Efek Compton

2.3 Efek Compton

Dalam percobaannya pada tahun 1927, Compton telah menemukan bahwa sinar X (sebagai salah satu bentuk gelombang elektromagnetik) yang dihamburkan oleh suatu bahan akan menyebabkan frekuensinya, sekaligus juga panjang gelombangnya berubah. Jika mula-mula sebuah foton awal dengan panjang gelombang λ maka foton tersebut akan dihamburkan oleh bahan yang dikenai foton

tersebut dengan panjang gelombang λ ’ dan membentuk sudut θ terhadap arah datang foton. Bagaimanakah hubungan antara tiga besaran tersebut dan juga massa elektron sebagai partikel yang menghamburkan foton tersebut ? Berikut akan diturunkan perumusan efek Compton. Lihat gambar 2.2 di bawah ini.

Gambar. 2.2 Hamburan Compton

Mula-mula foton awal dengan frekuensi ν atau panjang gelombang λ . Energi dan momentum awal foton berturut-turut sama dengan h ν dan h ν /c. Setelah dihamburkan, frekuensinya menjadi ν ’ atau panjang gelombangnya λ ’. Energi dan momentum akhir foton tersebut berturut-turut adalah h ν ’ dan h ν ’/c. Adapun untuk elektron bermassa m, mula-mula dalam keadaan rehat sehingga energi dan

momentum awalnya berturut-turut adalah mc 2 dan 0. Setelah ditumbuk foton,

2 2 elektron tersebut memiliki momentum akhir p dan energi 4 p + m c . Pada peristiwa ini digunakan hukum kekekalan momentum yang menyatakan

bahwa momentum awal sama dengan momentum akhir, jika dituliskan dalam komponen-komponennya menjadi :

Komponen x :

cos θ + p cos φ (2.135)

Komponen y :

sin θ − p sin φ (2.136)

Sedangkan hukum kekekalan energi menyatakan bahwa energi awal sama dengan energi akhir, maka

h ν = h ν ' + K (2.137) dengan K adalah tenaga kinetik elektron setelah ditumbuk foton. Pers. (2.135) dan (2.136) dapat dituliskan menjadi pc cos φ = h ν − h ν ' cos θ (2.138) dan pc sin φ = h ν ' sin θ (2.139) Dengan menguadratkan dua persamaan di atas, kemudian menjumlahkannya,

diperoleh

2 2 2 2 ( pc ) = ( h ν ) + ( h ν ' ) − 2 h νν ' cos θ (2.140) Adapun elektron yang terpental berlaku

2 E = mc + K (2.141) dan

2 2 2 2 E = ( pc ) + ( mc ) (2.142) sehingga

(2.143) Dari pers. (2.137) :

2 2 2 ( pc ) = K + 2 Kmc .

K = h ν − h ν ' (2.144) sehingga dengan mengisikan (2.144) ke (2.143) diperoleh

2 2 2 2 2 ( pc ) = ( h ν ) + ( h ν ' ) − 2 h νν ' + 2 ( h ν − h ν ' ) mc (2.145) Dengan membandingkan (2.140) dan (2.145) dihasilkan bentuk

2 2 2 − 2 h νν ' cos θ = − 2 h νν ' + 2 ( h ν − h ν ' ) mc (2.146) yang jika masing-masing ruas dibagi dengan 2 h νν ' mc yang kemudian dilakukan

pengaturan ruas, akhirnya diperoleh

Rumus di atas diturunkan dengan menggunakan dua asas yaitu asas kekekalan momentum dan kekekalan energi. Padahal keduanya dapat disatukan dalam vektor

momentum − 4. Karena itu perumusan efek Compton dapat pula diturunkan dengan menggunakan notasi kovarian vektor momentum − 4.

Ditinjau sebuah foton γ dengan frekuensi awal ν atau frekeuensi sudut ω . Energi foton γ tersebut adalah E = h ν sedang vektor momentum − 3 foton adalah p = ℏ k dengan k = ω / c adalah vektor bilangan gelombang dan ω adalah vektor frekuensi sudut. Momentum − 4 kovarian foton awal tersebut adalah

(2.148) Dengan menggunakan komponen tensor metrik (+1, − 1, − 1, − 1) maka bentuk

momentum − 4 kontravarian foton awal tersebut adalah

(2.149) Sedangkan momentum − 4 kovarian dan kontravarian foton akhir γ ’ tersebut

berturut-turut adalah

(2.150) dan

Untuk elektron awal e yang berada dalam keadaan rehat, momentum − 4 awal kovarian dan kontravarian berturut-turut adalah

µ = ( E e / c , p e ) = ( mc , 0 ) (2.152) dan

(2.153) Sedangkan momentum − 4 elektron akhir ' e kovarian dan kontravarian berturut-turut adalah

e P µ = ( mc , 0 ) .

e ' / c , p e ' ) = ( p + m c , p ) (2.154) dan

(2.155) Hukum kekekalan momentum − 4 kovarian dan kontravarian untuk peristiwa hamburan ini dapat dituliskan sebagai

(2.156) dan

(2.157) Dua persamaan di atas dapat ditulis menjadi

µ − P µ = P µ (2.158) dan

(2.159) Dengan mengalikan masing-masing ruas persamaan di atas dengan diperoleh

e ' µ e ' (2.160) − P µ P − P µ P − P µ P + P µ P

Mengingat 2 ℏ 2 γ 2 µ γ

mc + 0 =

hmc

( 1 − cos θ ) (2.163)

( 1 − cos θ ) (2.167)

− ( 1 − cos θ ) + + m c − − ( 1 − cos θ ) − + 0 =

2 m 2 c atau

λλ ' Dengan mengalikan masing-masing ruas di atas dengan

, diperoleh 2 hmc

perumusan efek Compton

Selanjutnya akan dihitung berapakah tenaga kinetik elektron yang terpental oleh tumbukan foton tersebut. Sebelum tumbukan energi foton dan elektron berturut-turut adalah

hc

(2.174) Setelah terjadi tumbukan, energi foton adalah

Menggunakan asas kekekalan energi, energi elektron setelah tumbukan adalah

hc 2 hc

0 ( 1 − cos θ ) Dari nilai energi tersebut, tenaga kinetik elektron yang terpental tersebut adalah energi elektron dikurangi energi rehatnya yang bernilai

. λ (2.177)  1 + ( λ 0 / λ )( 1 − cos θ )  λ λ + λ 0 ( 1 − cos θ ) Hubungan antara sudut pentalan foton ( θ ) dengan sudut pentalan elektron ( φ ) dan panjang gelombang foton datang ( λ ) dapat ditelusuri dengan dengan menggunakan hukum kekekalan momentum. Untuk komponen ke arah y,

Momentum elektron setelah tumbukan dirumuskan sebagai

[ λ + λ 0 ( 1 − cos θ ) ]

sehingga dengan mengisikan hasil di atas ke pers. (2.178) diperoleh

hc sin θ

sin φ =

hc λ 0 ( 1 − cos θ ) ) ( 2 mc λ + λ 0 ( 2 mc λ + hc )( 1 − cos θ ) )

Mengingat identitas trigonometri berikut :

cos( θ / 2 )

sin φ =

( λ 0 / h ) ( mc λ + λ 0 ( h + mc λ ) sin ( θ / 2 ) )