Titik x dikatakan titik interior dari D
Sebuah elemen M dalam S dikatakan sebuah batas atas dari A jika M me-
lampaui setiap elemen dari A, yaitu M adalah sebuah batas atas dari A jika un- tuk setiap x dalam A diperoleh
S ‡.
Definisi 2.1.18 Supremum
Jika sebuah batas atas dari A mendahului setiap batas atas lain dari A maka di-
sebut batas atas terkecil atau supremum dari A yang dinotasikan dengan
sup A.
Definisi 2.1.19 Batas Bawah Sebuah elemen m dalam S dikatakan sebuah batas bawah dari A jika m men-
dahului setiap elemen dari A, yaitu m adalah sebuah batas bawah dari A jika untuk setiap x dalam A diperoleh
ˆ S .
Definisi 2.1.20 Infimum
Jika sebuah batas bawah dari A melampaui setiap batas bawah lain dari A ma-
ka disebut batas bawah terbesar atau infimum dari A yang dinotasikan
dengan inf A.
Definisi 2.1.21 Terbatas ke Atas dan Terbatas ke Bawah
Misalkan { merupakan subhimpunan tak kosong dari .
a. Himpunan
{ dikatakan terbatas ke atas jika ada bilangan 9
sedemi- kian sehingga
E S 9 untuk semua E {. Setiap bilangan 9 dikatakan batas atas dari
{. b.
Himpunan
{ dikatakan terbatas ke bawah jika ada bilangan
se- demikian sehingga
S E untuk semua E {. Setiap bilangan dikata- kan batas bawah dari
{.
Lemma 2.1.1
Batas bawah ‰ dari himpunan tak kosong { di adalah infimum dari { jika
dan hanya jika Š 0 terdapat { sedemikian sehingga ‰ Š .
Bukti ‹
Diketahui ‰ inf { dan Š 0.
Akan ditunjukkan terdapat { sedemikian sehingga ‰ Š .
Jika 5 batas bawah { maka 5 S ‰.
Karena ‰ Š ‰ maka ‰ Š bukan batas bawah {.
Karena ‰ Š bukan batas bawah { maka harus ada { sehingga ‰ Š .
Œ Jika
‰ suatu batas bawah {, dan untuk setiap Š 0 terdapat { sedemikian sehingga
‰ Š .
Akan dibuktikan ‰ inf {.
Misalkan bahwa 5 suatu batas bawah {. Karena { dan 5 suatu batas ba-
wah { maka - 5.
Karena ‰ Š maka ‰ Š 5.
Jadi untuk setiap Š 0 berlaku ‰ Š 5. Andaikan 5 ‰ maka jika diambil
Š
•Ž•
akan diperoleh ‰ Š
•••
sehingga 5 ‰ Š ‰ dan 5 ‰ Š
yang kontradiksi dengan pernyataan bahwa 5 batas bawah. Jadi, jika 5 batas
bawah { haruslah ‰ - 5 sehingga ‰ merupakan batas bawah terbesar atau
‰ inf {.
▄
Definisi 2.1.22 Barisan Naik dan Barisan Turun
Misalkan ‘ 8 merupakan barisan bilangan real. Barisan ‘ dikatakan
naik jika memenuhi pertidaksamaan
S S S S
•
S
dan dikatakan turun jika memenuhi pertidaksamaan
- - - -
•
- Jika barisan
‘ merupakan barisan naik atau barisan turun maka merupakan
barisan monoton.
Teorema 2.1.7
Barisan turun dan terbatas ke bawah adalah konvergen.
Bukti:
Diberikan 8 turun dan terbatas ke bawah. Karena 8 : ’ } “ maka
terdapat 5
dan
5 inf8 : ’ }. Jadi, untuk setiap ’ } berlaku
- 5 2.1
Karena 5 inf8 : ’ }, maka untuk Š 0 yang diberikan terdapat s }
dan 5 Š
”
- 5 2.2 Karena
8 turun, maka mengingat 2.1 dan 2.2, untuk setiap ’ - s ber- laku
5 Š
”
- - 5 5 Š 2.3 Jadi, diperoleh pernyataan bahwa untuk setiap
Š 0 terdapat s } sedemi- kian sehingga untuk setiap
’ - } dan ’ - s, maka | 5| o Š. Jadi, 8
konvergen dan lim
5 inf8 : ’ }. ▄
Untuk lebih memahami definisi batas atas, batas bawah, supremum, dan infimum, maka akan diberikan contoh berikut.
Contoh 2.1.10
Misalkan . 8 , 5, l, r, •, –, — terurut seperti pada Gambar 2.1.1 dan misal-
kan ‘ 8l, r, •. Tentukan batas atas, batas bawah, supremum, dan infimum
dari X – —
• l r
5
Gambar 2.1.2 Himpunan Terurut
Penyelesaian:
Elemen •, –, dan — didahului oleh setiap elemen dari X, sehingga •, –, dan —
adalah batas atas dari X. Elemen mendahului setiap elemen dari X, sehingga adalah batas bawah
dari X. Elemen
• mendahului – dan —, sehingga • adalah supremum dari X. Elemen mendahului setiap batas bawah dari X, sehingga adalah infimum
dari X.
Definisi 2.1.23 Barisan Cauchy
Barisan 8
˜
v
dikatakan Barisan Cauchy jika
lim
,•™š
L
•
L 0. Dengan kata lain untuk setiap
Š 0, terdapat bilangan bulat s sedemikian sehingga
L
•
L o Š untuk semua ˆ, ‰ s.
Untuk lebih memahami definisi barisan Cauchy, maka akan diberikan contoh berikut.
Contoh 2.1.11
Buktikan bahwa › œ
adalah barisan Cauchy
Bukti:
Jika diberikan Š 0, dapat dipilih s } sedemikian sehingga s
•
. Maka, jika
’, ˆ - s, diperoleh S
”
o
•
dan dengan cara yang sama diperoleh S
”
o
•
. Oleh karena itu, jika ’, ˆ - s, maka
ž ž S o
• •
Š. Karena berlaku untuk sebarang
Š 0, maka dapat disimpulkan bahwa › œ adalah barisan Cauchy.
▄
Definisi 2.1.24 Konvergen
Barisan
8E dikatakan konvergen jika terdapat E
dengan sifat, untuk se- barang
Š 0 yang diberikan, terdapat s } sehingga untuk semua ’ } dengan
’ - s berlaku |E E | o Š. Bilangan s dinamakan limit 8E untuk ’ ™ ∞ dan ditulis
lim
’™∞
E
’
E
atau disingkat
lim E
E.
Untuk lebih memahami definisi konvergen dari suatu barisan, maka akan diberikan contoh berikut.
Contoh 2.1.12
Jika E
l untuk semua ’ } dan c suatu konstanta, maka buktikan bahwa 8E konvergen ke c
Bukti:
Untuk semua ’ } berlaku |E
l| 0. Jadi, jika diberikan Š 0, maka terdapat
s } sehingga ’ - s berlaku |E l| o Š. Dalam hal ini, dapat
diambil bilangan bulat positif manapun untuk }, karena |E
l| 0 o Š un- tuk
’ }. ▄