Metode Analisis 1. Indeks Theil T dan L serta Dekomposisinya
20
Jumlah sampel untuk modul konsumsi meningkat secara bertahap sebagai upaya untuk mengumpulkan data pengeluaran dari seluruh kelompok pengeluaran.
Untuk tahun 1999, 2002, dan 2005 jumlah sampel untuk Susenas modul konsumsi adalah 62.214, 64.406 dan 64.628. Tetapi untuk melakukan analisis dekomposisi
Theil menurut sub kelompokgrup seperti, kelompok umur, tingkat pendidikan dan lain sebagainya, studi ini juga menggunakan beberapa informasi dari Susenas
kor. Sehingga jumlah sampel menjadi 60.605, 64.406, dan 62.551 masing-masing untuk tahun 1999, 2002, dan 2005 karena terdapat rumahtangga yang tidak ada di
Susenas kor.
3.2. Metode Analisis 3.2.1. Indeks Theil T dan L serta Dekomposisinya
Penelitian ini menggunakan indeks-indeks Theil untuk mengukur ketimpangan pengeluaran perkapita dalam distribusi rumahtangga karena indeks-
indeks tersebut dapat diurai menjadi komponen-komponen yang bisa dijumlahkan additively decomposable dan memenuhi beberapa properti ukuran ketimpangan
kesejahteraan, seperti mean independence, population-size independence, dan prinsip transfer Pigou-Dalton the Pigou-Dalton principle of transfers
Bourguignon, 1979; Shorrocks, 1980. Dua indeks Theil ini,yang biasanya disebut indeks Theil T dan L Anand, 1983, merupakan bagian dari ukuran
ketimpangan generalized entropy class. Suatu indeks ketimpangan dikatakan additively decomposable jika total
ketimpangan dapat diuraikan menjadi penjumlahan antara komponen between- group dan within-group. Mean independence menyiratkan bahwa indeks tidak
berubah jika pengeluaran seseorang berubah dalam proporsi yang sama,
21
sementara population-size independence berarti indeks tidak berubah jika jumlah rumahtangga pada setiap tingkat pengeluaran berubah dengan proporsi yang sama.
Sedangkan prinsip transfer Pigou-Dalton mengandung pengertian bahwa setiap transfer pengeluaran dari rumahtangga yang lebih kaya ke rumahtangga yang
lebih miskin yang tidak membalikkan peringkat relatif dalam pengeluaran mengurangi nilai indeks.
Anggap bahwa populasi dari seluruh rumahtangga dikelompokkan dalam m kelompok sosial ekonomi yang mutually exclusive dan collectively exhaustive
kelompok umur yang berbeda, tingkat pendidikan yang berbeda, dan lain sebagainya. Kemudian indeks Theil T, yang mengukur ketimpangan
perngeluaran perkapita dalam distribusi rumahtangga, diberikan sebagai:
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
= ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎝
⎛ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ =
∑∑ ∑∑
= =
= =
μ μ
ij m
1 i
n 1
j ij
ij m
1 i
n 1
j ij
y log
y n
1 n
1 Y
y log
Y y
T
i i
, 1
dimana =
ij
y pengeluaran perkapita dari rumahtangga j dalam kelompok ke-i i = 1,
2, …, m; j = 1, 2, …,
i
n ;
=
i
n Jumlah rumahtangga dalam kelompok i i=1,2, …, m;
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
=
∑∑
= =
m 1
i n
1 j
ij
i
y Y
= total pengeluaran seluruh rumahtangga;
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
=
∑
= m
1 i
i
n n
= jumlah seluruh rumahtangga; dan
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛=
n Y
μ = rata-rata per kapita pengeluaran seluruh rumahtangga.
22
Dalam memperkirakan ketimpangan pengeluaran perkapita dalam distribusi rumahtangga, kita mengasumsikan bahwa setiap rumahtangga menerima
pengeluaran perkapitanya. Indeks Theil T, sebagaimana disajikan di 1, dapat dibagi kedalam
komponen within-sector dan komponen between-sector sebagai berikut:
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
=
∑∑
= =
n 1
Y y
log Y
y T
ij m
1 i
n 1
j ij
i
∑ ∑
= =
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
+ ⎟
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎜ ⎝
⎛ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
i
n 1
j i
i i
i ij
i ij
m 1
i i
n n
Y Y
log n
1 Y
y log
Y y
Y Y
∑ ∑
∑
= =
=
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎦
⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
=
m 1
i i
i i
n 1
j i
i ij
i ij
m 1
i i
n n
Y Y
log Y
Y n
1 Y
y log
Y y
Y Y
i
,
karena 1
Y Y
Y y
Y y
i i
i n
1 j
ij n
1 j
i ij
i i
= =
= ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛
∑ ∑
= =
, bagian kedua dapat ditulis kembali sebagai
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
= ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎝
⎛ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛
∑ ∑
∑
= =
=
n n
Y Y
log Y
Y n
n Y
Y log
Y y
Y Y
i i
m 1
i i
n 1
j i
i i
ij m
1 i
i
i
,
dimana =
i
Y total pengeluaran rumahtangga kelompok i,
=
i
n jumlah rumahtangga kelompok i.
Sehingga, kita memperoleh
23
B W
m 1
i i
i i
i m
1 i
i
T T
n n
Y Y
log Y
Y T
Y Y
T +
= ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎝
⎛ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ +
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
=
∑ ∑
= =
. 2
dimana
∑ ∑
= =
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
= ⎟
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎜ ⎝
⎛ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ =
i i
n 1
j i
ij i
ij i
n 1
j i
i ij
i ij
i
y log
y n
1 n
1 Y
y log
Y y
T μ
μ , dan
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
=
i i
i
n Y
μ = rata-rata per capita pengeluaran rumahtangga kelompok i.
Harus dicatat bahwa komponen antara between component dapat ditulis kembali sebagai:
∑ ∑
= =
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
= ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎝
⎛ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
m 1
i i
i i
m 1
i i
i i
B
log n
n n
n Y
Y log
Y Y
T μ
μ μ
μ .
Sedangkan indeks Theil L diberikan sebagai:
∑∑ ∑∑
= =
= =
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
= ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎝
⎛ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
m 1
i n
1 j
ij ij
m 1
i n
1 j
i i
y log
n 1
Y y
n 1
log n
1 L
μ 3
Indeks ini dapat dibagi menjadi komponen within-sector dan komponen between- sector sebagai berikut:
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
=
∑∑
= =
Y y
n 1
log n
1 L
ij m
1 i
n 1
j
i
∑ ∑
= =
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
+ ⎟
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎜ ⎝
⎛ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
i
n 1
j i
i i
ij i
i m
1 i
i
Y Y
n n
log Y
y n
1 log
n 1
n n
24
∑ ∑
∑
= =
=
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎦
⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
=
m 1
i i
i i
n 1
j i
ij i
i m
1 i
i
Y Y
n n
log n
n Y
y n
1 log
n 1
n n
i
karena 1
n n
n 1
i i
n 1
j i
i
= =
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
∑
=
, bagian kedua ditulis kembali sebagai
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
= ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎝
⎛ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛
∑ ∑
∑
= =
=
Y Y
n n
log n
n Y
Y n
n log
n 1
n n
i i
m 1
i i
n 1
j i
i i
m 1
i i
i
Sehingga, kita memperoleh
B W
m 1
i i
i i
i m
1 i
i
L L
Y Y
n n
log n
n L
n n
L +
= ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎝
⎛ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ +
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
=
∑ ∑
= =
, 4
dimana
∑ ∑
= =
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
= ⎟
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎜ ⎝
⎛ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ =
i i
n 1
j ij
i i
n 1
j i
ij i
i i
y log
n 1
Y y
n 1
log n
1 L
μ .
Harus dicatat bahwa komponen antara between component dapat ditulis kembali sebagai:
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
= ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎝
⎛ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
∑ ∑
= =
i m
1 i
i i
i m
1 i
i B
log n
n Y
Y n
n log
n n
L μ
μ .
Karena dalam persamaan 1 dan 3, n 1
merupakan share populasi dari suatu rumahtangga dan
Y y
ij
adalah share pengeluaran dari rumahtangga ke j dalam kelompok i, indeks T dan L membandingkan share populasi dan share
pengeluaran untuk seluruh rumahtangga, dan oleh karenanya mengukur ketimpangan pengeluaran perkapita dalam distribusi rumahtangga. Perlu dicatat
25
bahwa indeks Theil T menggunakan share pengeluaran sebagai penimbang, sedangkan indeks Theil L menggunakan share populasi sebagai penimbang;
sehingga indeks T sensitif terhadap perubahan kelompok pengeluaran bagian atas upper-expenditure categories, sedangkan indeks L sensitif terhadap perubahan
kelompok pengeluaran bagian bawah lower-expenditure categories.