktor-faktornya memiliki sepasang indeks sekutu atau lebih seperti

5. Hukum pembagian

Ditinjau kasus berikut. Misalkan C = A µ B µ merupakan suatu skalar untuk

sembarang vektor kontravarian A , maka B µ pasti merupakan suatu vektor kovarian. Sebaliknya jika C merupakan suatu skalar untuk sembarang vektor

kovarian B µ maka A pasti merupakan suatu vektor kontravarian. Hal ini dapat diperluas untuk tensor.

3.3 Ruang Datar dan Lengkung

Ditinjau dua buah titik yang berdekatan dalam ruang tiga dimensi yang dinyatakan dengan koordinat Cartesan. Kedua titik itu masing-masing A ( x, y, z ) dan B ( x + dx, y + dy, z + dz ). Kuadrat jarak antara keduanya adalah

(3.17) Jika dilakukan perpindahan ke koordinat silinder melalui transformasi

2 2 2 2 ds = dx + dy + dz .

x = ρ cos φ , y = ρ sin φ , z = z (3.18) maka jaraknya menjadi

(3.19) Melalui transformasi inversi

2 2 2 2 2 ds = d ρ + ρ d φ + dz .

ρ = x + y , φ = arctan , z = z (3.20)

pers. (3.19) dapat diubah kembali menjadi pers. (3.17).

2 Ruang tiga dimensi dimana bentuk ds dapat dikembalikan ke bentuk 2 2 dx 2 + dy + dz dinamakan ruang datar atau ruang Euclid. Jika tidak dapat dicari

suatu sistem koordinat ( x , y , z ) yang memenuhi pers. (3.17) maka ruang tersebut dinamakan ruang lengkung atau ruang Riemann.

2 Bentuk ds untuk ruang datar satu dan dua dimensi berturut-turut adalah

2 2 dx 2 dan dx + dy . Contoh ruang datar untuk dimensi tersebut masing-masing adalah garis lurus dan bidang datar. Sedangkan contoh ruang lengkung dua

dimensi adalah permukaan bola, ellipsoida, paraboloida, permukaan sadel kuda dan lain-lain.

Contoh ruang datar empat dimensi (3 dimensi ruang berkoordinat x, y, z dan satu dimensi waktu berkoordinat t) dengan invarian kuadrat elemen garis adalah ruang-waktu Minkowski yang memiliki bentuk 2 ds adalah

(3.21) Adapun contoh ruang − waktu lengkung empat dimensi adalah apa yang dinamakan dengan ruang bermetrik Schwarzschild untuk mana kuadrat elemen garisnya

2 2 2 2 2 ds = − dt + dx + dy + dz .

berbentuk

2 2 2 2 2 ds = −  1 −  S dt +  1 −  dr + r ( d θ + sin θ d φ ) . (3.22) 

Beberapa konsekuensi kelengkungan ruang yang membedakan antara ruang Riemann (ruang lengkung) dengan ruang Euclid (ruang datar) adalah

1. Jumlah sudut dalam segitiga dengan sisi-sisi segitiga merupakan penghubung terpendek antara titik sudutnya tidak sama dengan 180 0 .

2. Perbandingan antara keliling dengan diameter lingkaran ≠ π .

3. Garis penghubung terpendek antara dua titik tidak berbentuk garis lurus melainkan garis lengkung.

4. Dua garis yang sejajar lokal dapat berpotongan.

5. Penggambaran ruang lengkung di dalam ruang datar memerlukan satu dimensi tambahan. Karena itu jika ingin digambar, misalnya permukaan bola (3.2 dimensi), diperlukan ruang datar 3 dimensi. Ilustrasi antara ruang datar dan ruang lengkung dua dimensi terdapat pada

Gambar 3.1.

Gambar 3.1 Ruang datar (kiri) dan ruang lengkung dua dimensi (kanan)

3.4 Tensor Metrik

Ditinjau dua buah titik x dan x + dx di dalam ruang sembarang berdimensi N. Kuadrat jarak antara kedua titik tersebut dinyatakan oleh

ds = g µν dx dx (3.23) dengan µ , ν = 1, 2, …, N dan

ds 2 disebut kuadrat elemen jarak dan g µν adalah tensor metrik kovarian. Hubungan antara tensor metrik g αβ dalam kerangka K dan g µν dalam

kerangka K adalah

∂ ν x ∂ x g αβ = α

β g µν (3.25)

Pers. (3.23) dapat diubah bentuknya menjadi

ds = 2 ( ( g µν + g νµ ) + ( g µν − g νµ ) ) dx dx (3.26)

Dengan mengambil

(3.27) maka

( g µν − g νµ ) dx dx =0

g µν = g νµ (3.28) sehingga g µν efektif merupakan suatu tensor simetri. Jika x µ x µ = ( t ) dengan t adalah suatu parameter maka

sehingga jarak antara kedua titik adalah

dx µ dx ν 

 g µν

 dt .

dt dt 

Perkalian dalam antara tensor metrik kontravarian g µν dan tensor metrik kovarian g µν menghasilkan

dengan δ ν adalah delta Kronecker. Jadi untuk mendapatkan tensor metrik metrik

kontravarian g dapat digunakan rumus

kofaktor g µν

dengan

minor g µν . (3.33) Kaitan antara A µ dengan A ν di suatu kerangka K tertentu dihubungkan melalui persamaan

+ kofaktor g ( 1 ) µ ν

A = g A ν (3.34) dan

(3.35) Perumusan di atas dapat diperluas untuk tensor, seperti jika akan ditentukan suatu

A µ ν = g νµ A .

besaran skalar B dari tensor kontravarian rank − 2 B maka berlaku persamaan

B = g µν B (3.36)

3.5 Turunan Kovarian

Ditinjau persamaan transformasi untuk vektor berikut

A = ν A . (3.37)

Dengan menurunkan A terhadap x , diperoleh

∂ α A = ( ∂ ν ∂ α x ) A + ( ∂ ν x )( ∂ α A ) (3.38) yang bukan merupakan tensor. Karena itu perlu dicari cara untuk membentuk

tensor dengan menggunakan turunan parsial tersebut. Untuk itu didefinisikan lambang Christoffel sebagai berikut :

1. Lambang Christoffel jenis pertama yang dinyatakan sebagai

2 ( ∂ µ g νβ + ∂ ν g βµ + ∂ β g µν ) . (3.39)

2. Lambang Christoffel jenis kedua yang dinyatakan oleh persamaan

Kedua lambang Christoffel tersebut bukan merupakan tensor. Kedua lambang Christoffel tersebut digunakan untuk mendefinisikan

turunan kovarian. Turunan kovarian suatu vektor kontravarian A didefinisikan sebagai

A ; ν = ∂ ν A + Γ αν A (3.41)

Sedangkan turunan kovarian vektor kovarian A µ adalah

A µ ; ν = ∂ ν A µ − Γ µν A α (3.42)

Dapat ditunjukkan bahwa A ; ν dan A µ ; ν merupakan tensor. Generalisasi proses penurunan kovarian pers. (3.41) dan (3.42) untuk tensor dengan rank yang lebih

tinggi adalah sebagai berikut.

1. Tensor kontravarian rank n

2. Tensor kovarian rank n

µ 1 µ 2 ... µ n ; ν = ∂ ν A µ 1 µ 2 ... µ n + Γ µ 1 ν A αµ 2 ... µ n + ... + Γ µ n ν A µ 1 µ 2 ... µ n − 1 α . (3.44)

3. Tensor campuran rank m kontravarian dan rank n kovarian

− Γ ν 1 α A βν 2 ... ν n − ... − Γ ν n α A ν 1 ν 2 ... ν n − 1 β (3.45)

3.6 Tensor Riemann-Christoffel, Ricci dan Einstein

Dari pers. (3.44)

A µ ; ν = ∂ ν A µ − Γ µν A η (3.46) dan dengan menurunkan kovarian sekali lagi diperoleh

µ ; να = ∂ α () A µ ; ν − Γ µα A β ; ν − Γ αν A µ ; β (3.47)

Jika pers. (3.46) disubstitusikan ke (3.47) dihasilkan

A µ ; να = ∂ α ( ∂ ν A µ − Γ µν A η ) − Γ µα ( ∂ ν A β − Γ βν A η )( − Γ αν ∂ β A µ − Γ µβ A η ) (3.48)

Dengan menukar indeks µ dan α diperoleh

A µ ; αν = ∂ ν ( ∂ α A µ − Γ µν A η ) − Γ µν ( ∂ α A β − Γ βα A η )( − Γ να ∂ β A µ − Γ µβ A η ) (3.49)

Jika pers. (3.49) dikurangi pers. (3.48) akan dihasilkan

µ ; να = ( ∂ α Γ µν − ∂ ν Γ µα + Γ βα Γ µν − Γ βν Γ µα ) A η (3.50)

A µ ; αν − A η

Karena A µ ; αν − A µ ; να adalah tensor kovarian rank − 3 dan A η adalah tensor rank − 1 sembarang kovarian maka ungkapan yang terdapat dalam kurung pada persamaan

di atas haruslah merupakan suatu tensor campuran rank − 1 kontravarian dan rank − 3 kovarian. Hal ini dapat dibuktikan melalui hukum pembagian. Dengan demikian pers. (3.50) dapat dituliskan menjadi

A µ ; αν − A µ ; να = R µαν A η (3.51)

dengan R µαν adala tensor Riemann-Christoffel yang dirumuskan sebagai

R µαν = ∂ α Γ µν − ∂ ν Γ µα + Γ βα Γ µν − Γ βν Γ µα (3.52) Pada ruang Euclid selalu dapat dipilih suatu sistem koordinat dengan

µν = η µν sehingga semua nilai lambang Christoffel lenyap. Nilai R η µαν juga lenyap. Jadi nilai tensor Riemann-Christoffel lenyap di ruang datar. Tensor kelengkungan R βµαν dapat ditentukan dengan perkalian dalam antara

tensor metrik g βη dengan tensor Riemann-Cristoffel R µαν menurut persamaan

R βµαν = g βη R µαν .

Kontraksi R µαν teradap indeks ( η , ν ) menghasilkan tensor Ricci R µα R η

µαν  → µαν = µα ∂ α Γ µν − ∂ ν Γ µα + Γ βα Γ µν − Γ βν Γ µα (3.54) Skalar kelengkungan R diperoleh melalui perkalian dalam antara g µα

dengan R µα yang dituliskan sebagai

R = g µα R µα (3.55) Tensor Einstein yang digunakan dalam teori relativitas umum didefinisikan

sebagai

µν − 2 g µν R (3.56) Jika tetapan kosmologi Λ diikutsertakan, persamaan tensor Einstein menjadi

1 G µν = R

1 G µν = R

µν − 2 g µν R − Λ g µν (3.57)

3.7 Persamaan Geodesik

Ditinjau dalam ruang dua titik x dan µ x µ dx µ + . Menurut pers. (3.30), jarak antara kedua titik tersebut adalah

dx dx 

s 12 =  ∫ g   µν  dt = ∫ F dt (3.58)

dt dt 

Syarat stasioner bagi jarak kedua titik itu agar s bernilai ekstrem akan 12

dipenuhi jika

δ s 12 = δ ∫ F dt = 0 . (3.59)

dengan δ s 12 adalah variasi dari s . Bentuk (3.59) merupakan integral aksi fungsi 12

F dan persamaan lintasan t . Dengan menggunakan persamaan Euler- Lagrange berikut

2 F x ɺ ∂ µ dt  Di sini t dapat diambil sama dengan jarak s 12 sepanjang kurva lintasan. Untuk kasus ini karena s parameter sembarang maka

dt  2 F ∂ x ɺ  2 F ∂ x

2 F  dt  ∂ x ɺ  ∂ x

dx = dx

0ɺ , x =

dF µ dx

, F = g µν

ds

ds

ds ds

Pers. (3.61) menjadi

∂ g µν dx dx

∂ g α αβ β dx dx

= 0 (3.65) ds  ∂ x ɺ  ∂ x

 µ  − µ = 2 g µν

∂ x ds ds ∂ x ds ds Dengan menggunakan lambang Christoffel jenis pertama serta mengalikannya

ds

dengan g , persamaan di atas pada akirnya dapat dituliskan menjadi

Persamaan di atas dikenal sebagai persamaan geodesik. Persamaan ini digunakan untuk menelaah gerakan jatuh bebas partikel dalam ruang bermetrik tertentu. Lintasan partikel dalam ruang lengkung dari titik A ke B diilustrasikan pada Gambar 3.2.

Gambar 3.2 Lintasan lengkung dalam ruang lengkung

3.8 Teori Relativitas Umum

Sebelum teori Relativitas Umum (TRU) diperkenalkan oleh Einstein pada tahun 1915, orang mengenal sedikitnya tiga hukum gerak yaitu mekanika Newton, relativitas khusus dan gravitasi newton. Mekanika Newton sangat berhasil di dalam menerangkan sifat gerak benda berkelajuan rendah. Namun mekanikan ini gagal untuk benda yang kelanjuannya mendekati laju cahaya. Di samping itu,

Kekurangan ini ditutupi oleh Einstein dengan mengemukakan Teori Relativitas Khusus (TRK). Teori ini dibangun di atas dua asas, yaitu :

1. Semua hukum fisika memiliki bentuk yang tetap (kovarian) di dalam sebarang kerangka inersial.

2. Kelajuan cahaya di dalam ruang hampa bernilai tetap (invarian) dan tidak bergantung pada gerak sumber maupun pengamat.

Asas kedua di atas merupakan tulang punggung TRK Einstein. Tanpa adanya pernyataan kedua tersebut, tidak ada TRK Einstein, yang ada hanyalah teori relativitas klasik (Newton-Galilei).

Teori Relativitas Khusus Einstein berhasil menerangkan fenomena benda saat melaju mendekati laju cahaya. Di samping itu TRK berhasil merumuskan kekovarianan persamaan Maxwell di sebarang kerangka inersial dengan menggunakan transformasi Lorentz sebagai pengganti transformasi Galilei. Teori ini juga lebih lengkap daripada mekanika Newton, karena untuk gerak dengan kelajuan rendah, mekanika relativistik tereduksi menjadi mekanika Newton. Salah satu implikasi teori ini adalah ungkapan tidak ada benda atau sinyal yang dapat bergerak lebih cepat daripada cahaya.

Hukum yang ketiga adalah gravitasi Newton. Hukum ini berlaku pada medan gravitasi lemah. Besarnya gaya gravitasi antara dua benda masing-masing bermassa m dan 1 m yang dipisah oleh jarak sejauh r adalah 2

1 m 2 )( r / r ) (3.67) dengan G adalah tetapan gravitasi universal. Tanda minus pada persamaan di atas menunjukkan bahwa gaya gravitasi bersifat tarik-menarik.

3 F = − ( Gm

Hukum gravitasi Newton berhasil menerangkan fenomena gerak benda- benda langit yang dipengaruhi oleh interaksi gravitasi antar benda-benda tersebut dengan ketelitian tinggi. Namun sayangnya, hukum ini tidak konsisten dengan TRK. Jika sebuah benda digerakkan maka gaya gravitasi benda tersebut terhadap benda lain akan berubah dalam sekejap, atau terjadi aksi spontan. Dengan kata

Einstein berkali-kali mencoba merumuskan teori gravitasi yang konsisten / kompatibel dengan Teori Relativitas Khusus. Upayanya di tahun 1915 menghasilkan Teori Relativitas Umum (TRU). Ia mengemukakan saran yang cukup revolusioner bahwa gravitasi bukanlah seperti gaya-gaya yang lain, namun gravitasi merupakan efek dari kelengkungan ruang-waktu karena adanya penyebaran massa dan energi di dalam ruang-waktu tersebut. Teori Relativitas Umum ini dibangun di atas dua asas, yaitu pertama, asas kesetaraan (principle of equivalence) dan kedua, kovariansi umum (general covariance) (Krane, 1992 ; Weinberg, 1972).

Untuk menjelaskan asas kesetaraan ini perlu diberikan penggambaran sebagai berikut (Krane, 1992). Misalnya seorang astronot berada di dalam roket yang masih berada pada landasannya di permukaan bumi. Sebuah benda yang

dilepaskan teramati jatuh ke bawah dengan percepatan g = 9,8 m/s 2 (Gambar 3.3a). Kemudian diandaikan roket tersebut berada di ruang angkasa dengan medan

gravitasi amat kecil sehingga dapat diabaikan. Mesin peluncur kemudian dinyalakan sehingga memberikan percepatan yang dikendalikan tepat sebesar g =

9,8 m/s 2 . Sekali lagi benda tersebut dilepaskan. Maka benda tersebut akan meluncur ke bawah dengan percepatan a = 9,8 m/s 2 (Gambar 3.3b). Kedua

percobaan yang bersifat angan-angan tersebut memberikan hasil sama. Einstein menggunakan hasil percobaan angan-angan itu untuk mengemukakan asas kesetaraan yang berbunyi, “Tidak ada percobaan yang dapat dilakukan dalam daerah kecil (lokal) yang dapat membedakan medan gravitasi dengan sistem dipercepat yang setara”. Pernyataan daerah kecil ini perlu disebutkan karena alasan berikut. Seandainya kita melepaskan dua benda yang terpisah sejauh jarak kecil r, maka di dekat permukaan bumi setiap benda bergerak sepanjang lintasan jari-jari menuju pusat bumi sehingga kedua benda tersebut makin lama makin dekat. Namun jika lebar roket cukup kecil, perbedaannya tidak akan teramati. Hal ini persis seperti percobaan di dalam roket yang meluncur di ruang angkasa yang dilepaskan dengan percepatan tertentu (Krane, 1992).

__________________________________________________________________

Gambar 3.3. (a) Roket berada di permukaan bumi dengan percepatan gravitasi 9,8 m/s 2 (b) Roket bergerak dipercepat ke atas

sebesar 9,9 m/s 2 di ruang angkasa dengan medan gravitasi yang dapat diabaikan

Salah satu implikasi asas kesetaraan adalah kesamaan massa inersia dan massa gravitasi (Wospakrik, 1987). Sifat ini memungkinkan kita untuk menghilangkan efek gravitasi yang muncul dengan menggunakan kerangka acuan dipercepat yang sesuai. Sebenarnya hal ini sebagai konsekuensi dari medan gravitasi yaitu semua benda yang berada di dalamnya akan merasakan percepatan yang sama serta tidak bergantung dari ukuran maupun massanya. Misalnya sebuah benda yang bermassa m jatuh di dalam medan gravitasi dengan percepatan gravitasi sebesar g. Dengan memilih koordinat (y, t), menurut mekanika Newton, persamaan gerak benda tersebut adalah

dt

Melalui persamaan transformasi :

2 gt dan t ' = t (3.69) pada koordinat ( y ' , t ' ) maka pers. (3.68) menjadi

dt '

Karena massa inersial m I sama dengan massa gravitasi m G maka

m 2 = 0 (3.71)

dt '

Dengan demikian kita dapat memilih kerangka acuan inersial ( y ' , t ' ) untuk menghilangkan efek gravitasi pada kerangka (y, t). Atau dengan kata lain,

kerangka (y, t) adalah kerangka dipercepat dengan percepatan sebesar g terhadap kerangka inersial ( y ' , t ' ) pada daerah tanpa medan gravitasi. Contoh penerapan persamaan di atas adalah bahwa sebuah sistem pengamatan jatuh bebas dalam medan gravitasi bumi seperti misalnya sebuah elevator yang kabel gantungnya putus adalah kerangka inersial lokal. Seorang pengamat dalam elevator tersebut dapat melepaskan sebuah benda dari keadaan rehat (dalam kerangka pengamat) dan akan mendapati bahwa benda tersebut tetap rehat. Kesimpulannya adalah hukum gerak pada kerangka inersial dalam daerah tanpa medan gravitasi sama dengan hukum gerak pada kerangka jatuh bebas di dalam medan gravitasi.

Sebenarnya medan gravitasi nyata tidaklah sepenuhnya sama dengan medan gravitasi yang setara dengan kerangka dipercepat. Pada tempat yang jauh dari sumber, medan gravitasi nyata selalu lenyap, sementara medan gravitasi yang setara dengan suatu kerangka dipercepat selalu memiliki nilai tertentu. Sebaliknya medan gravitasi yang setara dengan kerangka dipercepat akan segera lenyap begitu percepatan kerangka dilenyapkan. Sedangkan medan gravitasi nyata tidak dapat dihilangkan oleh pemilihan kerangka acuan manapun.

Berkait dengan elevator yang jatuh bebas tersebut sebenarnya terdaat takhingga banyakbya kerangka acuan inersial. Kemudian kita dapat menggunakan transformasi Lorentz untuk mengaitkan kerangka-kerangka inersial tersebut. Dengan kata lain, hukum alam yang berlaku pada kerangka inersial menurut asas kovariansi TRK, harus pula berlaku pada kerangka tak-inersial (seperti kerangka jatuh bebas dalam medan gravitasi). Inilah yang dimaksud dengan asas kovariansi umum yang berbunyi, “Hukum alam harus memiliki bentuk yang tetap terhadap sebarang pemilihan transformasi koordinat”.

Implikasi penerapan asas ini akan menuntun kita kepada beberapa ramalan yang mengbah cara pandang kita tentang ruang-waktu (Krane, 1992). Andaikata seberkas cahaya ditembakkan menembus roket dari sebuah sumber yang rehat dalam ruang dengan medan gravitasi yang dapat diabaikan (Gambar 3.4a). Jika roket dalam keadaan rehat terhadap sumber, lintasan berkas cahaya dalam roket menurut pengamat di dalam roket akan berbentuk garis lurus. Kemudian roket tersebut bergerak dengan laju tetap terhadap sumber dengan arah tegak lurus pada arah rambat cahaya (Gambar 3.4b). Pengamat di dalam roket tersebut akan melihat lintasan cahaya di dalam roket berupa garis lurus miring yang membentuk sudut v/c (v << c) terhadap arah horisontal. Jika roket tersebut mengalami percepatan, maka v akan selalu berubah sehingga v/c juga selalu berubah (Gambar 3.4c). Pengamat dalam roket tersebut akan melihat berkas cahaya melintasi suatu lintasan lengkung.

Jika asas kesetaraan benar, perilaku berkas cahaya dalam roket yang dipercepat haruslah sama seperti dalam medan gravitasi. Berarti, berkas cahaya harus pula menempuh lintasan lengkung dalam medan gravitasi.

Gambar 3.4 (a) Roket dalam keadaan rehat terhadap sumber cahaya (b) Roket bergerak dengan laju v konstan (c) Roket bergerak dipercepat dengan percepatan a konstan

Berkas cahaya memiliki tempat khusus dalam pemahaman kita tentang ruang-waktu karena cahaya harus melintasi lintasan terpendek dan selangsung mungkin antara dua titik dalam ruang. Jika tidak demikian, ada kemungkinan

Lintasan terpendek yang menghubungkan dua buah titik dalam geometri lengkung disebut geodesik. Dalam ruang datar, lintasan geodesiknya adalh garis lurus, sedangkan pada permukaan bola, lintasannya berupa busur lingkaran besar. Penegertian tersebut akan lebih mudah dipahami dengan contoh berikut. Sebuah batu di atas bumi akan jatuh karena adanya tarikan gravitasi. Menurut Newton, batu tersebut akan bergerak menuju pusat bumi. Tetapi, apakah benda tersebut mengetahui letak pusat bumi ?

Ini merupakan masalah mendasar dari gerakan benda oleh pengaruh gravitasi. Apa yang diterangkan menurut teori Newton bersifat spekulatif, batu tersebut dianggap mengetahui kemana arah yang hendak dituju. Sementara menurut Einstein, batu tersebut sama sekali tidak mengetahui dimana pusat bumi, namun ia hanya mengikuti garis kelengkungan setempat dari ruang-waktu. Garis itu ada dimana-mana seperti halnya garis gaya medan listrik yang ditimbulkan oleh muatan listrik (Krane, 1992).

Dengan konsep yang baru, teori relativitas umum benar-benar memberikan pandangan yang baru sama sekali mengenai ruang − waktu. Konsep bahwa ruang- waktu dapat melengkung jika di dalamnya terdapat materi massif memberikan beberapa implikasi baru. Diantaranya, jika cahaya bintang melewati sebuah benda

langit massif seperti matahari, maka ramalan teori relativitas umum adalah cahaya bintang tersebut akan dibelokkan di sekitar matahari tersebut. Membeloknya cahaya bintang tersebut bukan disebabkan oleh tertariknya cahaya bintang karena pengaruh gaya gravitasi bumi, melainkan ruang-waktu di sekitar matahari tersebut

Ramalan teori relativitas umum yang lain, bahwa orbit planet mengelilingi matahari mengalami presesi. Lagi-lagi ramalan tersebut dibuktikan oleh pengamatan. Selain itu teori relativitas umum juga menyajikan gagasan adanya gelombang gravitasi (gravitational waves) yang muncul akibat terjadinya pergerakan materi massif di dalam ruang-waktu. Cukup banyak orang yang mencoba mengamati adanya gelombang gravitasi di jagad raya ini.

Salah satu implikasi yang cukup spektakuler adalah munculnya gagasan lubang hitam (black hole) yang dibatasi oleh event horizon dimana segala peristiwa yang terjadi di dalam event horizon tidak dapat diamati dari luar. Lubang hitam adalah sebuah konsep matematik yang muncul dari solusi persamaan gravitasi Einstein dengan memiliki sifat-sifat fisis tertentu. Karena itulah orang berupaya untuk mencari, adakah lubang hitam di jagad raya ini.

Perkembangan lebih lanjut mengenai telaah lubang hitam diantaranya adalah kajian tentang lubang putih (white hole). White hole adalah solusi lain dari persamaan gravitasi Einstein, dimana sifat-sifatnya berlawanan dengan sifat-sifat lubang hitam. Kalau pada lubang hitam, mater-materi di sekitarnya akan ditarik masuk ke dalam, maka pada konsep lubang putih, materi-materi akan dilontarkan keluar. Orang kemudian menciptakan gagasan bahwa lubang hitam dan lubang putih disatukan melalui suatu kerongkongan (throat). Materi yang diserap oleh lubang hitam akan dikeluarkan melalui lubang putih. Gabungan lubang hitam dengan lubang putih tersebut dikenal dengan nama lubang ulat (worm hole). Implikasi selanjutnya menghasilkan gagasan tentang time machine dan time travel yang dilakukan dengan wahana lubang ulat.

Implikasi teori relativitas umum yang lain adalah mengenai jagad raya. Solusi persamaan gravitasi Einstein untuk objek jagad raya memberikan hasil-hasil yang sama sekali tak terduga dari pandangan orang sebelumnya. Diantaranya ternyata jagad raya bersifat dinamik, ia mengalami pengembangan (dan mungkin saja mengalami pengerutan). Jika jagad raya mengalami pengembangan / ekspansi, tentunya pada masa lalu ia berukuran lebih kecil dari sebelumnya. Jikaterus ditarik ke belakang, ada saat dimana jagad raya berukuran sangat kecil, bersuhu amat tinggi dengan rapat energi amat tinggi. Analisis ini jika digabungkan dengan fakta- fakta dalam fisika partikel tentulah amat menantang. Menarik untuk dikaji, bagaimana jagad raya pada masa lalu sebagai media untuk melakukan penciptaan dan pemusnahan partikel yang biasanya dikaji dalam fisika partikel. Hal menarik lain adalah bagaimana masa depan jagad raya di masa depan.

3.9 Hukum Gravitasi Einstein

Sebuah kenyataan yang mencolok : hukum Gravitasi Newton memiliki bentuk yang mirip dengan hukum Coulomb dalam listrik. Dalam hukum Coulomb, terdapat persamaan potensial listrik

2 ∇ φ = − 4 π k ρ ( r ) (3.72) dengan φ adalah skalar potensial listrik, k adalah tetapan dan ρ (r ) adalah rapat

muatan sumber. Analog dengan persamaan di atas, persamaan potensial medan gravitasi Newton berbentuk

2 ∇ φ = 4 π G ρ ( r ) (3.73) dengan G adalah tetapan gravitasi universal dan ρ (r ) adalah rapat massa sumber

medan gravitasi. Kedua persamaan di atas termasuk jenis persamaan Poisson. Dengan digunakannya geometri Riemman, pers. (3.73) harus diubah dan diperluas. Potensial gravitasi diperluas menjadi kelengkungan ruang-waktu yang tertuang dalam tensor Einstein, yaitu

(3.74) Jika tetapan kosmologi Λ ingin diikutsertakan, persamaan tensor Einstein menjadi

G µν 1 = R µν − 2 g µν R .

G µν 1 = R µν − 2 g µν R − Λ g µν .

Adapun rapat massa yang menimbulkan potensial medan gravitasi diperluas menjadi tensor energi − momentum T µν dengan rapat massa − energi termasuk salah

satu komponen di dalamnya. Melihat bentuk pers. (3.73) yang menyatakan bahwa potensial medan gravitasi sebanding dengan rapat massa sumber medan, maka dapat dilakukan perluasan bahwa kelengkungan ruang − waktu sebanding pula dengan tensor energi − momentum yang dirumuskan sebagai

(3.76) Persamaan di atas menampilkan hukum gravitasi Einstein dengan κ berupa suatu tetapan positif yang ada hubungannya dengan G. Dua bentuk variasi persamaan

1 R µν −

2 g µν R = − κ T µν .

tersebut adalah

(3.77) dan

(3.78) Secara berturut-turut, kedua persamaan terakhir di atas disajikan dalam bentuk

R µν 1 − 2 g µν R

= µν − κ T .

persamaan tensor campuran dan kontravarian. Jika dilakukan kontraksi terhadap pers. (3.77), diperoleh

R = κ T (3.79) sehingga hukum gravitasi Einstein dapat dibawa ke bentuk

(3.80) Jika tetapan kosmologi diikutsertakan, bentuk persamaan gravitasi Einstein yang

1 R µν = κ (

2 g µν T − T µν ) .

termodifikasi adalah

(3.81) Salah satu keunggulan teori relativitas umum adalah teori yang kovarian ini

1 R µν −

2 g µν R − Λ g µν = − κ T µν .

akan tereduksi menjadi hukum gravitasi Newton pada medan gravitasi lemah. Sifat ini dikenal sebagai asas korespondensi. Dalam ruang-waktu yang berisi medan gravitasi, geometri yang digunakan adalah geometri Riemann, sedangkan dalam ruang-waktu tanpa medan gravitasi, geometri yang digunakan adalah geometri

Euclid. Pada ruang Euclid, metrik ruang-waktu diberikan oleh metrik Minkowski yang dirumuskan sebagai

2 2 2 2 ds = η µν dx dx = − dt + dx + dy + dz . (3.82) Karena itu dalam medan gravitasi lemah, metrik ruang-waktu yang digunakan

tidak berbeda jauh dari metrik di atas. Tensor metrik g µν dalam medan gravitasi lemah dapat didekati dengan bentuk

g µν = η µν + h µν (3.83) dengan η µν adalah tensor metrik Minkowski dan h µν kecil ( << 1). Ditinjau sebuah partikel yang bergerak dalam medan gravitasi lemah, dengan

tensor metrik diberikan oleh persamaan di atas. Partikel tersebut dalam ruang- waktu menempuh lintasan yang dinamakan sebagai lintasan geodesik. Persamaan geodesik lintasan tersebut dirumuskan sebagai

Melalui kaitan

2 2 ds = − d τ (3.85) persamaan di atas menjadi

µ dx dx 2 + Γ αβ

Dengan mengisikan α = β = 0 diperoleh

Karena medan tersebut bersifat stasioner, seluruh turunan g µν terhadap lenyap, sehingga

(3.88) Dengan demikian persamaan (3.87) di atas dapat dipecahkan menjadi dua

Γ 00 = − 2 g ∂ ν h 00 .

persamaan berikut :

2 d 2 x  dt 

2 1 = 2   ∇ h 00 (3.89)

Pers. (3.90) menyatakan bahwa dt / d τ bernilai konstan. Dengan membagi kedua ruas pers. (3.89) dengan 2 ( dt / d τ ) , diperoleh percepatan gerak benda

Di sisi lain, jika φ adalah potensial gravitasi Newton pada jarak r dari titik massa M yang besarnya

GM

maka percepatan benda itu sama dengan − ∇ φ . Dihubungkan dengan pers. (3.91), diperoleh hasil

(3.93) Pada tempat yang jauh dari sumber medan gravitasi, sistem koordinatnya

h= 00 − 2 φ + tetapan.

menjadi sistem koordinat Minkowski, sehingga 00 h lenyap. Demikian pula dengan φ sebagaimana pers. (3.92) sehingga tetapan di atas bernilai nol. Akhirnya

diperoleh

g 00 = − ( 1 + 2 φ ) (3.94) sedangkan pasangan kontravariannya adalah

(3.95) Selanjutnya hukum gravitasi Einstein akan direduksi ke hukum gravitasi

00 − 1 g = − ( 1 + 2 φ ) .

Newton pada kasus normal dimana intensitas medan gravitasi bernilai lemah dan distribusi materi bersifat statik. Pereduksian ini akan menghasilkan hubungan antara κ (gravitasi Einstein) dan

G (gravitasi Newton).

Ditinjau bentuk tensor Riemann-Christoffel dalam medan lemah. Tensor metrik diberikan oleh pers. (3.83). Nilai lambang Christoffel jenis kedua adalah

1 αβ  ∂ g βµ ∂ g νβ ∂ g µν  1 αβ  ∂ h βµ ∂ h νβ ∂ h µν  Γ µν = 2 g  ν + µ − β  = 2 η  ν + µ − β  . (3.96)

Jika nilai perkalian h µν diabaikan, nilai tensor Ricci untuk µ = µ = 0 bernilai

= 1 2 νβ η ( ∂ 0 ∂ 0 h νβ + ∂ ν ∂ β h 00 − ∂ 0 ∂ β h 0 ν − ∂ 0 ∂ ν h 0 β ) . (3.97)

Jika distribusi materi bersifat statis maka h µν bukan fungsi t atau ∂ 0 h µν = 0 (3.98) sehingga pers. (3.97) menjadi

00 = 2 η ∂ ν ∂ β h 00 = 2 ( η ∂ 1 ∂ 1 + η ∂ 2 ∂ 2 + η ∂ 3 ∂ 3 ) h 00 = 2 ∇ h 00 (3.99)

Dengan menggunakan pers. (3.73) dan (3.93), pers. (3.99) menjadi

(3.101) Tensor energi-momentum fluida sempurna dirumuskan sebagai

00 = −∇ φ = − 4 π G ρ .

T µν = ( ρ + p ) V µ V ν + g µν p (3.102) Karena distribusi materi bersifat statik (dapat dianggap sebagai kumpulan

debu / dust ) materi tersebut tidak memiliki tekanan internal p sehingga pers. (3.102) tereduksi ke bentuk

(3.103) Selain itu vektor kecepatan − 4 adalah

T µν = ρ V µ V ν .

V µ = ( − 1 , 0 ) (3.104) sehingga seluruh komponen T µν lenyap kecuali T 00 = ρ . Skalar T dapat dihitung dengan perkalian dalam antara tensor metrik kontravarian dengan tensor energi-

momentum kovarian untuk dust sebagai

T = g T µν = g T 00 = −

Dengan menggunakan pers. (3.80), nilai R adalah 00

00 = κ ( 2 g 00 T − T 00 ) = κ  2 . − ( 1 + 2 φ ). −

Dihubungkan dengan pers. (3.101), akhirnya diperoleh κ = 8 π G (3.107) sehingga persamaan gravitasi Einstein (3.76) menjadi

2 g µν R = − 8 π GT µν (3.108) Adapun persamaan gravitasi Einstein dengan hadirnya tetapan kosmologi dirumuskan sebagai

1 R µν −

1 R µν −

2 g µν R − g µν Λ = − 8 π GT µν .

Soal-Soal Latihan BAB III

1. Uraikan perbandingan antara Teori Relativitas Khusus dan Umum Einstein.

1 2. 2 Dalam kerangka K berdimensi dua dengan koordinat x = x dan x = y , sebuah tensor T αβ memiliki komponen

11 22 12 T 21 = − T = 1 dan T = T = 0 . ~

Jika pada kerangka K yang berkoordinat

~ 1 ~ x 2 = x = x + y dan x ~ ~ = y = x − y ,

tensor tersebut adalah T µν maka (a) Tuliskan kaedah transformasi antara T αβ

~ dan T µν .

(b) Carilah seluruh nilai komponen T µν . (c) Jika metrik di K adalah

2 2 ds 2 = dx − dy ,

tuliskan tensor metrik di K, kemudian carilah seluruh komponen T αβ .

(d) carilah metrik dan tensor metrik di K , tuliskan kaedah transformasi

~ antara T αβ dengan T µν , serta tentukan seluruh komponen T µν .

3. Metrik permukaan bola dua dimensi berjari-jari 1 dengan koordinat x µ = ( θ , φ ) dirumuskan sebagai

2 2 2 ds 2 = d θ + sin d φ . Tunjukkan bahwa R 12 = R 21 = 0 . Gunakan persamaan geodesik untuk

menentukan lintasan terpendek antara titik ( θ 1 , φ 1 ) dan ( θ 2 , φ 2 ) .

4. Metrik ruang-waktu dalam suatu daerah ruang kosong tertentu diberikan oleh

2 2 2 ds 2 = e ( dx β +

dy + dz ) − e dt

dengan α , β adalah hanya fungsi z . Tunjukkan bahwa persamaan gravitasi Einstein memberikan

Tanda ‘ menunjukkan turunan ke z . Tunjukkan bahwa

dan

dengan A , B dan k tetapan.

5. Tunjukkan bahwa persamaan Einstein dapat dituliskan dalam bentuk

6. Di dalam suatu bola cairan homogen bergravitasi statik, rapat massa pribadi adalah ρ (tetapan) dan tekanan p . Komponen tensor energi − momentum

lenyap kecuali untuk

Diasumsikan bahwa metrik medan gravitasi di dalam bola tersebut diberikan oleh persamaan

2 2 2 2 2 2 2 ds 2 = a dr + r ( d θ + sin θ d φ ) − b c dt dengan a = exp α dan b = exp β . Tunjukkan bahwa solusi persamaan Einstein memberikan

[ r ( 1 − exp( − α ))] = κ c ρ r ,

dr

Asumsikan α = 0 untuk r = 0 dan p = 0 untuk r = a (permukaan bola), kemudian tunjukkan bahwa

exp( 2 − α ) = 1 − q r

7. Sebuah atom yang stasioner pada suatu jarak koordinat Schwarzschild r dari pusat ), memancarkan cahaya berfrekuensi ν yang diamati oleh seorang pengamat stasioner pada koordinat R (> r) dari pusat O. Tunjukkan bahwa frekuensi yang diamati adalah ν − δν dengan

sampai dengan orde pertama dalam m.

8. Diketahui A ij adalah suatu tensor kovarian. Jika B ij = A ji , tunjukkan bahwa

B ij juga suatu tensor kovarian.

9. Di kerangka K dengan koordinat x µ = (t s , ) terdapat suatu vektor A µ dengan komponen

1 A 2 = 1 dan A = 2.

Terdapat kerangka K’ dengan koordinat x ' µ = ( u , v ) dimana hubungan antara koordinat-koordinat tersebut adalah

u = s + t dan v = s − t .

Jika di K’ terdapat vektor A ' µ , carilah komponen vektor tersebut.

10. Jika i A adalah sebuah vektor kovarian, tunjukkan bahwa

ij = ∂ A i / ∂ x − ∂ A j / ∂ x

tertansformasi seperti sebuah tensor kovarian.

11. Dengan mendiferensialkan persamaan

ij

jk = δ k

terhadap i x , tunjukkan bahwa berlaku hubungan

∂ im g

mk ij ∂ g jk

serta tunjukkan pula berlakunya

12. Jika θ dan φ adalah sudut azimut dan sudut polar pada permukaan lingkaran dengan jari-jari 1, diperoleh metrik

2 2 2 ds 2 = d θ + sin θ d φ

untuk permukaan tersebut. Tunjukkan bahwa lambang Christoffel yang tak lenyap adalah

 θ    = − sin θ cos θ  φ φ 

dan

 φ   φ    =   = cot θ .  θ φ   φ θ 

Tunjukkan bahwa komponen tensor Ricci diberikan oleh R 2 θφ = R φθ = 0 , R θθ = − 1 , R φφ = − sin θ .

Tunjukkan pula bahwa skalar kelengkungan diberikan oleh R = − 2.

13. ( x , y ) adalah koordinat Kartesan dan ( r , θ ) adalah koordinat polar pada sebuah bidang Euclidean. A ij adalah sebuah medan tensor simetrik yang

didefinisikan di dalam bidang tersebut melalui komponen-komponennya yaitu

A xx = A yy = 0 , A xy = A yx = x / y + y / x .

Tunjukkan bahwa komponen kutub kontravarian dari medan tensor tersebut dinyatakan dalam variabel r dan θ adalah

rr

A = ( 2 cot 2 θ ) / r , A θθ = − 2r / .

14. x , y , z adalah koordinat Kartesan datar dalam ruang tiga dimensi. Persamaan parametrik untuk parabolida hiperbolik diberikan dalam bentuk x = u + v ,

y = u − v , z = uv . Sebuah medan tensor kovarian pada permukaan parabolida hiperbolik tersebut memiliki komponen

uu = u , A uv = A vu = − uv , A vv = v .

Tunjukkan bahwa komponen kontravarian medan tensor tersebut bernilai seperempat dari komponen kovarian masing-masing.

15. x, adalah koordinat Kartesan datar pada bidang Euclidean. y u, adalah v koordinat kurvilinear yang didefinisikan oleh

x = a cosh u cos v , y = a sinh u sin v .

Sebuah vektor kovarian memiliki komponen A, x A y pada titik ( x ,y ) dan

komponen kurvilinear A, u A v . Tunjukkan bahwa

2 ( A u sinh u cos v − A v cosh u sin v )

a (cosh 2 u − cos 2 v )

16. x, adalah koordinat Kartesan datar pada bidang Euclidean. Koordinat y kuvilinear u, didefinisikan melalui persamaan transformasi v

2 ( x − y ) , v = xy .

Tunjukkan bahwa metrik dalam kerangka uv adalah

2 du + dv

ds =

Sebuah vektor kovarian memiliki komponen Kartesan ( A x , A y ) dan

komponen kurvilinear ( A u , A v ) . Tunjukkan bahwa xA x − yA y

2 x 2 + y serta carilah perumusan untuk A v .

17. Pada permukaan bola beruji satu dengan θ dan φ adalah koordinat azimut dan kutub, tunjukkan bahwa geodesik permukaan bola memiliki bentuk

tan θ = tan α sin( φ + β )

dengan α , β adalah tetapan sembarang.

18. Diberikan ruang-waktu yang memiliki metrik

ds = dx + dy + e dz − e φ dt

dengan θ , adalah fungsi φ z saja. Tunjukkan bahwa tensor Riemann- Christoffel lenyap, jika dan hanya jika

dz

dz dz  dz 

Jika φ = − θ , tunjukkan bahwa ruang − waktu tersebut bersifat datar jika φ 1 = ln( a bz ) 2 , +

dengan a dan b tetapan. __________________________________________________________________

19. Jika ruang − waktu memiliki metrik

d φ− ρ e dt dengan λ , ρ adalah fungsi r dan z saja, tunjukkan bahwa persamaan medan gravitasi Einstein dalam ruang kosong R ij = 0 mempersyaratkan bahwa λ

2 2 2 2 ds 2 = e ( dr + dz ) + r e − ρ

dan ρ memenuhi persamaan

20. Suatu ruang dua dimensi memiliki metrik

2 1 2 2 ds 2 = g

11 ( dx ) + g 22 ( dx )

1 dengan 2 g

11 dan g 22 merupakan fungsi x dan x.

Carilah nilai R 11 , R 12 , R 21 , R 22 .

tunjukkan bahwa

ij = 2 Rg ij .