III PENENTUAN NILAI OPSI INDONESIA
3.1
Spesifikasi Opsi Indonesia
Opsi saham Indonesia mulai diperjualbelikan pada Bursa Saham Indonesia pada tanggal 9 September 1994. Opsi saham Indonesia dapat dipertimbangkan
sebagai opsi berbatas tipe Amerika di mana akan dieksekusi secara otomatis jika harga menyentuh atau melalui batas sebelum jatuh tempo maturity. Imbalan
payoff berdasarkan weigthed moving Average WMA harga saham yang diperjualbelikan underlying stock. Batas tetap pada tingkat harga eksekusi
strike ditambah atau dikurang 10 persen. Contoh kontrak: Kontrak ini membolehkan pemegang saham untuk
membeli 1 saham ABC dengan harga Rp. 100.000 sebelum atau pada saat 28 Agustus 2009. Kontrak opsi dapat dieksekusi kapan saja selama periode opsi
saham, sampai waktu jatuh tempo T atau sampai harga WMA menyentuh atau melalui batas B = 0.9 untuk put, B = 1.1 untuk call.
Gunardi, et. al 2006 telah mengkaji penentuan harga opsi Indonesia pada ekonomi Black-Scholes. Mereka menghasilkan aproksimasi secara analitik untuk
harga opsi. Akan tetapi mereka tidak mengkonstruksi strategi hedging menggunakan opsi. Dalam karya ilmiah ini, pertama mempertimbangkan opsi
Indonesia dengan tipe Eropa menggunakan simulasi Monte Carlo serta model binomial. Pada tingkatan selanjutnya, diperbolehkan eksekusi lebih awal pada
model sebelumnya dan menyelesaikannya dengan model binomial. Pada saat menentukan harga opsi berbatas barrier option menggunakan model binomial,
Boyle dan Lau 1994 memprediksi bahwa konvergensi metode sangat lambat, dan menemukan bahwa hasilnya cenderung mempunyai bias tetap. Untuk
menyelesaikan masalah ini, mereka mengemukakan suatu metode untuk mendapatkan langkah waktu yang tepat untuk mengurangi bias.
3.2 Model
Dalam karya ilmiah ini, dikonstruksi model opsi Indonesia sebagai suatu proses kendala fleksibel relaxing contraints dari opsi tipe Eropa Plain Vanilla.
Pertama, dibangun suatu algoritma untuk harga opsi Eropa menggunakan simulasi Monte Carlo serta model Binomial. Kemudian, membandingkan hasil dari dua
pendekatan tersebut. Kedua, menempatkan batas ke dalam model opsi tipe Eropa untuk memperoleh opsi Indonesia dengan tipe Eropa. Harga opsi Indonesia
dengan tipe Eropa akan lebih rendah daripada harga opsi Eropa Plain Vanilla karena pembatasan pada kenaikan saham. Setelah itu, dikonstruksi suatu algoritma
untuk harga opsi tipe Amerika. Karena opsi Amerika mempunyai ciri dapat dieksekusi lebih awal, hal ini lebih mudah untuk menentukan harga opsi
menggunakan model binomial lattice. Setelah berhasil menentukan harga opsi tipe Amerika menggunakan model binomial, ditempatkan batas ke dalam model opsi
tipe Amerika untuk menghasilkan model opsi Indonesia. Seperti yang diprediksi oleh Boyle dan Lau 1994, dengan memilih setiap jumlah langkah waktu time
step, hasilnya mempunyai bias tetap. Sehingga, digunakan metode yang dikemukakan oleh mereka dalam memilih banyaknya langkah waktu.
3.3
Opsi Tipe Eropa
Suatu opsi call tipe Eropa memberikan pemiliknya hak, tetapi bukan kewajiban untuk membeli dari writer aset tertentu pada tingkat harga tertentu pada
waktu tertentu. Sedangkan opsi put tipe Eropa memberikan pemiliknya hak, tetapi bukan kewajiban, untuk menjual kepada writer suatu aset tertentu pada tingkat
harga tertentu pada waktu tertentu. Imbalan dari suatu opsi call pada waktu jatuh tempo:
, max
K T
S C
, dimana,
ST : harga saham pada waktu jatuh tempo; K : harga eksekusi exercisestrike;
C : harga call .
Suatu opsi tipe Eropa jika imbalannya dapat diekspresikan sebagai suatu fungsi
T S
dari harga asset
T S
pada waktu jatuh tempo T. Sehingga, imbalan untuk
call Eropa
dengan harga
strike K
dapat ditulis
sebagai
, max
K T
S T
S
.
Dalam model Black-Scholes diasumsikan
,
2
2
Z T
T d
e S
T S
1 ,
~ N Z
. Harga opsi tipe Eropa dengan fungsi imbalan
x
dapat diberikan sebagai nilai harapan suatu peubah acak:
Z T
T r
rT
e S
E e
S V
2
2
, .
Matematika model Black-Scholes sangat sulit karena harga dapat bergerak ke nilai harga tak terbatas pada waktu yang tak terbatas juga. Model binomial
membatasi pergerakan harga pada dua pilihan dalam satu periode. Karena model binomial konvergen ke model Black-Scholes pada saat panjang periode menuju
nol. Model binomial membawa pada algoritma numerik yang efisien untuk menentukan harga opsi Lyu 2002.
Pada model binomial, waktu merupakan waktu diskret dan diukur dalam periode. Model mengasumsikan bahwa jika harga sekarang S, maka harga akan berubah
menjadi Su dengan peluang q dan Sd dengan peluang 1-q, dengan 0 q 1 dan d u. Misalkan waktu jatuh tempo hanya satu periode dari sekarang. Misalkan
u
C harga pada saat harga saham bergerak menjadi Su dan
d
C harga pada saat harga
saham bergerak menjadi Sd, sehingga diperoleh
K Su
C
u
, max
dan
K Sd
C
d
, max
. Lihat gambar 1 dan gambar 2 untuk ilustrasi.
Gambar 3.1 Model binomial untuk harga saham
Sd Su
1-q q
S
Gambar 3.2 Nilai call satu periode pada binomial Algoritma untuk menentukan harga opsi call Eropa menggunakan Binomial trees
dan simulasi Monte Carlo seperti di bawah ini:
Algoritma opsi
call tipe
Eropa menggunakan
metode Binomial
menggunakan sintaks Matlab:
1 Input: So, K, sigma, r, T, n
2 Hitung: delta_t, u, d, q, disc, dengan delta_t = Tn, u = expVol×sqrtdelta_t,
d = 1u, q = expr×delta_t-du-d dan disc=exp-r×delta_t 3
Binomial tree untuk saham: S
1,1
=So; for i=2:n+1
S
i,i
= S
i-1
,
i-1
d; end;
for i=1:n+1 for j=i+1:n+1
S
i,j
= S
i
,
j-1
u; end;
end; 4
Imbalan opsi pada waktu jatuh tempo for i=1:n+1
V
i,n+1
= maxS
i,n+1
-K,0; end;
5 Nilai opsi pada waktu 0 menggunakan metode backward
for j=n:-1:1 for i=1:j
V
i,j
= discqV
i,j+1
+1-qV
i+1,j+1
; end;
end; 6
V
1,1
adalah harga opsi call tipe Eropa yang tepat
Cd=max0,Sd-K Cu=max0,Su-K
1-q q
C
Algoritma opsi call tipe Eropa menggunakan Simulasi Monte Carlo menggunakan sintaks Matlab:
1 Input: So, K, sigma, r, T, m
2 Hitung: drift, shift, dengan
T Vol
. r-
2
5 drift
dan
T Vol
shift
3 Nilai sekarang present value imbalan pada saat jatuh tempo
for i=1:m S=Soexpdrift+shiftrandn1;
payoff=maxS-K,0; C
i
=exp-rTpayoff; end;
4 Hitung selang kepercayaan 95 nilai opsi
3.4
Opsi Indonesia dengan Tipe Eropa
Penentuan harga opsi call Indonesia dengan tipe Eropa sangat mirip dengan opsi call tipe Eropa dengan syarat tambahan ketika harga saham menyentuh atau
melewati batas. Imbalan ketika harga saham menyentuh atau melalui batas pada waktu t akan menjadi
. ,
K t
S t
S V
t
Akan tetapi, ketika menerapkan metode binomial biasa dalam menentukan opsi berbatas, hasilnya akan menjadi tidak akurat. Sehingga diterapkan metode
yang dikemukakan oleh Boyle dan Lau 1994 dalam memilih jumlah langkah waktu. Mereka menyatakan bahwa harus dipilih n jumlah langkah waktu
sedemikian sehingga jumlah ini merupakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari atau sama dengan
2 2
2
log
H S
T m
m F
, 3
, 2
, 1
m
, dengan H adalah
batas. Algoritma untuk menentukan harga opsi call Indonesia dengan tipe Eropa
menggunakan binomial trees dan simulasi Monte Carlo adalah sebagai berikut:
Algoritma opsi call Indonesia tipe Eropa menggunakan metode Binomial menggunakan sintaks Matlab:
1 Input: So, K, sigma, r, T, n, B_call
2 Hitung: delta_t, u, d, q, disc, dengan delta_t = Tn, u = expVol×sqrtdelta_t,
d = 1u, q = expr×delta_t-du-d dan disc=exp-r×delta_t 3
Memilih banyaknya langkah menggunakan metode Boyle dan Lau’s
,... 3
, 2
, 1
, log
2 2
2
m H
S T
m m
F
4 Binomial tree untuk saham
S
1,1
=So; for i=2:n+1
S
i,i
= S
i-1
,
i-1
d; end;
for i=1:n+1 for j=i+1:n+1
S
i,j
= S
i
,
j-1
u; end;
end; 5
Imbalan opsi pada saat jatuh tempo for i=1:n+1
V
i,n+1
= maxS
i,n+1
-K,0; end;
6 Nilai opsi pada waktu 0 menggunakan metode backward
for j=n:-1:1 for i=1:j
if S
i,j
=B_call V
i,j
=S
i,j
-K; else
V
i,j
= discqV
i,j+1
+1-qV
i+1,j+1
; end;
end; end;
7 V
1,1
adalah harga opsi call Indonesia tipe Eropa yang tepat.
Algoritma opsi call Indonesia tipe Eropa menggunakan Simulasi Monte Carlo menggunakan sintaks Matlab:
1 Input: So, K, sigma, r, T, m, n
2 Hitung: delta_t, drift, shift, dengan
T Vol
. r-
2
5 drift
dan
T Vol
shift
3 Membangkitkan matriks saham menggunakan pseudo random number
generator Zm,n for i=1:m
for j=2:n S
i,j
= S
i,j-1
expdrift+shift Z
i,j-1
; end;
end;
4 Nilai sekarang present value imbalan pada waktu t untuk kasus ketika harga
saham menyentuh batas pasa waktu t atau pada waktu jatuh tempo. for i=1:m
for j=1:n if S
i,j
=B_call C
i
=exp-rdelta_tj S
i,j
-K; else
C
i
=exp-rTmaxS
i,n
-K,0; end;
end; end;
5 Hitung selang kepercayaan 95 nilai opsi.
3.5
Opsi Amerika
Karena opsi Amerika mudah untuk diperiksa pada tiap-tiap node apakah eksekusi lebih awal optimal, metode binomial cocok untuk menentukan harga
opsi tipe Amerika. Nilai opsi jika tidak dieksekusi diberikan oleh nilai mempertahankannya untuk periode yang lain. Nilai opsi jika dieksekusi adalah
K S
,
max jika opsi adalah call.
Dengan demikian, untuk opsi call Amerika, nilai opsi pada suatu node adalah
1 ,
, ,
, ,
max ,
, p
t t
K Sd
c p
t t
K Su
c e
K S
t K
S c
t r
dengan d
u d
e p
t r
. Algoritma untuk harga opsi call tipe Amerika adalah sebagai berikut:
Algoritma opsi call tipe Amerika menggunakan metode Binomial menggunakan sintaks Matlab:
1 Input: So, K, sigma, r, T, n
2 Hitung: delta_t, u, d, q, disc, dengan delta_t = Tn, u = expVol×sqrtdelta_t,
d = 1u, q = expr×delta_t-du-d dan disc=exp-r×delta_t 3
Binomial tree untuk saham S
1,1
=So; for i=2:n+1
S
i,i
= S
i-1
,
i-1
d; end;
for i=1:n+1 for j=i+1:n+1
S
i,j
= S
i
,
j-1
u; end;
end; 4
Imbalan opsi pada waktu jatuh tempo for i=1:n+1
V
i,n+1
= maxS
i,n+1
-K,0; end;
5 Nilai opsi pada waktu jatuh tempo menggunakan metode backward
for j=n:-1:1 for i=1:j
V
i,j
= maxdiscqV
i,j+1
+1-q V
i+1,j+1
,S
i,j
- K;
end; end;
6 V
1,1
adalah harga opsi call tipe Amerika yang tepat.
3.6
Opsi Amerika dengan Batas Opsi Indonesia
Agar menjadi harga opsi Indonesia dengan ciri-ciri eksekusi lebih awal digunakan metode binomial. Metode ini menggunakan recombining tree, jika
mempunyai N layers, dengan k harga saham pada layer k. Prosedur kalkulasi menggunakan backwards, mulai dari imbalan pada layer N. Pada metode kalkulasi
untuk opsi Indonesia, harus diperiksa pada setiap node i pada layer k jika proses saham di atas H. Karena melalui H berarti secara otomatis mengeksekusi call, kita
harus mengganti pada setiap tahap harga opsi yang dikalkulasi termasuk tingkat harga saham di atas H.
Algoritma untuk harga opsi call Indonesia adalah sebagai berikut:
Algoritma opsi
call Indonesia
menggunakan Metode
Binomial menggunakan sintaks Matlab:
1 Input: So, K, sigma, r, T, n, B_call
2 Hitung: delta_t, u, d, q, disc, dengan delta_t = Tn, u = expVol×sqrtdelta_t,
d = 1u, q = expr×delta_t-du-d dan disc=exp-r×delta_t 3
Memilih banyaknya langkah menggunakan metode Boyle dan Lau’s
,... 3
, 2
, 1
, log
2 2
2
m H
S T
m m
F
4 Binomial tree untuk saham
S
1,1
=So; for i=2:n+1
S
i,i
= S
i-1
,
i-1
d; end;
for i=1:n+1 for j=i+1:n+1
S
i,j
= S
i
,
j-1
u; end;
end; 5
Imbalan opsi pada waktu jatuh tempo for i=1:n+1
V
i,n+1
= maxS
i,n+1
-K,0; end;
6 Nilai opsi pada waktu jatuh tempo menggunakan metode backward
for j=n:-1:1 for i=1:j
if S
i,j
=B_call V
i,j
=S
i,j
-K; else
V
i,j
= maxdiscqV
i,j+1
+1- qV
i+1,j+1
,S
i,j
-K; end;
end; end;
7 V
1,1
adalah harga opsi call Indonesia yang sesuai.
IV HASIL EMPIRIS
4.1 Penilaian Numerik
