Dengan menyubstitusikan persamaan 2.3 dan 2.5 ke dalam 2.7 diperoleh dt
S V
S t
V d
2 2
2 2
2 1
.
2.8 penurunan dapat dilihat pada lampiran 1.
Return dari investasi sebesar pada saham tidak berisiko akan memiliki
pertumbuhan sebesar r dt dalam selang waktu dt. Agar tidak terdapat peluang
arbitrage, nilai pertumbuhan ini harus sama dengan ruas kanan dari persamaan 2.8, yaitu:
. 2
1
2 2
2 2
dt S
V S
t V
dt r
2.9 Substitusi persamaan 2.6 ke dalam persamaan 2.9, diperoleh
. 2
1
2 2
2 2
dt S
V S
t V
dt S
t V
V r
sehingga
. 2
1
2 2
2 2
rV t
V S
V rS
S V
S
2.10
Persamaan 2.10 ini dikenal sebagai persamaan diferensial Black-Scholes-Merton Hull 2003.
2.8 Formulasi Harga Black-Scholes
Hull 2003 menunjukkan bahwa salah satu cara untuk menentukan solusi analitik persamaan Black-Scholes, yang merupakan harga opsi dan disebut
formula Black-Scholes adalah dengan menggunakan pendekatan penilaian risiko netral. Untuk sebuah opsi call tipe Eropa, nilai harapan payoff dari opsi call pada
saat jatuh tempo adalah
. ,
max ˆ
K S
E
T
2.11
Didefinisikan gS
T
adalah fungsi kepekatan peluang dari S
T
, maka
K T
T T
T
dS S
g K
S K
S E
. ,
max 2.12
Misalkan lnS
G
, maka .
dan 1
, 1
2 2
2
t G
S S
G S
S G
Berdasarkan Lema Ito’ diperoleh
dz S
S dt
S S
S S
G 1
1 2
1 1
2 2
2
. 2
1
2
dz dt
Karena µ dan
konstan maka lnS
G
mengikuti gerak Brown dengan rataan
2
2 1
dan varian
2
. Berdasarkan persamaan 2.3,
S dS
merupakan tingkat pengembalian dari harga saham. Bentuk pengembalian dari harga saham yang dapat diprediksi dan
bersifat deterministik adalah µdt. Sebagai contoh dari pengembalian yang bersifat deterministik adalah pengembalian dari sejumlah dana yang diinvestasikan di
bank yang bersifat bebas risiko. Karena bersifat bebas risiko maka ekspektasi dari harga diganti dengan r. Karena
S G
ln
berubah dari 0 sampai T dan lnS
G
mengikuti gerak Brown, maka lnS berdistribusi normal dengan rataan
r – 12
2
T dan varian
2
T. Misalkan pada waktu
t
, nilai ln
S G
dan pada waktu T nilai
ln
T
S G
, maka pada selang waktu 0 sampai dengan T,
ln ln
S S
T
adalah
berdistribusi normal dengan rataan dan varian seperti di atas, sehingga diperoleh:
ln ln
S S
T
T T
r N
, 2
1
2
atau dapat dituliskan lnS
T
berdistribusi normal dengan
T
S ln
T T
r S
N
,
2 1
ln
2
. Dengan demikian lnS
T
berdistribusi normal dengan rataan T
r S
m
2
2 1
ln
dan standar deviasi T
s
2.13
Selanjutnya didefinisikan juga sebuah peubah Q dengan
T m
S Q
T
ln
. 2.14
Substitusi m dari Persamaan 2.13 ke dalam Persamaan 2.14, sehingga diperoleh
T r
T S
S T
Q
T
2
1 ln
ln 1
2
maka peubah Q juga berdistribusi normal dengan rataan 0 dan standar deviasi 1,
dan fungsi kepekatan peluang dari Q dinyatakan dengan hQ, yaitu
2
2
2 1
Q
e Q
h
2.15 lihat lampiran 2
Persamaan 2.14 dinyatakan menjadi
m T
Q T
e S
. 2.16
Perubahan batas integral pada sisi kanan dari persamaan 2.12, dari integral menurut S
T
menjadi integral menurut Q adalah sebagai berikut: Jika S
T
= , maka Q = .
Jika S
T
= K, maka
m T
Q
e K
sehingga T
m K
Q
ln .
Dengan menggunakan persamaan 2.15, 2.16, perubahan batas integral dan misalkan
T s
, maka persamaan 2.12 menjadi:
s m
K m
Qs T
dQ Q
h K
e K
S E
ln
, max
ˆ
s m
K s
m K
m Qs
dQ Q
h K
dQ Q
h e
ln ln
s m
K s
m K
Q m
Qs
dQ Q
h K
dQ e
e
ln ln
2
2 1
2
s m
K s
m K
m Qs
Q
dQ Q
h K
dQ e
ln ln
2 2
2
2 1
2
s m
K s
m K
m s
s Q
dQ Q
h K
dQ e
ln ln
2 2
2 1
2 2
s m
K s
m K
s Q
s m
dQ Q
h K
dQ e
e
ln ln
2 2
2 1
2 2
s m
K s
m K
s m
dQ Q
h K
dQ s
Q h
e
ln ln
2
2
, Sehingga persamaan 2.12 dapat dinyatakan dengan
s m
K s
m K
s m
T
dQ Q
h K
dQ s
Q h
e K
S E
ln ln
2
, max
ˆ
2
2.17 Jika Nx menyatakan notasi dari fungsi distribusi normal baku kumulatif maka
s s
m K
N e
dQ s
Q h
e
T m
s m
K s
m
ln 1
2 ln
2
2 2
s s
m K
N e
T m
ln
2
2
. Peubah m pada ruas kanan yang terdapat dalam tanda kurung siku persamaan di
atas disubstitusikan dengan persamaan 2.13 dan T
s
, maka diperoleh
T T
T r
S K
N e
dQ s
Q h
e
T m
s m
K s
m
2 ln
ln
2 2
ln 2
2 2
T T
T r
K S
N e
T m
2
2 2
2 ln
2
T T
r K
S N
e
T m
2 ln
2 2
2
1 2
2
d N
e
T m
,
dengan
T
T r
K S
d
2
ln
2 1
.
Dengan alasan yang serupa di atas, maka
s m
K
s m
K N
K dQ
Q h
K
ln
ln 1
s
m K
KN ln
Dengan mensubstitusikan m dan s pada persamaan 2.13 ke dalam persamaan di atas diperoleh
s m
K
T T
r S
K KN
dQ Q
h K
ln 2
2 ln
ln
T
T r
K S
KN
2
ln
2
=KNd
2
,
dengan T
T r
K S
d
2 ln
2 2
, Sehingga persamaan 2.12 menjadi
2 1
2
2
, max
ˆ d
KN d
N e
K S
E
T m
T
. 2.18
Berdasarkan argumentasi penilaian risiko netral, harga opsi call tipe Eropa yang dilambangkan dengan c adalah nilai harapan yang didiskon pada suku bunga
bebas risiko yang dapat dinyatakan sebagai
, max
ˆ K
S E
e c
T rT
. 2.19
Dengan substitusi persamaan 2.18 dan 2.19 diperoleh formula Black- Scholes untuk opsi call tipe Eropa tanpa membayar dividen pada saat kontrak opsi
dibuat, yaitu
2 1
d N
Ke d
N S
c
rT
. 2.20
dengan
T
T r
K S
d
2
ln
2 1
dan T
T r
K S
d
2 ln
2 2
.
2.9 Rasio Lindung Nilai Hedge Ratio
