Fungsi Terdiferensial HIMPUNAN KONVEKS
–5 – 5 dan melalui titik , – , maka garis tersebut me-
miliki persamaan titik kemiringan, yakni — –
–5 – 5
X — – –5 –
5 2.5
Sedangkan, jarak antara fungsi – dengan fungsi — adalah
E – — Sehingga persamaan 2.5 dapat ditulis menjadi
E – — – –
–5 – 5
2.6 Dapat dilihat bahwa
E5 E 0 dan bahwa untuk dalam , 5 berla- ku
E
¢
–
¢
–5 – 5
2.7 Jika diketahui bahwa terdapat suatu bilangan c dalam
, 5 yang memenuhi E
¢
l 0, maka bukti akan selesai. Sehingga, persamaan 2.7 menjadi 0 –
¢
l –5 –
5 2.8
yang mana persamaan 2.7 tidak lain merupakan persamaan 2.4. Untuk melihat bahwa
E
¢
l 0 untuk suatu c dalam , 5 alasannya jelas karena s kontinu pada
, 5 yang merupakan selisih dua fungsi kontinu. Ber- dasarkan sifat bahwa jika
– kontinu pada selang tertutup , 5 , maka f men-
capai nilai maksimum dan minimum, sehingga s harus mencapai nilai maksi- mum ataupun nilai minimum pada
, 5 . Jika kedua nilai ini kebetulan adalah 0, maka
E secara identik adalah 0 pada , 5 , akibatnya E
¢
0 untuk semua x dalam
, 5. Jika nilai maksimum atau nilai minimum berlainan de- ngan 0, maka nilai tersebut dicapai pada sebuah titik-dalam c, karena
E E5 0. Sekarang s mempunyai turunan di setiap titik dari , 5, sehingga
berdasarkan Teorema Titik Kritis diperoleh E
¢
l 0. ▄
Definisi 2.2.4 Fungsi Kontinu di
Sebuah fungsi –:
™
dikatakan kontinu pada
« , jika untuk setiap
,
ε terdapat
δ sedemikian sehingga
L «L o
δ maka
L– – «
L o Š .
Definisi 2.2.5 Turunan Parsial
Andaikan bahwa f adalah suatu fungsi dua variabel dari dan H.
Turunan parsial f terhadap
¬ adalah fungsi yang dinyatakan dengan –
¤
, H atau
-£¤,® -¤
yang nilainya di setiap titik , H diberikan oleh
–
¤
, H ¯–, H
¯ lim
∆¤™±
– ∆, H –, H ∆
apabila limitnya ada. Dengan cara yang sama, turunan parsial f terhadap
², fungsi yang dinyatakan dengan
–
®
, H atau
-£¤,® -®
yang nilainya di setiap ti- tik
, H diberikan oleh –
®
, H ¯–, H
¯H lim
∆®™±
–, H ∆H –, H ∆H
apabila limitnya ada.
Untuk lebih memahami definisi turunan parsial, maka akan diberikan contoh berikut.
Contoh 2.2.1:
Tentukan turunan parsial terhadap x dan turunan parsial terhadap y dari fungsi yang dinotasikan dengan
–, H H 5 4
Penyelesaian:
¯–, H ¯H
lim
∆¤™±
– ∆, H –, H ∆
lim
∆¤™±
∆ H 5 ∆ 4 H 5 4 ∆
lim
∆¤™±
H 2∆H ∆ H 5 5∆ 4 H 5 4 ∆
lim
∆¤™±
2∆H ∆ H 5∆ ∆
2H 5 ¯–, H
¯H lim
∆®™±
–, H ∆H –, H ∆H
lim
∆®™±
H ∆H 5 4 H 5 4 ∆H
lim
∆®™±
∆H ∆H
Definisi 2.2.6 Fungsi Terdiferensial Kontinu
Sebuah fungsi kontinu –:
™
dikatakan terdiferensial kontinu di
jika
∂
∂
i
x f
x ada dan kontinu dengan i = 1, … n.
Definisi 2.2.7 Gradien
Misalkan –:
™ dan
, gradien dari f di x didefinisikan sebagai
³– ´ ¯–
¯ , … , ¯–
¯ µ ¶
· ·
· ·
¸ ¯–
¯ ¯–
¯ ¯–
¯ ¹ º
º º
º »
Definisi 2.2.8 Turunan Berarah
Fungsi –:
™ terdiferensial kontinu pada himpunan terbuka
⊆ D
.
Maka untuk x
D ∈
dan
¼
turunan berarah dari f di dalam arah d di-
definisikan sebagai –
¢
, ¼ ½ lim
¾™±
– ¿¼ – ¿
³– ¼
dimana
³– adalah gradien dari f di x, vektor berukuran n x 1.
Teorema 2.2.4 Teorema Taylor di
Misalkan –:
™ terdiferensial secara kontinu dan bahwa ¼ . Maka
diperoleh – ¼ – ³– À¼
¼ 2.9
untuk suatu À 0,1.
Bukti:
Misalkan –:
™ terdiferensial secara kontinu pada himpunan terbuka m v
sehingga m dan ¼
. Dengan menggunakan Definisi Turunan Berarah diperoleh bahwa
–
¢
, ¼ lim
¾™±
– ¿¼ – ¿
³– ¼ 2.10
Misalkan, fx merupakan fungsi norm ‰ , yakni fx = L L .
Dari persamaan 2.10 diperoleh bahwa
–
¢
L L , ¼ lim
¾™±
L ¿¼L L L
¿ lim
¾™±
∑ | ¿r | ∑ | |
\ \
¿ Jika
0, diperoleh | ¿r | | | ¿r untuk semua ¿ yang cukup ke- cil. Jika
o 0, diperoleh | ¿r | | ¿r | | 1|| ¿r |
| | ¿r . Jika 0, diperoleh | ¿r | |0 ¿r | ¿|r |. Selanjut-
nya, diperoleh –
¢
L L , ¼ lim
¾™±
∑ | ¿r | ∑
| |
|¤
Á
± |¤
Á
±
¿ lim
¾™±
∑ | ¿r | ∑
| |
|¤
Á
ñ |¤
Á
ñ
¿ lim
¾™±
∑ | ¿r | ∑
| |
|¤
Á
\± |¤
Á
\±
¿ lim
¾™±
∑ | |
|¤
Á
±
∑ ¿r
∑ | |
|¤
Á
± |¤
Á
±
¿ lim
¾™±
∑ | |
|¤
Á
ñ
∑ ¿r
∑ | |
|¤
Á
ñ |¤
Á
ñ
¿ lim
¾™±
∑ | |
|¤
Á
\±
∑ ¿|r | ∑
| |
|¤
Á
\± |¤
Á
\±
¿ lim
¾™±
¿ ∑ r
|¤
Á
±
¿ lim
¾™±
¿ ∑ r
|¤
Á
ñ
¿ lim
¾™±
¿ ∑ |r |
|¤
Á
\±
¿ Y r
|¤
Á
±
Y r
|¤
Á
ñ
Y |r |
|¤
Á
\±
Jadi, turunan berarah dari fungsi fx ada untuk sebarang x dan d. Misalkan f terdiferensial secara kontinu pada suatu kitar dari x, maka dipero-
leh –
¢
– , ¼ ³– ¼ 2.11
Untuk membuktikan rumus ini, didefinisikan fungsi “À – À¼ –BÀ
dimana BÀ
À¼. Dapat dicatat bahwa lim
¾™±
– ¿¼ – ¿
lim
¾™±
“¿ “0 ¿
“
¢
Dengan menggunakan aturan rantai pada –BÀ diperoleh
“
¢
À ¯–BÀ?
¯B ·
¯B ¯À
¯–BÀ? ¯B
· ¯B
¯À … ¯–BÀ?
¯B ·
¯B ¯À …
¯–BÀ ¯B
· ¯B
¯À Y
¯–BÀ? ¯B
· ³B
\
À
Y ¯–BÀ?
¯B · r
\
³–BÀ? ¼
³– À¼ ¼ 2.12
Substitusikan untuk À 0 ke dalam persamaan 2.12, sehingga diperoleh
“
¢
0 ³– ¼ –
¢
– , ¼ 2.13
yang mana persamaan 2.13 adalah persamaan 2.11. Berdasarkan Teorema Nilai Rata-Rata, misalkan diberikan sebuah fungsi yang
terdiferensial secara kontinu “: ™ dan terdapat dua bilangan real
À
±
dan À yang memenuhi À À
±
untuk suatu Ä À
±
, À , sehingga dipero- leh
“À “À
±
“
¢
ÄÀ À
±
2.14 Dapat diingat bahwa
“À – À¼. Andaikan bahwa À
±
0 dan À
1. Jika À diganti menjadi À , maka diperoleh “À – À ¼ 2.15
Substitusikan À
1 ke dalam persamaan 2.15 sehingga diperoleh “1 – ¼. Jika À diganti menjadi À
±
, maka “À
±
– À
±
¼ 2.16 Substitusikan
À
±
0 ke dalam persamaan 2.16 sehingga diperoleh “0 – . Suatu perluasan dari hasil ini untuk fungsi multivariabel
–: ™ bahwa untuk sebarang vektor d diperoleh bahwa
– ¼ – ³– À¼ ¼ untuk suatu À 0,1.
▄
Definisi 2.2.9 Fungsi Terdiferensial Dua Kali Secara Kontinu
Sebuah fungsi terdiferensial kontinu –:
™
dikatakan terdiferensial
dua kali secara kontinu di jika
∂ ∂
∂
j i
x x
f
2
x ada dan kontinu dengan
] 1, … , ’ dan
Å 1, … , ’.
Definisi 2.2.10 Matriks Hesse
Misalkan –:
™ dan
, matriks Hesse dari
f
didefinisikan sebagai matriks simetri berukuran
n
x
n
, yang dinotasikan dengan Hx dengan ele-
men-elemen sebagai berikut: ³ –
¯ – ¯ ¯ , ] 1, … , ’ dan Å 1, … , ’
Atau dapat juga dinyatakan sebagai berikut:
Æ
Ç È
È È
È È
È É
¯ – ¯
¯ – ¯ ¯
¯ – ¯ ¯
¯ – ¯ ¯
¯ – ¯
¯ – ¯ ¯
¯ – ¯ ¯
¯ – ¯
Ê Ë
Ë Ë
Ë Ë
Ë Ì
Untuk lebih memahami definisi gradien dan matriks Hesse, maka akan diberikan contoh berikut.
Contoh 2.2.2:
Misalkan Í ,
2 5 7.25.
Maka ³Í
, F
-Î -¤
M
,
-Î -¤
N
, G +2
2 2
5 ,
dan
Æ ,
-
N
Î ¤
M
,¤
N
-¤
M N
-
N
Î ¤
M
,¤
N
-¤
M
-¤
N
-
N
Î ¤
M
,¤
N
-¤
N
-¤
M
-
N
Î ¤
M
,¤
N
-¤
N N
2 0 0 2
.