Fungsi Terdiferensial HIMPUNAN KONVEKS

–5 – 5 dan melalui titik , – , maka garis tersebut me- miliki persamaan titik kemiringan, yakni — – –5 – 5 X — – –5 – 5 2.5 Sedangkan, jarak antara fungsi – dengan fungsi — adalah E – — Sehingga persamaan 2.5 dapat ditulis menjadi E – — – – –5 – 5 2.6 Dapat dilihat bahwa E5 E 0 dan bahwa untuk dalam , 5 berla- ku E ¢ – ¢ –5 – 5 2.7 Jika diketahui bahwa terdapat suatu bilangan c dalam , 5 yang memenuhi E ¢ l 0, maka bukti akan selesai. Sehingga, persamaan 2.7 menjadi 0 – ¢ l –5 – 5 2.8 yang mana persamaan 2.7 tidak lain merupakan persamaan 2.4. Untuk melihat bahwa E ¢ l 0 untuk suatu c dalam , 5 alasannya jelas karena s kontinu pada , 5 yang merupakan selisih dua fungsi kontinu. Ber- dasarkan sifat bahwa jika – kontinu pada selang tertutup , 5 , maka f men- capai nilai maksimum dan minimum, sehingga s harus mencapai nilai maksi- mum ataupun nilai minimum pada , 5 . Jika kedua nilai ini kebetulan adalah 0, maka E secara identik adalah 0 pada , 5 , akibatnya E ¢ 0 untuk semua x dalam , 5. Jika nilai maksimum atau nilai minimum berlainan de- ngan 0, maka nilai tersebut dicapai pada sebuah titik-dalam c, karena E E5 0. Sekarang s mempunyai turunan di setiap titik dari , 5, sehingga berdasarkan Teorema Titik Kritis diperoleh E ¢ l 0. ▄ Definisi 2.2.4 Fungsi Kontinu di Sebuah fungsi –: ™ dikatakan kontinu pada « , jika untuk setiap , ε terdapat δ sedemikian sehingga L «L o δ maka L– – « L o Š . Definisi 2.2.5 Turunan Parsial Andaikan bahwa f adalah suatu fungsi dua variabel dari dan H. Turunan parsial f terhadap ¬ adalah fungsi yang dinyatakan dengan – ¤ , H atau -£¤,® -¤ yang nilainya di setiap titik , H diberikan oleh – ¤ , H ¯–, H ¯ lim ∆¤™± – ∆, H –, H ∆ apabila limitnya ada. Dengan cara yang sama, turunan parsial f terhadap ², fungsi yang dinyatakan dengan – ® , H atau -£¤,® -® yang nilainya di setiap ti- tik , H diberikan oleh – ® , H ¯–, H ¯H lim ∆®™± –, H ∆H –, H ∆H apabila limitnya ada. Untuk lebih memahami definisi turunan parsial, maka akan diberikan contoh berikut. Contoh 2.2.1: Tentukan turunan parsial terhadap x dan turunan parsial terhadap y dari fungsi yang dinotasikan dengan –, H H 5 4 Penyelesaian: ¯–, H ¯H lim ∆¤™± – ∆, H –, H ∆ lim ∆¤™± ∆ H 5 ∆ 4 H 5 4 ∆ lim ∆¤™± H 2∆H ∆ H 5 5∆ 4 H 5 4 ∆ lim ∆¤™± 2∆H ∆ H 5∆ ∆ 2H 5 ¯–, H ¯H lim ∆®™± –, H ∆H –, H ∆H lim ∆®™± H ∆H 5 4 H 5 4 ∆H lim ∆®™± ∆H ∆H Definisi 2.2.6 Fungsi Terdiferensial Kontinu Sebuah fungsi kontinu –: ™ dikatakan terdiferensial kontinu di jika       ∂ ∂ i x f x ada dan kontinu dengan i = 1, … n. Definisi 2.2.7 Gradien Misalkan –: ™ dan , gradien dari f di x didefinisikan sebagai ³– ´ ¯– ¯ , … , ¯– ¯ µ ¶ · · · · ¸ ¯– ¯ ¯– ¯ ¯– ¯ ¹ º º º º » Definisi 2.2.8 Turunan Berarah Fungsi –: ™ terdiferensial kontinu pada himpunan terbuka ⊆ D . Maka untuk x D ∈ dan ¼ turunan berarah dari f di dalam arah d di- definisikan sebagai – ¢ , ¼ ½ lim ¾™± – ¿¼ – ¿ ³– ¼ dimana ³– adalah gradien dari f di x, vektor berukuran n x 1. Teorema 2.2.4 Teorema Taylor di Misalkan –: ™ terdiferensial secara kontinu dan bahwa ¼ . Maka diperoleh – ¼ – ³– À¼ ¼ 2.9 untuk suatu À 0,1. Bukti: Misalkan –: ™ terdiferensial secara kontinu pada himpunan terbuka m v sehingga m dan ¼ . Dengan menggunakan Definisi Turunan Berarah diperoleh bahwa – ¢ , ¼ lim ¾™± – ¿¼ – ¿ ³– ¼ 2.10 Misalkan, fx merupakan fungsi norm ‰ , yakni fx = L L . Dari persamaan 2.10 diperoleh bahwa – ¢ L L , ¼ lim ¾™± L ¿¼L L L ¿ lim ¾™± ∑ | ¿r | ∑ | | \ \ ¿ Jika 0, diperoleh | ¿r | | | ¿r untuk semua ¿ yang cukup ke- cil. Jika o 0, diperoleh | ¿r | | ¿r | | 1|| ¿r | | | ¿r . Jika 0, diperoleh | ¿r | |0 ¿r | ¿|r |. Selanjut- nya, diperoleh – ¢ L L , ¼ lim ¾™± ∑ | ¿r | ∑ | | |¤ Á ± |¤ Á ± ¿ lim ¾™± ∑ | ¿r | ∑ | | |¤ Á ñ |¤ Á ñ ¿ lim ¾™± ∑ | ¿r | ∑ | | |¤ Á \± |¤ Á \± ¿ lim ¾™± ∑ | | |¤ Á ± ∑ ¿r ∑ | | |¤ Á ± |¤ Á ± ¿ lim ¾™± ∑ | | |¤ Á ñ ∑ ¿r ∑ | | |¤ Á ñ |¤ Á ñ ¿ lim ¾™± ∑ | | |¤ Á \± ∑ ¿|r | ∑ | | |¤ Á \± |¤ Á \± ¿ lim ¾™± ¿ ∑ r |¤ Á ± ¿ lim ¾™± ¿ ∑ r |¤ Á ñ ¿ lim ¾™± ¿ ∑ |r | |¤ Á \± ¿ Y r |¤ Á ± Y r |¤ Á ñ Y |r | |¤ Á \± Jadi, turunan berarah dari fungsi fx ada untuk sebarang x dan d. Misalkan f terdiferensial secara kontinu pada suatu kitar dari x, maka dipero- leh – ¢ – , ¼ ³– ¼ 2.11 Untuk membuktikan rumus ini, didefinisikan fungsi “À – À¼ –BÀ dimana BÀ À¼. Dapat dicatat bahwa lim ¾™± – ¿¼ – ¿ lim ¾™± “¿ “0 ¿ “ ¢ Dengan menggunakan aturan rantai pada –BÀ diperoleh “ ¢ À ¯–BÀ? ¯B · ¯B ¯À ¯–BÀ? ¯B · ¯B ¯À … ¯–BÀ? ¯B · ¯B ¯À … ¯–BÀ ¯B · ¯B ¯À Y ¯–BÀ? ¯B · ³B \ À Y ¯–BÀ? ¯B · r \ ³–BÀ? ¼ ³– À¼ ¼ 2.12 Substitusikan untuk À 0 ke dalam persamaan 2.12, sehingga diperoleh “ ¢ 0 ³– ¼ – ¢ – , ¼ 2.13 yang mana persamaan 2.13 adalah persamaan 2.11. Berdasarkan Teorema Nilai Rata-Rata, misalkan diberikan sebuah fungsi yang terdiferensial secara kontinu “: ™ dan terdapat dua bilangan real À ± dan À yang memenuhi À À ± untuk suatu Ä À ± , À , sehingga dipero- leh “À “À ± “ ¢ ÄÀ À ± 2.14 Dapat diingat bahwa “À – À¼. Andaikan bahwa À ± 0 dan À 1. Jika À diganti menjadi À , maka diperoleh “À – À ¼ 2.15 Substitusikan À 1 ke dalam persamaan 2.15 sehingga diperoleh “1 – ¼. Jika À diganti menjadi À ± , maka “À ± – À ± ¼ 2.16 Substitusikan À ± 0 ke dalam persamaan 2.16 sehingga diperoleh “0 – . Suatu perluasan dari hasil ini untuk fungsi multivariabel –: ™ bahwa untuk sebarang vektor d diperoleh bahwa – ¼ – ³– À¼ ¼ untuk suatu À 0,1. ▄ Definisi 2.2.9 Fungsi Terdiferensial Dua Kali Secara Kontinu Sebuah fungsi terdiferensial kontinu –: ™ dikatakan terdiferensial dua kali secara kontinu di jika         ∂ ∂ ∂ j i x x f 2 x ada dan kontinu dengan ] 1, … , ’ dan Å 1, … , ’. Definisi 2.2.10 Matriks Hesse Misalkan –: ™ dan , matriks Hesse dari f didefinisikan sebagai matriks simetri berukuran n x n , yang dinotasikan dengan Hx dengan ele- men-elemen sebagai berikut: ³ – ¯ – ¯ ¯ , ] 1, … , ’ dan Å 1, … , ’ Atau dapat juga dinyatakan sebagai berikut: Æ Ç È È È È È È É ¯ – ¯ ¯ – ¯ ¯ ¯ – ¯ ¯ ¯ – ¯ ¯ ¯ – ¯ ¯ – ¯ ¯ ¯ – ¯ ¯ ¯ – ¯ Ê Ë Ë Ë Ë Ë Ë Ì Untuk lebih memahami definisi gradien dan matriks Hesse, maka akan diberikan contoh berikut. Contoh 2.2.2: Misalkan Í , 2 5 7.25. Maka ³Í , F -Î -¤ M , -Î -¤ N , G +2 2 2 5 , dan Æ , - N Î ¤ M ,¤ N -¤ M N - N Î ¤ M ,¤ N -¤ M -¤ N - N Î ¤ M ,¤ N -¤ N -¤ M - N Î ¤ M ,¤ N -¤ N N 2 0 0 2 .

C. Himpunan Konveks dan Fungsi Konveks

Pada subbab ini akan dibahas mengenai himpunan konveks dan fungsi konveks serta beberapa teorema-teorema yang berkaitan dengan fungsi kon- veks. Definisi 2.3.1 Himpunan Konveks Sebuah himpunan Ï v disebut himpunan konveks apabila memenuhi si- fat berikut: jika diberikan sebarang dua titik x 1 , x 2 C ∈ , maka θ x 1 1 θ − + x 2 C ∈ untuk setiap [ ] 1 , ∈ θ . Suku θ x 1 1 θ − + x 2 dengan [ ] 1 , ∈ θ menggambarkan titik-titik yang terletak pada ruas garis yang meng- hubungkan x 1 dan x 2 . Dalam pengertian geometri, himpunan konveks dapat digambarkan pada Gambar 2.3.1. Gambar 2.3.1 Ilustrasi dari Himpunan Konveks. Berdasarkan Gambar 2.3.1, jika diberikan sebarang dua titik x 1 dan x 2 yang berada di dalam C , maka ruas garis yang menghubungkan titik x 1 dan x 2 akan berada di dalam C . Untuk lebih memahami definisi himpunan konveks, maka akan diberi- kan contoh berikut. Contoh 2.3.1: { } 1 : , 2 2 2 1 2 1 + = x x x x K v Himpunan ini merepresentasikan titik yang berada di dalam lingkaran dengan pusat 0,0 dan radius 1 seperti pada Gambar 2.3.2. Gambar 2.3.2 Lingkaran 1 2 2 = + y x Berdasarkan Gambar 2.3.2, jika diberikan sebarang dua titik x 1 dan x 2 yang berada di dalam lingkaran, maka ruas garis yang menghubungkan titik x 1 dan x 2 akan berada di dalam lingkaran. Definisi 2.3.2 Fungsi Konveks Fungsi –: ™ dikatakan konveks jika untuk dua vektor x 1 , x 2 ber- laku θ f x 1 1 θ − + x 2 f θ ≤ x 1 f 1 θ − + x 2 untuk semua [ ] 1 , ∈ θ . Fungsi f dikatakan konveks tegas strictly convex jika θ f x 1 1 θ − + x 2 f θ x 1 f 1 θ − + x 2 dimana x 1 ≠ x 2 dan 0 θ 1. Fungsi konveks dapat diilustrasikan pada Gambar 2.3.3. Gambar 2.3.3 Contoh Fungsi Konveks. Gambar 2.3.3 adalah fungsi konveks, dimana f θ x 1 f 1 θ − + x 2 digambarkan sebagai titik pada tali busur yang menghubungkan f x 1 dan f x 2 , sedangkan θ f x 1 1 θ − + x 2 adalah titik pada f yang menghubung- kan f x 1 dan f x 2 . Berdasarkan Gambar 2.3.3, dapat dilihat bahwa ¿– f 1 θ − berada di atas –¿ 1 ¿ . Jadi, –¿ 1 ¿ S ¿– f 1 θ − , yang berarti f konveks. Untuk lebih memahami definisi fungsi konveks, maka akan diberikan contoh berikut. Contoh 2.3.2: Diberikan x x x f , 2 = , fungsi f merupakan fungsi konveks. Bukti: Ambil x 1 , x 2 , maka f x 1 2 1 x = dan f x 2 2 2 x = [ ] 1 , , ∈ θ . θ f x 1 1 θ − + x 2 = 2 2 1 1 x x θ θ − + = 2 2 2 1 2 1 1 1 2 x x x x θ θ θ θ − + − + = 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 x x x x x x θ θ θ θ − + − + = 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 x x x x x x x x θ θ θ θ θ + − + − + 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 x x x x x x θ θ θ θ θ − + + − + = 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 x x x x x x θ θ θ θ − + − + = Sedangkan, f θ x 1 f 1 θ − + x 2 = 2 2 2 1 1 x x θ θ − + Karena [ ] 1 , ∈ θ , maka θ θ 2 sehingga diperoleh: θ f x 1 1 θ − + x 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 x x x x x x θ θ θ θ − + − + = 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 x x x x x x θ θ θ θ − + − + 2 2 2 1 1 x x θ θ − + = = f θ x 1 f 1 θ − + x 2 Jadi, θ f x 1 1 θ − + x 2 ≤ f θ x 1 f 1 θ − + x 2 untuk sebarang [ ] 1 , ∈ θ , maka terbukti bahwa 2 x x f = adalah fungsi konveks. ▄ Contoh 2.3.3: Diberikan Í 2 5 7.25, , fungsi Q merupa- kan fungsi konveks. Bukti: Misalkan x [ ] T x x 2 1 , = dan y [ ] T y y 2 1 , = [ ] 1 , , ∈ θ . Maka θ x 1 θ − + y       − +       = 2 1 2 1 1 y y x x θ θ       − − +       = 2 2 1 1 2 1 y y y y x x θ θ θ θ       + − + − = 2 2 2 1 1 1 y y x y y x θ θ Karena itu Í¿ 1 ¿B ¿ H H ¿ H H 2¿ H H 5¿ H H 7.25 ¿ H 2¿ H H H ¿ H 2¿ H H H 2¿ H 2H 5¿ H 5H 7.25 ¿ 2 H H 2¿ H 2¿H H ¿ 2 H H 2¿ H 2¿H H 2¿ 2¿H