Teori Optimisasi HIMPUNAN KONVEKS

Teorema 2.4.2 Lemma Farkas Misalkan ∈ A dan ï . Maka ada tepat satu dari dua sistem berikut yang mempunyai penyelesaian: i S 0, ï 0 2.27 ii B ï, B - 0 2.28 Bukti: i Misalkan sistem 2.28 mempunyai penyelesaian. Akan dibuktikan sistem 2.27 tidak mempunyai penyelesaian. Akan dibuktikan dengan kontradiksi. Andaikan sistem 2.27 mempunyai penyelesaian, yakni ada ï 0 se- demikian sehingga S 0 saat B ï dan B - 0. Jika sistem 2.27 dan 2.28 dipenuhi, maka ï B B . Karena S 0 dan B - 0, maka B S 0 yang mana kontradiksi dengan asumsi bahwa ï 0. Karena pengandaian salah, maka haruslah sistem 2.27 tidak mempunyai penyelesaian. ii Misalkan sistem 2.28 tidak mempunyai penyelesaian. Akan dibuktikan sistem 2.27 mempunyai penyelesaian. Misalkan { 8 | B, B - 0 adalah himpunan konveks tertutup tidak kosong dan ï Ö {. Berdasarkan Teorema 2.4.1, ada T dan α sedemikian sehingga T ï R dan T S α, {. Karena 0 {, maka R - T T 0 0 dan T ï 0 sehingga R - T T B B T, B - 0. Jadi, diperoleh B T S 0. Untuk sebarang y yang besar diperoleh T S 0, dengan T yang merupakan penye- lesaian dari sistem 2.27. ▄ Selanjutnya, diberikan Lemma 2.4.1 yang merupakan akibat langsung dari Teorema 2.4.2. Lemma 2.4.1 Himpunan { ð¼ñ ¼ ³– â o 0 ¼ ³l â 0, ] à ¼ ³l â - 0, ] á ò 2.29 adalah himpunan kosong jika dan hanya jika ada bilangan real λ , ] à dan bilangan taknegatif λ - 0, ] á sedemikian sehingga ³– â Y λ ³l â à Y λ ³l â á 2.30 Bukti: Misalkan bahwa ¼ , ³– â ï, F ³l â ³l â G , λ ² Maka, persamaan 2.29 dapat ditulis menjadi i ¼ ³– â o 0 X ï o 0 X ï 0 X ï ii ¼ ³l â 0, ] à dan ¼ ³l â - 0, ] á X - 0 X - 0 X - 0 X S 0 yang mana S 0 dan ï 0 adalah persamaan 2.27. Sedangkan, persamaan 2.30 dapat ditulis menjadi ³– â Y λ ³l â à Y λ ³l â á Y λ ³l â Y ³l â λ \ \ X ï B yang mana ï B adalah persamaan 2.28. Melalui Lemma 2.4.1 ini: 1 Misalkan bahwa persamaan 2.30 mempunyai penyelesaian. Akan dibuktikan bahwa persamaan 2.29 tidak mempunyai penyelesaian. 2 Misalkan bahwa persamaan 2.30 tidak mempunyai penyelesaian. Akan dibuktikan bahwa persamaan 2.29 mempunyai penyelesaian. Bukti untuk ke dua pernyataan di atas analog dengan bukti pada Teorema 2.4.2. ▄ Berikut ini diberikan teorema tentang syarat optimalitas geometri. Teorema 2.4.3 Syarat Optimalitas Geometri Misalkan â ‘ adalah peminimum lokal dari permasalahan 2.24 – 2.26. Jika fx dan c i xi = 1, 2, …, m terdiferensial di â , maka ¼ ³– â - 0, ¼ {ëm â , ‘ 2.31 yang mana berarti {ëm â , ‘ è ô â “, di mana ô â 8¼| ¼ ³– â o 0 dan “ adalah himpunan kosong. Bukti: Untuk sebarang ¼ {ëm â , ‘, ada ¡ ˜ 0Û 1, 2, … dan ¼ ˜ Û 1, 2, … sedemikian sehingga â ¡ ˜ ¼ ˜ ‘ dengan ¡ ˜ ™ 0 dan ¼ ˜ ™ ¼. Karena â ¡ ˜ ¼ ˜ ™ â dan â adalah peminimum lokal, maka ber- dasarkan Teorema Taylor di untuk k yang cukup besar diperoleh – â S – â ¡ ˜ ¼ ˜ – â ¡ ˜ ¼ ˜ ³– â Õ¡ ˜ 0 S ¡ ˜ ¼ ˜ ³– â Õ¡ ˜ 2.32 Karena ¡ ˜ 0 dan Û ™ ∞, maka diperoleh ¼ ³– â - 0 2.33 Karena d sebarang, maka diperoleh persamaan 2.31. Persamaan 2.33 juga berarti d Ö ô â 8¼| ¼ ³– â o 0. Oleh karena itu {ëm â , ‘ è ô â “. ▄ Berikut ini diberikan definisi fungsi Lagrange. Definisi 2.4.11 Fungsi Lagrange Fungsi Lagrange dari permasalahan 2.24 – 2.26 adalah õ , ö – Y λ l \ – Y λ l àêá dimana ö λ , … , λ disebut vektor pengali Lagrange. Teorema 2.4.4 Teorema Karush Kuhn Tucker Misalkan â adalah peminimum lokal dari permasalahan 2.24 – 2.26. Jika himpunan semua arah layak terlinearisasi sama dengan himpunan semua arah layak terurut, yakni {ëm â , ‘ ìëm â , ‘ 2.34 dipenuhi, maka ada pengali Lagrange k â sedemikian sehingga syarat berikut dipenuhi di â , ÷ â : ³ õ â , ö â ³– â Y k â ³l â \ 0 2.35 l â 0, ] à 2.36 l â - 0, ] á 2.37 k â - 0, ] á 2.38 k â l â 0, ] á 2.39 Bukti: Misalkan ¼ {ëm â , ‘. Karena â adalah peminimum lokal, maka berda- sarkan Teorema 2.4.3 diperoleh ¼ ³– â - 0. Dari persamaan 2.34 dipe- roleh ¼ ìëm â , ‘. Misalkan ditetapkan vektor k â dengan k â ã k , ] é â 0, ] á\ á â ù 2.40 Maka dengan menggunakan persamaan 2.30 untuk k â diperoleh ³– â Y k â ³l â à Y k â ³l â á â dimana k â ] à dan k â - 0] á â . Bentuk ³– â Y k â ³l â 2.41 \ yang mana persamaan 2.41 tidak lain merupakan syarat 2.35. Karena â layak, maka syarat 2.36 – 2.37 dipenuhi. Berdasarkan persamaan 2.30 diperoleh k â - 0 untuk ] á â , sedangkan dari persamaan 2.40 diperoleh k â 0 untuk ] á\ á â . Oleh karena itu, k â - 0 untuk ] á , sehingga syarat 2.38 dipenuhi. Untuk ] á â diperoleh l â 0, sedangkan untuk ] á\ á â dipero- leh k â 0. Oleh karena itu, k â l â 0 untuk ] á, sehingga syarat 2.39 dipenuhi. ▄ Berikut ini diberikan definisi titik Karush Kuhn Tucker. Definisi 2.4.12 Titik Karush Kuhn Tucker Suatu titik dikatakan titik Karush Kuhn Tucker KKT jika memenuhi sya- rat KKT, yakni syarat 2.35-2.39 yang terdapat dalam Teorema Karush Kuhn Tucker. Teorema 2.4.5 Titik KKT dari pemrograman konveks merupakan titik peminimum. Bukti: Misalkan â , ö â adalah sebarang pasangan KKT dari pemrograman konveks. Karena – dan l merupakan fungsi konveks, maka fungsi Lagrange õ , ö â – Y k â l à Y k â l á 2.42 adalah konveks untuk x. Dengan menggunakan Teorema 2.3.1 dan Teorema Karush Kuhn Tucker, ma- ka diperoleh untuk sebarang x yang layak õ , ö â - õ â , ö â â ³ õ â , ö â õ â , ö â â õ â , ö â – â Y k â l â \ – â – â 2.43 Karena x adalah titik layak, yakni memenuhi persamaan 2.25 dan k â - 0, ] á, maka k â l 0, ] à dan k â l - 0, ] á 2.44 Oleh karena itu, dengan menggunakan 2.42 dan 2.44 diperoleh õ , ö â – Y k â l à Y k â l á S – 2.45 Dengan menggunakan 2.43 dan 2.45 diperoleh – - – â , yang mana menunjukkan bahwa titik KKT â merupakan titik peminimum. ▄

E. Metode Newton untuk Sistem Persamaan Nonlinear

Metode titik-interior primal-dual menerapkan metode Newton untuk menemukan penyelesaiannya karena menggunakan matriks Jacobi untuk memperoleh arah selidik, serta menggunakan rumus iterasi metode Newton untuk menemukan penyelesaian dari sistem persamaan nonlinear. Metode Newton merupakan salah satu metode numerik yang diguna- kan untuk menyelesaikan permasalahan dalam mencari akar dari persamaan nonlinear. Persamaan nonlinear adalah negasi dari persamaan linear. Persa- maan linear dengan n variabel bebas , , … , mempunyai bentuk H … . Persamaan nonlinear terbagi menjadi dua, yakni persamaan nonlinear dengan satu variabel dan persamaan nonlinear dengan n variabel, dengan ’ 1. Bentuk umum persamaan nonlinear dengan satu variabel adalah – 0 dengan – adalah fungsi nonlinear. Sedang- kan, bentuk umum persamaan nonlinear dengan n variabel adalah – , , … , 0 dengan – , , … , adalah fungsi nonlinear. Sistem persamaan nonlinear adalah himpunan n persamaan nonlinear, dengan ’ 1. Sistem persamaan nonlinear secara umum berbentuk – , , … , 0 – , , … , 0 – , , … , 0 di mana tiap fungsi – , ] 1,2, … , ’ merupakan pemetaan vektor , , … , dari ke . Sistem ini dapat ditulis ke dalam bentuk yang lain dengan mendefinisikan fungsi F, yang memetakan ke , yakni ú , , … , – , , … , , … , – , , … , . Dengan meng- gunakan notasi vektor, sistem di atas dapat diasumsikan dengan bentuk ú 7. Andaikan bahwa f terdiferensial dua kali secara kontinu pada , 5 . Misalkan û , 5 menjadi pendekatan untuk p sedemikian sehingga – ¢ û 0 dan |Ô û| mendekati nol. Dengan mempertimbangkan bentuk de- ret Taylor untuk – di sekitar û, yakni – –û û– ¢ û û 2 – ¢¢ Ä dengan Ä berada diantara dan û dan karena –Ô 0 dengan x = p, ma- ka persamaan akan menjadi 0 –û Ô û– ¢ û Ô û 2 – ¢¢ ÄÔ Karena |Ô û| mendekati nol, maka Ô û dapat diabaikan, sehingga dipe- roleh 0 ü –û Ô û– ¢ û Ð 0 ü –û Ô– ¢ û û– ¢ û Ð Ô– ¢ û ü û– ¢ û –û Ð Ô ü û– ¢ û –û – ¢ û Ð Ô ü û –û – ¢ û Persamaan tersebut merupakan bentuk penyelesaian untuk metode Newton, dengan pendekatan awal ± dan akan membangkitkan barisan 8 \± š dengan • – – ¢ 2.46 untuk ’ - 0. Barisan hampiran akar 8 dari metode Newton akan konver- gen jika | • | o Š. Persamaan 2.46 dapat ditulis menjadi • – – ¢ X • – ¢ – – ¢ X • – ¢ – ¢ – X • – ¢ Ž – ¢ – X • – ¢ Ž – 2.47 Dengan menerapkan persamaan 2.47, maka rumus iterasi metode Newton untuk menemukan penyelesaian sistem persamaan nonlinear adalah ˜• ˜ ýþ ˜ ? Ž ú ˜ ? 2.48 dengan Û - 0, dimana þ Ç È È È È È È É ¯– ¯ ¯– ¯ ¯– ¯ ¯– ¯ ¯– ¯ ¯– ¯ ¯– ¯ ¯– ¯ Ê Ë Ë Ë Ë Ë Ë Ì 2.49 Matriks 2.49 dikenal dengan nama matriks Jacobi. Persamaan 2.48 dapat ditulis pula menjadi ˜• ˜ ýþ ˜ ? Ž ú ˜ ? X ˜• ˜ ýþ ˜ ? Ž ú ˜ ? X B ˜ ýþ ˜ ? Ž ú ˜ ? X ýþ ˜ ? B ˜ ú ˜ ? 2.50 Definisi 2.5.1 Misalkan ˜ v dan â . ˜ ™ â q-kuadratik jika ˜ ™ â dan ada sebuah 0 sedemikian se- hingga ˜• â S ˜ â . Definisi 2.5.2 Misalkan Ω v dan : Ω ™ . memenuhi kondisi kontinu Lipschitz da- lam Ω dengan konstanta Lipschitz Ú jika L BL S ÚL BL. Asumsi 2.5.1 1. Persamaan ú 7 mempunyai penyelesaian â . 2. ú ¢ : Ω ™ h merupakan kontinu Lipschitz dengan konstanta Lipschitz Ú. 3. ú ¢ â adalah nonsingular. Teorema 2.5.1 Misalkan Asumsi 2.5.1 terpenuhi. Maka ada sebuah ¡ sedemikian sehingga jika ± x¡, di mana x¡ menyatakan suatu kitar dengan radius ¡ di se- kitar â , yakni x¡ 8 |L L o ¡ dengan â . Sehingga iterasi Newton ˜• ˜ ýú ¢ ˜ ? Ž ú ˜ ? konvergen q-kuadratik ke â . Bukti: Bukti Teorema 2.5.1 dapat dilihat pada Tugas Akhir karangan Anggi, M. N. 2007. Penyelesaian Sistem Persamaan Non-linear dengan Metode Newton dan Terapannya. Skripsi. Yogyakarta: FST USD. Teorema 2.5.2 Misalkan f terdiferensial dua kali secara kontinu pada interval , 5 atau da- pat ditulis – Ï , 5 . Jika Ô , 5 sedemikian sehingga –Ô 0 dan – ¢ Ô 0, maka ada sebuah ¡ 0 sedemikian sehingga metode Newton akan membangkitkan barisan Ô \ š konvergen ke p untuk beberapa pen- dekatan awal Ô ± Ô ¡, Ô ¡ . Bukti: Bukti Teorema 2.5.2 dapat dilihat pada Tugas Akhir karangan Anggi, M. N. 2007. Penyelesaian Sistem Persamaan Non-linear dengan Metode Newton dan Terapannya. Skripsi. Yogyakarta: FST USD. Teorema 2.5.1 dan Teorema 2.5.2 menyatakan bahwa nilai awal akan berpengaruh terhadap kekonvergenan dan jumlah iterasi yang dihasilkan apa- bila menggunakan metode Newton. Nilai awal yang berasal dari titik-interior atau cukup dekat dengan penyelesaian yang sebenarnya akan menghasilkan iterasi yang relatif lebih sedikit untuk konvergen. Sedangkan, untuk nilai awal yang berasal dari luar titik-interior atau cukup jauh dengan penyelesaian yang sebenarnya akan menghasilkan iterasi yang relatif lebih banyak untuk konver- gen. Selain nilai awal, hal lain yang mempengaruhi adalah syarat bahwa þ Ž 0 harus terpenuhi.