Titik x dikatakan titik interior dari D

Sebuah elemen M dalam S dikatakan sebuah batas atas dari A jika M me- lampaui setiap elemen dari A, yaitu M adalah sebuah batas atas dari A jika un- tuk setiap x dalam A diperoleh S ‡. Definisi 2.1.18 Supremum Jika sebuah batas atas dari A mendahului setiap batas atas lain dari A maka di- sebut batas atas terkecil atau supremum dari A yang dinotasikan dengan sup A. Definisi 2.1.19 Batas Bawah Sebuah elemen m dalam S dikatakan sebuah batas bawah dari A jika m men- dahului setiap elemen dari A, yaitu m adalah sebuah batas bawah dari A jika untuk setiap x dalam A diperoleh ˆ S . Definisi 2.1.20 Infimum Jika sebuah batas bawah dari A melampaui setiap batas bawah lain dari A ma- ka disebut batas bawah terbesar atau infimum dari A yang dinotasikan dengan inf A. Definisi 2.1.21 Terbatas ke Atas dan Terbatas ke Bawah Misalkan { merupakan subhimpunan tak kosong dari . a. Himpunan { dikatakan terbatas ke atas jika ada bilangan 9 sedemi- kian sehingga E S 9 untuk semua E {. Setiap bilangan 9 dikatakan batas atas dari {. b. Himpunan { dikatakan terbatas ke bawah jika ada bilangan se- demikian sehingga S E untuk semua E {. Setiap bilangan dikata- kan batas bawah dari {. Lemma 2.1.1 Batas bawah ‰ dari himpunan tak kosong { di adalah infimum dari { jika dan hanya jika Š 0 terdapat { sedemikian sehingga ‰ Š . Bukti ‹ Diketahui ‰ inf { dan Š 0. Akan ditunjukkan terdapat { sedemikian sehingga ‰ Š . Jika 5 batas bawah { maka 5 S ‰. Karena ‰ Š ‰ maka ‰ Š bukan batas bawah {. Karena ‰ Š bukan batas bawah { maka harus ada { sehingga ‰ Š . Œ Jika ‰ suatu batas bawah {, dan untuk setiap Š 0 terdapat { sedemikian sehingga ‰ Š . Akan dibuktikan ‰ inf {. Misalkan bahwa 5 suatu batas bawah {. Karena { dan 5 suatu batas ba- wah { maka - 5. Karena ‰ Š maka ‰ Š 5. Jadi untuk setiap Š 0 berlaku ‰ Š 5. Andaikan 5 ‰ maka jika diambil Š •Ž• akan diperoleh ‰ Š ••• sehingga 5 ‰ Š ‰ dan 5 ‰ Š yang kontradiksi dengan pernyataan bahwa 5 batas bawah. Jadi, jika 5 batas bawah { haruslah ‰ - 5 sehingga ‰ merupakan batas bawah terbesar atau ‰ inf {. ▄ Definisi 2.1.22 Barisan Naik dan Barisan Turun Misalkan ‘ 8 merupakan barisan bilangan real. Barisan ‘ dikatakan naik jika memenuhi pertidaksamaan S S S S • S dan dikatakan turun jika memenuhi pertidaksamaan - - - - • - Jika barisan ‘ merupakan barisan naik atau barisan turun maka merupakan barisan monoton. Teorema 2.1.7 Barisan turun dan terbatas ke bawah adalah konvergen. Bukti: Diberikan 8 turun dan terbatas ke bawah. Karena 8 : ’ } “ maka terdapat 5 dan 5 inf8 : ’ }. Jadi, untuk setiap ’ } berlaku - 5 2.1 Karena 5 inf8 : ’ }, maka untuk Š 0 yang diberikan terdapat s } dan 5 Š ” - 5 2.2 Karena 8 turun, maka mengingat 2.1 dan 2.2, untuk setiap ’ - s ber- laku 5 Š ” - - 5 5 Š 2.3 Jadi, diperoleh pernyataan bahwa untuk setiap Š 0 terdapat s } sedemi- kian sehingga untuk setiap ’ - } dan ’ - s, maka | 5| o Š. Jadi, 8 konvergen dan lim 5 inf8 : ’ }. ▄ Untuk lebih memahami definisi batas atas, batas bawah, supremum, dan infimum, maka akan diberikan contoh berikut. Contoh 2.1.10 Misalkan . 8 , 5, l, r, •, –, — terurut seperti pada Gambar 2.1.1 dan misal- kan ‘ 8l, r, •. Tentukan batas atas, batas bawah, supremum, dan infimum dari X – — • l r 5 Gambar 2.1.2 Himpunan Terurut Penyelesaian: Elemen •, –, dan — didahului oleh setiap elemen dari X, sehingga •, –, dan — adalah batas atas dari X. Elemen mendahului setiap elemen dari X, sehingga adalah batas bawah dari X. Elemen • mendahului – dan —, sehingga • adalah supremum dari X. Elemen mendahului setiap batas bawah dari X, sehingga adalah infimum dari X. Definisi 2.1.23 Barisan Cauchy Barisan 8 ˜ v dikatakan Barisan Cauchy jika lim ,•™š L • L 0. Dengan kata lain untuk setiap Š 0, terdapat bilangan bulat s sedemikian sehingga L • L o Š untuk semua ˆ, ‰ s. Untuk lebih memahami definisi barisan Cauchy, maka akan diberikan contoh berikut. Contoh 2.1.11 Buktikan bahwa › œ adalah barisan Cauchy Bukti: Jika diberikan Š 0, dapat dipilih s } sedemikian sehingga s • . Maka, jika ’, ˆ - s, diperoleh S ” o • dan dengan cara yang sama diperoleh S ” o • . Oleh karena itu, jika ’, ˆ - s, maka ž ž S o • • Š. Karena berlaku untuk sebarang Š 0, maka dapat disimpulkan bahwa › œ adalah barisan Cauchy. ▄ Definisi 2.1.24 Konvergen Barisan 8E dikatakan konvergen jika terdapat E dengan sifat, untuk se- barang Š 0 yang diberikan, terdapat s } sehingga untuk semua ’ } dengan ’ - s berlaku |E E | o Š. Bilangan s dinamakan limit 8E untuk ’ ™ ∞ dan ditulis lim ’™∞ E ’ E atau disingkat lim E E. Untuk lebih memahami definisi konvergen dari suatu barisan, maka akan diberikan contoh berikut. Contoh 2.1.12 Jika E l untuk semua ’ } dan c suatu konstanta, maka buktikan bahwa 8E konvergen ke c Bukti: Untuk semua ’ } berlaku |E l| 0. Jadi, jika diberikan Š 0, maka terdapat s } sehingga ’ - s berlaku |E l| o Š. Dalam hal ini, dapat diambil bilangan bulat positif manapun untuk }, karena |E l| 0 o Š un- tuk ’ }. ▄

B. Fungsi Terdiferensial

Pada subbab ini akan dibahas mengenai fungsi, fungsi kontinu, fungsi terdiferensial secara kontinu, fungsi terdiferensial dua kali secara kontinu dan beberapa definisi serta teorema dasar tentang kalkulus. Definisi 2.2.1 Fungsi atau Pemetaan Relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut dengan fungsi atau pemetaan, jika dan hanya jika setiap anggota dari himpunan A berpasangan tepat hanya dengan sebuah anggota dalam himpunan B. Fungsi f dapat pula dinotasikan dengan B A f → : , yang mana me- nunjukkan bahwa fungsi tersebut merupakan pemetaan dari himpunan A ke himpunan B. Himpunan A disebut dengan domain atau daerah asal, sedangkan himpunan B disebut dengan kodomain atau daerah kawan. Definisi 2.2.2 Fungsi Kontinu di Misalkan , –: ™ , dan l . Fungsi f dikatakan kontinu di c, jika untuk setiap Š 0 yang diberikan, dapat dicari ¡ 0, sehingga untuk semua dan | l| o ¡, maka |– –l| o Š. Teorema 2.2.1 Jika –, — kontinu di x, maka – — juga kontinu di x. Bukti: Andaikan f dan — kontinu di x. Akan dibuktikan bahwa – — kontinu di x. Jika Š adalah sebarang bilangan positif yang diberikan, maka Š2 adalah posi- tif. Karena f kontinu di x, maka untuk setiap Š • 0, terdapat suatu bila- ngan positif ¡ , sedemikian sehingga untuk H dan | H| o ¡ maka |– –H| o Š dan karena — kontinu di x, maka untuk setiap Š • 0, terdapat suatu bilangan positif ¡ , sedemikian sehingga untuk H dan | H| o ¡ maka |— —H| o Š . Ambil sebarang Š 0 dan pilih ¡ min 8 ¡ , ¡ , yakni pilih ¡ yang terkecil diantara ¡ dan ¡ . Maka, untuk H dan | H| o ¡ mengimplikasikan | – –H — —H | | – –H 1 — —H | S |– –H| | 1 — —H | Ketaksamaan Segitiga S |– –H| | 1|| — —H | S |– –H| |— —H| S Š2 Š2 Š Langkah-langkah di atas memperlihatkan bahwa untuk H dan | H| o ¡, maka | – –H — —H | o Š. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa – — kontinu di x. ▄ Definisi 2.2.3 Nilai Maksimum, Nilai Minimum, dan Nilai Ekstrim Andaikan S adalah daerah asal dari f yang memuat titik c. Dapat dikatakan bahwa: i fc adalah nilai maksimum f pada S jika –l - – untuk semua x di S. ii fc adalah nilai minimum f pada S jika –l S – untuk semua x di S. iii fc adalah nilai ekstrim f pada S jika fc adalah nilai maksimum atau nilai minimum. Teorema 2.2.2 Titik Kritis Andaikan f terdefinisikan pada selang , 5 yang memuat titik c. Jika fc adalah nilai ekstrim, maka c haruslah berupa suatu titik kritis, yakni c berupa salah satu: i Titik ujung dari , 5 . ii Titik stasioner dari f, yakni titik c sedemikian sehingga – ¢ l 0. iii Titik singular dari f, yakni titik c sedemikian sehingga – ¢ l tidak ada. Bukti: Akan dibuktikan untuk fc yang berupa nilai maksimum f pada , 5 . Andaikan bahwa c bukan titik ujung ataupun titik singular, sehingga harus di- perlihatkan bahwa c adalah titik stasioner. Karena fc adalah nilai maksimum, maka – S –l untuk semua x dalam , 5 diperoleh – –l S 0. Jadi, jika o l sehingga l o 0, maka £¤Ž£¥ ¤Ž¥ - 0. Sedangkan, jika l, maka £¤Ž£¥ ¤Ž¥ S 0. Akan tetapi, – ¢ l ada, karena c bukan titik singu- lar. Karena f terdiferensial pada c, maka diperoleh – ¢ l – Ž ¢ l lim ¤™¥ ¦ £¤Ž£¥ ¤Ž¥ - 0 dan – ¢ l – • ¢ l lim ¤™¥ § £¤Ž£¥ ¤Ž¥ S 0, yang ma- na mengakibatkan bahwa – ¢ l - 0 dan – ¢ l S 0. Sehingga dapat disimpul- kan bahwa – ¢ l 0, yang mana menunjukkan bahwa c adalah titik stasio- ner. Jadi, terbukti untuk fc yang berupa nilai maksimum f pada , 5 . Se- lanjutnya, untuk fc yang berupa nilai minimum f pada , 5 dibuktikan dengan cara yang sama seperti untuk fc yang berupa nilai maksimum f pada , 5 . ▄ Teorema 2.2.3 Teorema Nilai Rata-Rata Jika – kontinu pada selang tertutup , 5 dan terdiferensiasikan pada titik- titik dalam dari , 5, maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam , 5 dengan –5 – 5 – ¢ l 2.4 atau sama dengan –5 – – ¢ l5 . Bukti: Pembuktian ini berdasarkan pada analisis dari fungsi E – — yang diperlihatkan pada Gambar 2.2.1. Gambar 2.2.1 Teorema Nilai Rata-Rata. Pada Gambar 2.2.1, terlihat bahwa H — adalah persamaan garis yang melalui , – dan 5, –5. Karena garis ini mempunyai kemiringan –5 – 5 dan melalui titik , – , maka garis tersebut me- miliki persamaan titik kemiringan, yakni — – –5 – 5 X — – –5 – 5 2.5 Sedangkan, jarak antara fungsi – dengan fungsi — adalah E – — Sehingga persamaan 2.5 dapat ditulis menjadi E – — – – –5 – 5 2.6 Dapat dilihat bahwa E5 E 0 dan bahwa untuk dalam , 5 berla- ku E ¢ – ¢ –5 – 5 2.7 Jika diketahui bahwa terdapat suatu bilangan c dalam , 5 yang memenuhi E ¢ l 0, maka bukti akan selesai. Sehingga, persamaan 2.7 menjadi 0 – ¢ l –5 – 5 2.8 yang mana persamaan 2.7 tidak lain merupakan persamaan 2.4. Untuk melihat bahwa E ¢ l 0 untuk suatu c dalam , 5 alasannya jelas karena s kontinu pada , 5 yang merupakan selisih dua fungsi kontinu. Ber- dasarkan sifat bahwa jika – kontinu pada selang tertutup , 5 , maka f men-