Teorema 2.5.2
Misalkan f terdiferensial dua kali secara kontinu pada interval , 5 atau da-
pat ditulis – Ï , 5 . Jika Ô
, 5 sedemikian sehingga –Ô 0 dan –
¢
Ô 0, maka ada sebuah ¡ 0 sedemikian sehingga metode Newton akan membangkitkan barisan
Ô
\ š
konvergen ke p untuk beberapa pen- dekatan awal
Ô
±
Ô ¡, Ô ¡ .
Bukti:
Bukti Teorema 2.5.2 dapat dilihat pada Tugas Akhir karangan Anggi, M. N. 2007. Penyelesaian Sistem Persamaan Non-linear dengan Metode Newton
dan Terapannya. Skripsi. Yogyakarta: FST USD.
Teorema 2.5.1 dan Teorema 2.5.2 menyatakan bahwa nilai awal akan berpengaruh terhadap kekonvergenan dan jumlah iterasi yang dihasilkan apa-
bila menggunakan metode Newton. Nilai awal yang berasal dari titik-interior atau cukup dekat dengan penyelesaian yang sebenarnya akan menghasilkan
iterasi yang relatif lebih sedikit untuk konvergen. Sedangkan, untuk nilai awal yang berasal dari luar titik-interior atau cukup jauh dengan penyelesaian yang
sebenarnya akan menghasilkan iterasi yang relatif lebih banyak untuk konver- gen. Selain nilai awal, hal lain yang mempengaruhi adalah syarat bahwa
þ
Ž
0 harus terpenuhi.
91
BAB III METODE TITIK-INTERIOR
A. Pemrograman Kuadratik Konveks
Pemrograman nonlinear adalah salah satu bagian penting dari perma- salahan optimisasi. Mencari penyelesaian optimum pada pemrograman nonli-
near, khususnya dalam bentuk pemrograman kuadratik konveks memerlukan suatu algoritma untuk mendapatkan penyelesaian atau nilai optimum tersebut.
Sebelum membahas mengenai pemrograman kuadratik konveks, terle- bih dahulu akan dibahas mengenai pemrograman kuadratik karena pemrogra-
man kuadratik konveks merupakan subkelas dari pemrograman kuadratik. Pemrograman kuadratik adalah permasalahan optimisasi berkendala
nonlinear yang paling sederhana. Pemrograman kuadratik merupakan kelas khusus dari permasalahan optimisasi berkendala 2.24 – 2.26 dengan fung-
si obyektif kuadratik yang dinotasikan dengan fx dan kendala-kendala linear
yang dinotasikan dengan c
i
x dimana 1, … ,
.
Fungsi kuadratik dengan n variabel ,
, … , adalah fungsi yang
mempunyai bentuk α
di mana , , … ,
, A adalah matriks simetrik n x n, B adalah ma- triks 1 x n, dan
α adalah suatu skalar.
Secara umum, pemrograman kuadratik mempunyai bentuk sebagai
berikut: minimumkan
1 2
3.1 dengan kendala
,
3.2
, 3.3
dimana G adalah matriks Hesse n x n adalah himpunan indeks dari kendala persamaan
adalah himpunan indeks dari kendala pertidaksamaan
, x, dan
, dengan , adalah vektor di
Berdasarkan Definisi Fungsi Lagrange, fungsi Lagrange dari permasalahan 3.1-3.3 adalah
, 1
2 + , λ
+
1 2
+ , λ +
- .
Dengan menggunakan syarat KKT yang diperoleh dari Teorema Karush Kuhn Tucker ke dalam permasalahan 3.1 – 3.3, maka dapat ditemukan sebarang
penyelesaian dari permasalahan 3.1 – 3.3 untuk suatu pengali Lagrange
. 1, … , 1 yang memenuhi:
2
3
, 2 4
1 2
5 2 + , 0
2 +
- .
⇔ + , 0
- .
⇔ , 0
3.4
- .
, 3.5
, 3.6
λ
8
0, 3.7
λ
8
+ 0, 3.8
Jika matriks Hesse G adalah semidefinit positif, maka permasalahan 3.1 –
3.3 adalah permasalahan pemrograman kuadratik konveks dan pemini-
mum lokal adalah peminimum global.
Metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan op- timisasi pada pemrograman kuadratik konveks antara lain adalah metode him-
punan aktif dan metode titik-interior. Metode titik-interior pada pemrograman kuadratik terbagi lagi menjadi dua, yakni metode jalan pusat central path me-
thod dan metode titik-interior primal-dual primal-dual interior-point me-
thod . Namun dalam skripsi ini metode yang akan dibahas hanya metode titik-
interior primal-dual.
B. Metode Titik-Interior
Metode titik-interior termasuk dalam kelas algoritma yang biasanya digunakan untuk menyelesaikan pemrograman linear dan pemrograman non-
linear, khususnya pemrograman kuadratik konveks. Algoritma ini berasal dari algoritma Karmakar yang diperkenalkan oleh Narendra Karmakar pada tahun
1984 untuk menyelesaikan pemrograman linear. Permasalahan pemrograman linear dapat diselesaikan dengan menggunakan metode grafik dan metode
simpleks. Metode grafik biasanya digunakan untuk menyelesaikan permasala- han pemrograman linear yang memuat dua variabel, sedangkan untuk perma-
salahan pemrograman linear yang memuat dua variabel atau lebih biasanya dapat diselesaikan dengan menggunakan metode simpleks dan metode titik-
interior. Titik-interior merupakan titik-titik yang berada di bagian dalam daerah
layak. Pada metode simpleks, titik-titik yang dihasilkan dari algoritma berada pada batas dari daerah layak. Berbeda dengan metode simpleks, pada metode
titik-interior titik-titik yang dihasilkan dari algoritma berada di bagian dalam dari daerah layak.
Pemrograman kuadratik konveks yang memanfaatkan metode titik- interior bertujuan untuk membatasi pergerakan nilai optimum yang dihasilkan
pada setiap iterasinya. Pemrograman kuadratik konveks dapat diselesaikan dengan beberapa metode, salah satunya yaitu dengan menggunakan metode ti-
tik-interior primal-dual.
Metode titik-interior primal-dual untuk pemrograman linear dapat di- terapkan ke dalam pemrograman kuadratik konveks melalui perluasan seder-
hana dari metode titik-interior primal-dual untuk pemrograman linear. Sebe- lum membahas mengenai metode titik-interior primal-dual untuk pemrogra-
man kuadratik konveks, akan dibahas secara singkat terlebih dahulu mengenai permasalahan dual pada pemrograman linear.
Permasalahan pemrograman linear mempunyai bentuk baku sebagai berikut:
minimumkan
9
:
; 3.9 dengan kendala
= , 0 3.10
dimana ;, ? , ?
-
, dan =?
-3
. Setiap permasalahan pemrograman linear selalu mempunyai dua macam per-
masalahan, yakni permasalahan primal dan permasalahan dual. Permasalahan primal dan permasalahan dual saling berkaitan. Permasalahan dual merupakan
kebalikan dari permasalahan primal. Hubungan antara primal dengan dual adalah sebagai berikut: Jika permasalahan primal mempunyai n variabel dan
m kendala, maka permasalahan dual mempunyai m variabel dan n kendala.
Koefisien-koefisien pada fungsi obyektif dari permasalahan primal adalah koefisien-koefisien sisi kanan pada permasalahan dual. Matriks kendala pada
permasalahan dual adalah transpose dari matriks kendala pada permasalahan primal. Dengan mengubah permasalahan primal menjadi permasalahan dual,
maka proses perhitungan untuk permasalahan pemrograman linear akan lebih mudah diselesaikan, khususnya apabila permasalahan primalnya memuat va-
riabel yang lebih banyak dibandingkan dengan kendalanya atau n m. Permasalahan dual dari persamaan 3.9-3.10 adalah sebagai berikut:
maksimumkan 3.11
dengan kendala
= A ; 3.12
Persamaan 3.11-3.12 dapat dinyatakan kembali ke dalam bentuk yang se- dikit berbeda dengan menambahkan peubah pengetat slack variable yang
dinotasikan dengan
B, sehingga dapat ditulis sebagai berikut: maksimumkan
3.13 dengan kendala
= B ; , B
0 3.14 dimana peubah pengetat slack variable adalah peubah yang digunakan untuk
mengubah sistem pertidaksamaan menjadi suatu sistem persamaan. Pengali Lagrange dari persamaan
3.9-3.10 dibagi menjadi dua, yakni vek- tor
dan
vektor B. ?
-
adalah vektor pengali Langrange untuk kendala
= dan s ?
adalah vektor pengali Lagrange untuk kendala .
Dengan menggunakan Definisi Fungsi Lagrange, fungsi Lagrange dari persa- maan 3.9-3.10 dapat ditulis sebagai berikut:
, , B ; + = + + B
; + = + + B
