Teori Optimisasi HIMPUNAN KONVEKS
Teorema 2.4.2 Lemma Farkas
Misalkan
∈ A
dan ï
. Maka ada tepat satu dari dua sistem berikut yang mempunyai penyelesaian:
i S 0, ï
0 2.27 ii
B ï, B - 0 2.28
Bukti:
i Misalkan sistem 2.28 mempunyai penyelesaian.
Akan dibuktikan sistem 2.27 tidak mempunyai penyelesaian. Akan dibuktikan dengan kontradiksi.
Andaikan sistem 2.27 mempunyai penyelesaian, yakni ada ï
0 se- demikian sehingga
S 0 saat B ï dan B - 0. Jika sistem 2.27
dan 2.28 dipenuhi, maka ï
B B
. Karena
S 0 dan B - 0, maka B
S 0 yang mana kontradiksi dengan asumsi bahwa
ï 0. Karena pengandaian salah, maka haruslah sistem 2.27 tidak
mempunyai penyelesaian.
ii Misalkan sistem 2.28 tidak mempunyai penyelesaian.
Akan dibuktikan sistem 2.27 mempunyai penyelesaian. Misalkan
{ 8 | B, B - 0 adalah himpunan konveks tertutup
tidak kosong dan ï Ö {. Berdasarkan Teorema 2.4.1, ada T
dan
α
sedemikian sehingga T
ï R dan T S α,
{. Karena 0 {, maka R - T
T 0 0 dan T
ï 0 sehingga R - T T
B B T, B - 0. Jadi, diperoleh B
T S 0. Untuk sebarang y
yang besar diperoleh T S 0, dengan T
yang merupakan penye- lesaian dari sistem 2.27.
▄
Selanjutnya, diberikan Lemma 2.4.1 yang merupakan akibat langsung dari Teorema 2.4.2.
Lemma 2.4.1
Himpunan { ð¼ñ
¼ ³–
â
o 0 ¼
³l
â
0, ] à ¼
³l
â
- 0, ] á ò 2.29
adalah himpunan kosong jika dan hanya jika ada bilangan real λ , ] à dan
bilangan taknegatif λ - 0, ] á sedemikian sehingga
³–
â
Y λ ³l
â à
Y λ ³l
â á
2.30
Bukti:
Misalkan bahwa
¼ , ³–
â
ï, F
³l
â
³l
â
G , λ ²
Maka, persamaan 2.29 dapat ditulis menjadi i
¼ ³–
â
o 0 X
ï o 0 X
ï 0 X ï
ii ¼
³l
â
0, ] à dan ¼ ³l
â
- 0, ] á X
- 0 X
- 0 X
- 0 X
S 0 yang mana
S 0 dan ï 0 adalah persamaan 2.27.
Sedangkan, persamaan 2.30 dapat ditulis menjadi ³–
â
Y λ ³l
â à
Y λ ³l
â á
Y λ ³l
â
Y ³l
â
λ
\ \
X ï B
yang mana ï
B adalah persamaan 2.28. Melalui Lemma 2.4.1 ini:
1 Misalkan bahwa persamaan 2.30 mempunyai penyelesaian.
Akan dibuktikan bahwa persamaan 2.29 tidak mempunyai penyelesaian.
2 Misalkan bahwa persamaan 2.30 tidak mempunyai penyelesaian.
Akan dibuktikan bahwa persamaan 2.29 mempunyai penyelesaian. Bukti untuk ke dua pernyataan di atas analog dengan bukti pada Teorema
2.4.2. ▄
Berikut ini diberikan teorema tentang syarat optimalitas geometri.
Teorema 2.4.3 Syarat Optimalitas Geometri
Misalkan
â
‘ adalah peminimum lokal dari permasalahan 2.24 – 2.26.
Jika fx dan c
i
xi = 1, 2, …, m terdiferensial di
â
, maka ¼
³–
â
- 0, ¼ {ëm
â
, ‘ 2.31 yang
mana berarti
{ëm
â
, ‘ è ô
â
“, di
mana ô
â
8¼| ¼ ³–
â
o 0 dan “ adalah himpunan kosong.
Bukti:
Untuk sebarang ¼ {ëm
â
, ‘, ada ¡
˜
0Û 1, 2, … dan ¼
˜
Û 1, 2, … sedemikian sehingga
â
¡
˜
¼
˜
‘ dengan ¡
˜
™ 0 dan ¼
˜
™ ¼. Karena
â
¡
˜
¼
˜
™
â
dan
â
adalah peminimum lokal, maka ber- dasarkan Teorema Taylor di
untuk k yang cukup besar diperoleh
–
â
S –
â
¡
˜
¼
˜
–
â
¡
˜
¼
˜
³–
â
Õ¡
˜
0 S ¡
˜
¼
˜
³–
â
Õ¡
˜
2.32 Karena
¡
˜
0 dan Û ™ ∞, maka diperoleh ¼
³–
â
- 0 2.33
Karena d sebarang, maka diperoleh persamaan 2.31. Persamaan 2.33 juga berarti d
Ö ô
â
8¼| ¼ ³–
â
o 0. Oleh karena itu
{ëm
â
, ‘ è ô
â
“. ▄
Berikut ini diberikan definisi fungsi Lagrange.
Definisi 2.4.11 Fungsi Lagrange Fungsi Lagrange dari permasalahan 2.24 – 2.26 adalah
õ , ö – Y λ l
\
– Y λ l
àêá
dimana ö λ , … , λ
disebut vektor pengali Lagrange.
Teorema 2.4.4 Teorema Karush Kuhn Tucker
Misalkan
â
adalah peminimum lokal dari permasalahan 2.24 – 2.26. Jika himpunan semua arah layak terlinearisasi sama dengan himpunan semua arah
layak terurut, yakni {ëm
â
, ‘ ìëm
â
, ‘ 2.34
dipenuhi, maka ada pengali Lagrange k
â
sedemikian sehingga syarat berikut dipenuhi di
â
, ÷
â
:
³ õ
â
, ö
â
³–
â
Y k
â
³l
â \
0 2.35
l
â
0, ] à 2.36
l
â
- 0, ] á
2.37 k
â
- 0, ] á
2.38 k
â
l
â
0, ] á
2.39
Bukti:
Misalkan ¼ {ëm
â
, ‘. Karena
â
adalah peminimum lokal, maka berda- sarkan Teorema 2.4.3 diperoleh
¼ ³–
â
- 0. Dari persamaan 2.34 dipe- roleh
¼ ìëm
â
, ‘. Misalkan ditetapkan vektor k
â
dengan k
â
ã k , ] é
â
0, ] á\ á
â
ù 2.40
Maka dengan menggunakan persamaan 2.30 untuk k
â
diperoleh ³–
â
Y k
â
³l
â à
Y k
â
³l
â á
â
dimana k
â
] à dan k
â
- 0] á
â
. Bentuk
³–
â
Y k
â
³l
â
2.41
\
yang mana persamaan 2.41 tidak lain merupakan syarat 2.35.
Karena
â
layak, maka syarat 2.36 – 2.37 dipenuhi. Berdasarkan persamaan 2.30 diperoleh
k
â
- 0 untuk ] á
â
, sedangkan dari persamaan 2.40 diperoleh
k
â
0 untuk ] á\ á
â
. Oleh karena itu, k
â
- 0 untuk ] á
, sehingga syarat 2.38 dipenuhi. Untuk
] á
â
diperoleh l
â
0, sedangkan untuk ] á\ á
â
dipero- leh
k
â
0. Oleh karena itu, k
â
l
â
0 untuk ] á, sehingga syarat 2.39
dipenuhi. ▄
Berikut ini diberikan definisi titik Karush Kuhn Tucker.
Definisi 2.4.12 Titik Karush Kuhn Tucker Suatu titik dikatakan titik Karush Kuhn Tucker KKT jika memenuhi sya-
rat KKT, yakni syarat 2.35-2.39 yang terdapat dalam Teorema Karush Kuhn Tucker.
Teorema 2.4.5
Titik KKT dari pemrograman konveks merupakan titik peminimum.
Bukti:
Misalkan
â
, ö
â
adalah sebarang pasangan KKT dari pemrograman konveks.
Karena – dan l merupakan fungsi konveks, maka fungsi Lagrange
õ , ö
â
– Y k
â
l
à
Y k
â
l
á
2.42
adalah konveks untuk x.
Dengan menggunakan Teorema 2.3.1 dan Teorema Karush Kuhn Tucker, ma-
ka diperoleh untuk sebarang x yang layak
õ , ö
â
- õ
â
, ö
â â
³ õ
â
, ö
â
õ
â
, ö
â â
õ
â
, ö
â
–
â
Y k
â
l
â \
–
â
–
â
2.43
Karena x adalah titik layak, yakni memenuhi persamaan 2.25 dan
k
â
- 0, ] á, maka
k
â
l 0, ] à dan
k
â
l - 0, ] á 2.44
Oleh karena itu, dengan menggunakan 2.42 dan 2.44 diperoleh õ , ö
â
– Y k
â
l
à
Y k
â
l
á
S – 2.45
Dengan menggunakan 2.43 dan 2.45 diperoleh – - –
â
, yang mana menunjukkan bahwa titik KKT
â
merupakan titik peminimum. ▄