Himpunan Konveks dan Fungsi Konveks
Contoh 2.3.3:
Diberikan Í
2 5 7.25,
, fungsi
Q
merupa- kan fungsi konveks.
Bukti: Misalkan x
[ ]
T
x x
2 1
, =
dan y
[ ]
T
y y
2 1
, =
[ ]
1 ,
, ∈ θ
. Maka
θ x
1
θ
− +
y
−
+
=
2 1
2 1
1 y
y x
x θ
θ
− −
+
=
2 2
1 1
2 1
y y
y y
x x
θ θ
θ θ
+ −
+ −
=
2 2
2 1
1 1
y y
x y
y x
θ θ
Karena itu
Í¿ 1 ¿B ¿
H H ¿ H H
2¿ H H
5¿ H H 7.25
¿ H 2¿
H H H ¿ H
2¿ H H H 2¿
H 2H 5¿
H 5H 7.25 ¿
2 H H 2¿ H 2¿H H
¿ 2 H H 2¿ H
2¿H H 2¿ 2¿H
2H 5¿ 5¿H
5H 7.25 Sedangkan,
¿Í 1 ¿ÍB ¿ 2
5 1 ¿ H H
2H 5H 7.25
¿ ¿ 2¿
5¿ H H 2H
5H ¿H
¿H 2¿H 5¿H 7.25 Karena
[ ]
1 ,
∈ θ
, maka θ
θ
2
sehingga diperoleh:
Í¿ 1 ¿B ¿
2 H H 2¿ H 2¿H H
¿ 2 H H 2¿ H
2¿H H 2¿ 2¿H 2H
5¿ 5¿H 5H 7.25
o ¿ 2 H H 2¿ H
2¿H H ¿
2 H H 2¿ H 2¿H H 2¿ 2¿H
2H 5¿ 5¿H
5H 7.25 o ¿
2¿ H ¿H 2¿ H 2¿H H ¿
2¿ H ¿H 2¿ H
2¿H H 2¿ 2¿H
2H 5¿
5¿H 5H 7.25
¿ ¿ 2¿
5¿ H H 2H
5H ¿H
¿H 2¿H 5¿H 7.25
¿Í 1 ¿ÍB
Jadi, Í¿ 1 ¿B S ¿Í 1 ¿ÍB untuk sebarang
[ ]
1 ,
∈ θ
, maka terbukti bahwa
Í 2
5 7.25 dengan adalah fungsi konveks.
▄
Teorema 2.3.1
Misalkan
⊆ S
adalah himpunan konveks terbuka tidak kosong dan –: {
™ adalah fungsi terdiferensial. Maka
f
dikatakan konveks jika dan hanya jika
– - –« ³–« «, «,
{
Bukti:
⇒
Misalkan
f
konveks. Akan ditunjukkan bahwa
– - –« ³–« «, «,
{.
Berdasarkan Definisi Fungsi Konveks bahwa jika
f
adalah konveks, maka un-
tuk semua ¿ dengan 0 ¿ 1 berlaku
–¿ 1 ¿« S ¿– 1 ¿–« Ð –¿ « ¿« S ¿– –« ¿–«
Ð –« ¿ « S ¿– –«? –«
Ð –« ¿ « –« S ¿– –«?
Ð –« ¿
« –« ¿
S – –« Dengan pengambilan limit untuk
™ 0 , maka lim
¾™±
–« ¿ « –«
¿ S – –«
Berdasarkan Definisi Turunan Berarah diperoleh ³–
« «
S – –« Maka terbukti bahwa
– - –« ³–
« «
⇐
Misalkan bahwa – - –« ³–«
«.
Akan ditunjukkan
f
konveks. Anggap bahwa
– - –« ³–«
«, «, { benar.
Pilih sebarang x
1
, x
2
{ dan
¿ 1 ¿ untuk semua ¿ 0,1. Maka diperoleh
– - –« ³–
« «
dan – - –«
³– «
« Oleh karena itu,
¿– 1 ¿– - ¿–«
³– «
« 1 ¿–«
³– «
«
¿–« ³–
« ¿
« –«
³– «
« ¿–«
³– «
¿ «
–« ³–
« ¿
« «
¿ «
–« ³–
« ¿
¿« « ¿
¿« –«
³– «
¿ 1
¿ «
–¿ 1 ¿
Karena –¿ 1 ¿ S ¿– 1 ¿– untuk sebarang
x
1
, x
2
{ dan
¿ 0,1, maka terbukti bahwa – konveks. ▄
Teorema 2.3.2
Misalkan { v
adalah himpunan konveks terbuka tidak kosong dan –: { v
™ terdiferensial dua kali secara kontinu. Maka
f
adalah konveks jika dan hanya jika matriks Hesse adalah semidefinit positif pada setiap titik
dalam
S
.
Bukti:
Ñ Andaikan bahwa matriks Hesse
³ – adalah semidefinit positif pada setiap titik
{. Akan dibuktikan bahwa
f
adalah konveks. Anggap , « {. Mela-
lui Teorema Nilai Rata-Rata diperoleh – –« ³–«
«
« ³ –Ò
« dimana Ò « ¿ «, ¿ 0,1. Dapat dicatat
bahwa Ò {. Karena ³ – adalah semidefinit positif,
{, maka «
³ –Ò « - 0.
Sehingga diperoleh
– - –« ³–«
«. Dengan menggunakan Teorema 2.3.1 diperoleh bahwa
f
ada- lah fungsi konveks.
Ó Andaikan bahwa
f
adalah fungsi konveks dan « {.
Akan dibuktikan bahwa T
³ –«T - 0, Ô . Karena
S
terbuka, maka terdapat
¡ 0 sedemikian sehingga ketika |k| o ¡, « kT {. Dengan Teo- rema 2.3.1 diperoleh
–« kT - –« ³–« « kT «
X –« kT - –« k³–« T 2.17
Karena
– terdiferensial dua kali pada «, maka
–« kT –« ³–« « kT «
1 2 « kT «
³ –« « kT « ÕLkTL
–« k³–« T
1 2 kT
³ –«kT ÕLkTL
–« k³–« T
k 2 T
³ –«T ÕLkTL 2.18
Substitusikan persamaan 2.18 ke dalam persamaan 2.17, sehingga dipero- leh
–« kT - –« k³–« T
X –« k³–« T
k 2 T
³ –«T ÕLkTL - –« k³–« T
X 1
2 k T ³ –«T ÕLkTL - 0
Bagi dengan k dan misalkan k ™ 0, sehingga diperoleh T
³ –«T - 0. ▄
Teorema 2.3.3
Misalkan –, — adalah fungsi konveks pada himpunan { v
, maka – —
juga adalah fungsi konveks pada
S
.
Bukti:
Misalkan ,
{ dan 0 o ¿ o 1, maka –¿ 1 ¿ —¿ 1 ¿
S ¿– 1 ¿– ¿— 1 ¿— S ¿ – — 1 ¿ – —
▄
Teorema 2.3.4 Teorema Proyeksi
Misalkan { v
adalah himpunan konveks tertutup tidak kosong dan B Ö {,
maka ada titik tunggal
« { dengan jarak minimum dari y, yakni
LB «L inf
×
LB L 2.19
Selanjutnya, « adalah titik minimum dari persamaan 2.19 jika dan hanya jika
AB «, «C S 0,
{ 2.20 atau dapat dikatakan bahwa
« adalah proyeksi Ù
×
B dari y di
S
jika dan hanya jika persamaan 2.20 dipenuhi.
Bukti:
Pembuktian Teorema 2.3.4 di atas dapat dibagi menjadi tiga bagian, yakni: i
Akan dibuktikan bahwa jika { v
adalah himpunan konveks tertu- tup tidak kosong dan
B Ö {, maka ada titik tunggal « { dengan jarak
minimum dari y, yakni
LB «L inf
×
LB L.
Misalkan inf8LB
L| { Ú 0 2.21
Karena Ú adalah batas bawah terbesar maka Ú S LB
L, {.
Misalkan terdapat sebuah titik
1
{ dan B Ö {. Kemudian, dibuat ruas garis yang menghubungkan titik
1
dan titik y. Selanjutnya, dari
titik
1
dibuat kitar dengan radius 1. Dari titik limit yang diperoleh da- ri kitar
1
dan berada pada garis yang menghubungkan titik
1
dan ti-
tik y, diperoleh titik
2
. Kemudian, dari titik
2
dibuat kitar dengan ra- dius
1 2
. Dari titik limit yang diperoleh dari kitar
2
dan berada pada ga- ris yang menghubungkan titik
2
dan titik y, diperoleh titik
3
. Demi- kian seterusnya, hingga diperoleh titik
Û 1
. Kemudian dari titik
Û 1
dibuat kitar dengan radius
1 Û
. Dari titik limit yang diperoleh dari kitar
Û 1
tersebut dan terletak pada ruas garis yang menghubungkan titik
Û 1
dan titik y diperoleh titik
Û
. Dengan demikian akan ada barisan
8
Û
v {.
Akan ditunjukkan bahwa
L
B
Û
L
™ Ú. Karena
Ú inf8LB L|
{ maka berdasarkan Lemma 2.1.1, un- tuk setiap
Š
˜
0 terdapat
L
B
Û
L
dengan
Û
{ sedemikian se- hingga
Ú
˜
LB
˜
L. Dengan demikian, terbentuk barisan
8L
B
Û
L
yang terbatas dan tu- run.
Berdasarkan Teorema 2.1.7, maka
8L
B
Û
L
akan konvergen dan lim
Û™∞
L
B
Û
L
Ú inf
8L
B
Û
L
.
Berikut ini, akan dibuktikan bahwa 8
˜
adalah barisan Cauchy dan oleh karena itu ada limit
« {.
Melalui Teorema Paralelogram diketahui bahwa L BL
L BL
2L L LBL . Misalkan ambil
˜
, {, di mana x
diganti dengan
˜
B dan B diganti dengan B. Dengan men-
substitusikan x dan y ke dalam Teorema Paralelogram, diperoleh
L
˜
B BL L
˜
B BL
2L
˜
BL 2L
BL L
˜
2BL L
˜
L 2L
˜
BL 2L BL
L
˜
L 2L
˜
BL 2L BL
L
˜
2BL 2L
˜
BL 2L BL
Ü´
˜
2 Bµ 2Ü
2L
˜
BL 2L BL
4 Ü
˜
2 BÜ 2.22
Karena 8
˜
⊂ {
, maka
˜
2 {. Dari definisi Ú dikatakan bahwa
inf LB L Ú, sehingga LB
L L BL - Ú,
{. Dengan mengganti
˜
2 diperoleh Ü
˜
2 BÜ - Ú
X Ü
˜
2 BÜ - Ú 2.23
Dengan menggunakan persamaan 2.22 dan 2.23 diperoleh L
˜
L S 2L
˜
BL 2L BL
4Ú . Ambil
k
dan
m
yang cukup besar sehingga L
˜
BL ™ Ú dan L
BL ™ Ú, dengan demikian dipenuhi bahwa L
˜
L ™
2Ú 2Ú 4Ú
0 atau L
˜
L ™ 0, yang mana menunjukkan bahwa
8
˜
adalah barisan Cauchy dengan limit «. Karena
S
tertutup, maka
« {. Hal ini menunjukkan bahwa ada « sedemikian sehingga LB «L Ú.
Selanjutnya, akan dibuktikan ketunggalan. Andaikan
Ý
tidak tunggal, artinya ada
Ý
′ { dan
Ý
′
Ý
dengan
LÝ
′ B
L
Ú. Melalui Hukum Parallelogram, misalkan diganti dengan
Ý
′
B dan B diganti dengan
Ý
B, maka diperoleh
LÝ
′
Ý
2B
L
2
LÝ
′
ÝL
2
2
LÝ
′ B
L
2
2
LÝ
B
L
2
LÝ
′
ÝL
2
2
LÝ
′ B
L
2
2
LÝ
B
L
2
LÝ
′
Ý
2B
L
2
2L«′ BL 2L« BL Ü2 ´
«′ « 2
BµÜ
2L«′ BL 2L« BL 4 Ü
«′ « 2
BÜ
2Ú 2Ú 4 Ü
«′ « 2
BÜ
Karena
« «′
2
{, maka menurut 2.23, Ú
2
S
Þ
«′ «
2
B
Þ
2
. Akibatnya,
LÝ
′
ÝL
2
S 2Ú
2
2Ú
2
4Ú
2
Jadi,
LÝ
′
ÝL
S 0, padahal
LÝ
′
ÝL
0. Jadi, ada kontradiksi. Ter- bukti
Ý
′
Ý
.
ii Akan dibuktikan bahwa jika
AB «, «C S 0,
{, maka « ada- lah titik minimum dari
LB «L inf
×
LB L.
Ambil x sebarang di
S
dan misalkan AB «,
«C S 0, { dipe-
nuhi, sehingga LB
L LB « «
L LB «L L«
L 2AB «, « C
LB «L L« L 2«
B « Karena
L« L - 0 dan «
B « - 0, maka LB
L - LB «L dan « adalah titik minimum dari LB «L inf
×
LB L.
iii Akan dibuktikan bahwa jika
« adalah titik minimum dari LB «L inf
×
LB L, maka AB «,
«C S 0, {.
Misalkan LB
L - LB «L , {.
Karena « k
« { dengan k 0,1, maka diperoleh LB « k
«L - LB «L X LB « k
«L - LB «L X LB « k k«L - LB «L
X LB « k« L - LB «L
X LB «L k L« L 2k«
B « - LB «L X LB «L k L
«L 2k «
« B - LB «L X k L
«L 2k «
« B - 0 Bagi dengan
k dan misalkan k ™ 0, maka diperoleh AB «,
«C S 0, {.
▄