Himpunan Konveks dan Fungsi Konveks

Contoh 2.3.3: Diberikan Í 2 5 7.25, , fungsi Q merupa- kan fungsi konveks. Bukti: Misalkan x [ ] T x x 2 1 , = dan y [ ] T y y 2 1 , = [ ] 1 , , ∈ θ . Maka θ x 1 θ − + y       − +       = 2 1 2 1 1 y y x x θ θ       − − +       = 2 2 1 1 2 1 y y y y x x θ θ θ θ       + − + − = 2 2 2 1 1 1 y y x y y x θ θ Karena itu Í¿ 1 ¿B ¿ H H ¿ H H 2¿ H H 5¿ H H 7.25 ¿ H 2¿ H H H ¿ H 2¿ H H H 2¿ H 2H 5¿ H 5H 7.25 ¿ 2 H H 2¿ H 2¿H H ¿ 2 H H 2¿ H 2¿H H 2¿ 2¿H 2H 5¿ 5¿H 5H 7.25 Sedangkan, ¿Í 1 ¿ÍB ¿ 2 5 1 ¿ H H 2H 5H 7.25 ¿ ¿ 2¿ 5¿ H H 2H 5H ¿H ¿H 2¿H 5¿H 7.25 Karena [ ] 1 , ∈ θ , maka θ θ 2 sehingga diperoleh: Í¿ 1 ¿B ¿ 2 H H 2¿ H 2¿H H ¿ 2 H H 2¿ H 2¿H H 2¿ 2¿H 2H 5¿ 5¿H 5H 7.25 o ¿ 2 H H 2¿ H 2¿H H ¿ 2 H H 2¿ H 2¿H H 2¿ 2¿H 2H 5¿ 5¿H 5H 7.25 o ¿ 2¿ H ¿H 2¿ H 2¿H H ¿ 2¿ H ¿H 2¿ H 2¿H H 2¿ 2¿H 2H 5¿ 5¿H 5H 7.25 ¿ ¿ 2¿ 5¿ H H 2H 5H ¿H ¿H 2¿H 5¿H 7.25 ¿Í 1 ¿ÍB Jadi, Í¿ 1 ¿B S ¿Í 1 ¿ÍB untuk sebarang [ ] 1 , ∈ θ , maka terbukti bahwa Í 2 5 7.25 dengan adalah fungsi konveks. ▄ Teorema 2.3.1 Misalkan ⊆ S adalah himpunan konveks terbuka tidak kosong dan –: { ™ adalah fungsi terdiferensial. Maka f dikatakan konveks jika dan hanya jika – - –« ³–« «, «, { Bukti: ⇒ Misalkan f konveks. Akan ditunjukkan bahwa – - –« ³–« «, «, {. Berdasarkan Definisi Fungsi Konveks bahwa jika f adalah konveks, maka un- tuk semua ¿ dengan 0 ¿ 1 berlaku –¿ 1 ¿« S ¿– 1 ¿–« Ð –¿ « ¿« S ¿– –« ¿–« Ð –« ¿ « S ¿– –«? –« Ð –« ¿ « –« S ¿– –«? Ð –« ¿ « –« ¿ S – –« Dengan pengambilan limit untuk ™ 0 , maka lim ¾™± –« ¿ « –« ¿ S – –« Berdasarkan Definisi Turunan Berarah diperoleh ³– « « S – –« Maka terbukti bahwa – - –« ³– « « ⇐ Misalkan bahwa – - –« ³–« «. Akan ditunjukkan f konveks. Anggap bahwa – - –« ³–« «, «, { benar. Pilih sebarang x 1 , x 2 { dan ¿ 1 ¿ untuk semua ¿ 0,1. Maka diperoleh – - –« ³– « « dan – - –« ³– « « Oleh karena itu, ¿– 1 ¿– - ¿–« ³– « « 1 ¿–« ³– « « ¿–« ³– « ¿ « –« ³– « « ¿–« ³– « ¿ « –« ³– « ¿ « « ¿ « –« ³– « ¿ ¿« « ¿ ¿« –« ³– « ¿ 1 ¿ « –¿ 1 ¿ Karena –¿ 1 ¿ S ¿– 1 ¿– untuk sebarang x 1 , x 2 { dan ¿ 0,1, maka terbukti bahwa – konveks. ▄ Teorema 2.3.2 Misalkan { v adalah himpunan konveks terbuka tidak kosong dan –: { v ™ terdiferensial dua kali secara kontinu. Maka f adalah konveks jika dan hanya jika matriks Hesse adalah semidefinit positif pada setiap titik dalam S . Bukti: Ñ Andaikan bahwa matriks Hesse ³ – adalah semidefinit positif pada setiap titik {. Akan dibuktikan bahwa f adalah konveks. Anggap , « {. Mela- lui Teorema Nilai Rata-Rata diperoleh – –« ³–« « « ³ –Ò « dimana Ò « ¿ «, ¿ 0,1. Dapat dicatat bahwa Ò {. Karena ³ – adalah semidefinit positif, {, maka « ³ –Ò « - 0. Sehingga diperoleh – - –« ³–« «. Dengan menggunakan Teorema 2.3.1 diperoleh bahwa f ada- lah fungsi konveks. Ó Andaikan bahwa f adalah fungsi konveks dan « {. Akan dibuktikan bahwa T ³ –«T - 0, Ô . Karena S terbuka, maka terdapat ¡ 0 sedemikian sehingga ketika |k| o ¡, « kT {. Dengan Teo- rema 2.3.1 diperoleh –« kT - –« ³–« « kT « X –« kT - –« k³–« T 2.17 Karena – terdiferensial dua kali pada «, maka –« kT –« ³–« « kT « 1 2 « kT « ³ –« « kT « ÕLkTL –« k³–« T 1 2 kT ³ –«kT ÕLkTL –« k³–« T k 2 T ³ –«T ÕLkTL 2.18 Substitusikan persamaan 2.18 ke dalam persamaan 2.17, sehingga dipero- leh –« kT - –« k³–« T X –« k³–« T k 2 T ³ –«T ÕLkTL - –« k³–« T X 1 2 k T ³ –«T ÕLkTL - 0 Bagi dengan k dan misalkan k ™ 0, sehingga diperoleh T ³ –«T - 0. ▄ Teorema 2.3.3 Misalkan –, — adalah fungsi konveks pada himpunan { v , maka – — juga adalah fungsi konveks pada S . Bukti: Misalkan , { dan 0 o ¿ o 1, maka –¿ 1 ¿ —¿ 1 ¿ S ¿– 1 ¿– ¿— 1 ¿— S ¿ – — 1 ¿ – — ▄ Teorema 2.3.4 Teorema Proyeksi Misalkan { v adalah himpunan konveks tertutup tidak kosong dan B Ö {, maka ada titik tunggal « { dengan jarak minimum dari y, yakni LB «L inf × LB L 2.19 Selanjutnya, « adalah titik minimum dari persamaan 2.19 jika dan hanya jika AB «, «C S 0, { 2.20 atau dapat dikatakan bahwa « adalah proyeksi Ù × B dari y di S jika dan hanya jika persamaan 2.20 dipenuhi. Bukti: Pembuktian Teorema 2.3.4 di atas dapat dibagi menjadi tiga bagian, yakni: i Akan dibuktikan bahwa jika { v adalah himpunan konveks tertu- tup tidak kosong dan B Ö {, maka ada titik tunggal « { dengan jarak minimum dari y, yakni LB «L inf × LB L. Misalkan inf8LB L| { Ú 0 2.21 Karena Ú adalah batas bawah terbesar maka Ú S LB L, {. Misalkan terdapat sebuah titik 1 { dan B Ö {. Kemudian, dibuat ruas garis yang menghubungkan titik 1 dan titik y. Selanjutnya, dari titik 1 dibuat kitar dengan radius 1. Dari titik limit yang diperoleh da- ri kitar 1 dan berada pada garis yang menghubungkan titik 1 dan ti- tik y, diperoleh titik 2 . Kemudian, dari titik 2 dibuat kitar dengan ra- dius 1 2 . Dari titik limit yang diperoleh dari kitar 2 dan berada pada ga- ris yang menghubungkan titik 2 dan titik y, diperoleh titik 3 . Demi- kian seterusnya, hingga diperoleh titik Û 1 . Kemudian dari titik Û 1 dibuat kitar dengan radius 1 Û . Dari titik limit yang diperoleh dari kitar Û 1 tersebut dan terletak pada ruas garis yang menghubungkan titik Û 1 dan titik y diperoleh titik Û . Dengan demikian akan ada barisan 8 Û v {. Akan ditunjukkan bahwa L B Û L ™ Ú. Karena Ú inf8LB L| { maka berdasarkan Lemma 2.1.1, un- tuk setiap Š ˜ 0 terdapat L B Û L dengan Û { sedemikian se- hingga Ú ˜ LB ˜ L. Dengan demikian, terbentuk barisan 8L B Û L yang terbatas dan tu- run. Berdasarkan Teorema 2.1.7, maka 8L B Û L akan konvergen dan lim Û™∞ L B Û L Ú inf 8L B Û L . Berikut ini, akan dibuktikan bahwa 8 ˜ adalah barisan Cauchy dan oleh karena itu ada limit « {. Melalui Teorema Paralelogram diketahui bahwa L BL L BL 2L L LBL . Misalkan ambil ˜ , {, di mana x diganti dengan ˜ B dan B diganti dengan B. Dengan men- substitusikan x dan y ke dalam Teorema Paralelogram, diperoleh L ˜ B BL L ˜ B BL 2L ˜ BL 2L BL L ˜ 2BL L ˜ L 2L ˜ BL 2L BL L ˜ L 2L ˜ BL 2L BL L ˜ 2BL 2L ˜ BL 2L BL Ü´ ˜ 2 Bµ 2Ü 2L ˜ BL 2L BL 4 Ü ˜ 2 BÜ 2.22 Karena 8 ˜ ⊂ { , maka ˜ 2 {. Dari definisi Ú dikatakan bahwa inf LB L Ú, sehingga LB L L BL - Ú, {. Dengan mengganti ˜ 2 diperoleh Ü ˜ 2 BÜ - Ú X Ü ˜ 2 BÜ - Ú 2.23 Dengan menggunakan persamaan 2.22 dan 2.23 diperoleh L ˜ L S 2L ˜ BL 2L BL 4Ú . Ambil k dan m yang cukup besar sehingga L ˜ BL ™ Ú dan L BL ™ Ú, dengan demikian dipenuhi bahwa L ˜ L ™ 2Ú 2Ú 4Ú 0 atau L ˜ L ™ 0, yang mana menunjukkan bahwa 8 ˜ adalah barisan Cauchy dengan limit «. Karena S tertutup, maka « {. Hal ini menunjukkan bahwa ada « sedemikian sehingga LB «L Ú. Selanjutnya, akan dibuktikan ketunggalan. Andaikan Ý tidak tunggal, artinya ada Ý ′ { dan Ý ′ Ý dengan LÝ ′ B L Ú. Melalui Hukum Parallelogram, misalkan diganti dengan Ý ′ B dan B diganti dengan Ý B, maka diperoleh LÝ ′ Ý 2B L 2 LÝ ′ ÝL 2 2 LÝ ′ B L 2 2 LÝ B L 2 LÝ ′ ÝL 2 2 LÝ ′ B L 2 2 LÝ B L 2 LÝ ′ Ý 2B L 2 2L«′ BL 2L« BL Ü2 ´ «′ « 2 BµÜ 2L«′ BL 2L« BL 4 Ü «′ « 2 BÜ 2Ú 2Ú 4 Ü «′ « 2 BÜ Karena « «′ 2 {, maka menurut 2.23, Ú 2 S Þ «′ « 2 B Þ 2 . Akibatnya, LÝ ′ ÝL 2 S 2Ú 2 2Ú 2 4Ú 2 Jadi, LÝ ′ ÝL S 0, padahal LÝ ′ ÝL 0. Jadi, ada kontradiksi. Ter- bukti Ý ′ Ý . ii Akan dibuktikan bahwa jika AB «, «C S 0, {, maka « ada- lah titik minimum dari LB «L inf × LB L. Ambil x sebarang di S dan misalkan AB «, «C S 0, { dipe- nuhi, sehingga LB L LB « « L LB «L L« L 2AB «, « C LB «L L« L 2« B « Karena L« L - 0 dan « B « - 0, maka LB L - LB «L dan « adalah titik minimum dari LB «L inf × LB L. iii Akan dibuktikan bahwa jika « adalah titik minimum dari LB «L inf × LB L, maka AB «, «C S 0, {. Misalkan LB L - LB «L , {. Karena « k « { dengan k 0,1, maka diperoleh LB « k «L - LB «L X LB « k «L - LB «L X LB « k k«L - LB «L X LB « k« L - LB «L X LB «L k L« L 2k« B « - LB «L X LB «L k L «L 2k « « B - LB «L X k L «L 2k « « B - 0 Bagi dengan k dan misalkan k ™ 0, maka diperoleh AB «, «C S 0, {. ▄

D. Teori Optimisasi

Secara umum, bentuk baku untuk permasalahan optimisasi berkendala adalah sebagai berikut: minimumkan ß – 2.24 dengan kendala c i x = 0, i à 2.25 c i x ≥ 0, i á 2.26 dimana: f adalah fungsi obyektif à = {1, … , m e } adalah himpunan indeks dari kendala persamaan á = { m e + 1, … , m } adalah himpunan indeks dari kendala pertidak- samaan dengan m e dan m adalah bilangan bulat nonnegatif dimana 0 ≤ m e ≤ m . Apabila fungsi obyektif dan kendala dari permasalahan 2.24-2.26 merupa- kan fungsi konveks, maka permasalahan tersebut merupakan permasalahan pemrograman konveks. Definisi 2.4.1 T itik Layak atau Penyelesaian Layak Titik dikatakan titik layak atau penyelesaian layak dari masalah op- timisasi jika dan hanya jika memenuhi persamaan 2.25 dan 2.26. Definisi 2.4.2 Titik Optimum atau P enyelesaian Optimum Titik â dikatakan titik optimum atau p enyelesaian optimum dari masalah optimisasi jika dan hanya jika merupakan penyelesaian layak yang mengoptimumkan fungsi obyektif. Definisi 2.4.3 Titik Stasioner atau Titik Kritis Titik â dikatakan titik stasioner atau titik kritis untuk f yang terdife- rensial jika ³– â . Definisi 2.4.4 Himpunan Layak atau Daerah Layak Himpunan semua titik layak dikatakan himpunan layak atau daerah layak yang dinotasikan dengan X, dimana X didefinisikan sebagai ‘ ã ä l 0, ] 1, … , ˆ å l - 0, ] ˆ å 1, … , ˆæ atau ‘ 8 |l 0, ] à; l - 0, ] á Definisi 2.4.5 Peminimum Global dan Peminimum Global Tegas Jika â ‘ dan jika – - – â , ‘, maka â dikatakan peminimum global dari permasalahan 2.24 – 2.26. Jika â ‘ dan jika – – â , ‘, maka â dikatakan peminimum global tegas. Definisi 2.4.6 Peminimum Lokal dan Peminimum Lokal Tegas Jika â ‘ dan jika ada suatu kitar B â , ¡ dari â sedemikian sehingga – - – â , ‘ è x â , ¡, maka â dikatakan peminimum lokal dari permasalahan 2.24 – 2.26, dimana x â , ¡ 8 |L â L S ¡ dan ¡ 0. Jika â ‘ dan jika ada suatu kitar B â , ¡ dari â sedemikian se- hingga – – â , ‘ è x â , ¡, â , maka â dikatakan pemi- nimum lokal tegas. Definisi 2.4.7 Himpunan Indeks Misalkan á 8]|l 0, ] á. Untuk sebarang , himpunan é à ê á adalah himpunan indeks dari kendala-kendala aktif di x, yakni kendala yang memenuhi l . Sedangkan, é â adalah himpu- nan indeks dari kendala aktif dari permasalahan 2.24 – 2.26 di â yang di- definisikan dengan é â à ê á â , dimana á â 8]|l â 0, ] á. Definisi 2.4.8 Arah Layak Misalkan â ‘, 0 ¼ . Jika ada ¡ 0 sedemikian sehingga â À¼ ‘, À 0, ¡ , maka d dikatakan arah layak feasible direction. Himpunan dari semua arah layak dari X di â adalah ëm â , ‘ 8¼ | â À¼ ‘, À 0, ¡ Definisi 2.4.9 Arah Layak Terlinearisasi Misalkan â ‘ dan ¼ . Jika ¼ ³l â 0, ] à, ¼ ³l â - 0, ] á â , maka d dikatakan arah layak terlinearisasi linearized feasible direction . Himpunan dari semua arah layak terlinearisasi dari X di â adalah ìëm â , ‘ ã¼ä ¼ ³l â 0, ] à ¼ ³l â - 0, ] á â æ Definisi 2.4.10 Arah Layak Terurut Misalkan â ‘ dan ¼ . Jika ada barisan ¼ ˜ Û 1, 2, … dan ¼ ˜ 0, Û 1, 2, … sedemikian sehingga â ¡ ˜ ¼ ˜ ‘, Û dan ¼ ˜ ™ ¼, ¡ ˜ ™ 0, maka arah limit d dikatakan arah layak terurut sequential feasible direction . Himpunan dari semua arah layak terurut dari X di â ada- lah {ëm â , ‘ ã¼ä â ¡ ˜ ¼ ˜ ‘, Û ¼ ˜ ™ ¼, ¡ ˜ ™ 0 æ Teorema 2.4.1 Misalkan ⊂ S himpunan konveks tertutup tidak kosong dan B Ö {. Maka ada vektor taknol p dan bilangan real R sedemikan sehingga T B R dan T S α, {, yakni T B sup8T , { yang mana mengatakan bahwa ada bidang hiper î 8 |T α sebagai pemisah tegas y dan S. Bukti: Karena S himpunan konveks tertutup tidak kosong dan B Ö {, maka berdasar- kan Teorema Proyeksi ada titik tunggal « {, sedemikian sehingga « B « S 0, { Bentuk p = B « 0, maka 0 - B « B « B T T B T T B LTL Oleh karena itu, T B - T LTL , {. Bentuk α sup8T | {, sehingga diperoleh T B sup8T , {. ▄ Teorema 2.4.2 Lemma Farkas Misalkan ∈ A dan ï . Maka ada tepat satu dari dua sistem berikut yang mempunyai penyelesaian: i S 0, ï 0 2.27 ii B ï, B - 0 2.28 Bukti: i Misalkan sistem 2.28 mempunyai penyelesaian. Akan dibuktikan sistem 2.27 tidak mempunyai penyelesaian. Akan dibuktikan dengan kontradiksi. Andaikan sistem 2.27 mempunyai penyelesaian, yakni ada ï 0 se- demikian sehingga S 0 saat B ï dan B - 0. Jika sistem 2.27 dan 2.28 dipenuhi, maka ï B B . Karena S 0 dan B - 0, maka B S 0 yang mana kontradiksi dengan asumsi bahwa ï 0. Karena pengandaian salah, maka haruslah sistem 2.27 tidak mempunyai penyelesaian. ii Misalkan sistem 2.28 tidak mempunyai penyelesaian. Akan dibuktikan sistem 2.27 mempunyai penyelesaian. Misalkan { 8 | B, B - 0 adalah himpunan konveks tertutup tidak kosong dan ï Ö {. Berdasarkan Teorema 2.4.1, ada T dan