T
T r
K S
d
2
ln
2 1
dan T
T r
K S
d
2 ln
2 2
.
2.9 Rasio Lindung Nilai Hedge Ratio
Rasio lindung nilai adalah perbandingan dari pergerakan yang mungkin dari nilai opsi dan saham pada akhir periode. Rasio itu adalah
dS uS
c c
d u
2.21 Dengan c
u
dan c
d
adalah nilai opsi yang mengacu saat harga saham naik atau turun, sedangkan uS
dan dS merupakan harga saham dalam dua kondisi setelah
terjadi perubahan naik atau turun. Jika investor menerbitkan satu opsi dan memegang
lembar saham, maka nilai portofolio tidak akan dipengaruhi oleh harga saham akhir. Portofolio itu sering disebut portofolio bebas risiko riskless
portofolio.
2.10 Pengertian Model Binomial
Model binomial merupakan suatu bentuk cara penentuan harga opsi, yang mengasumsikan bahwa sebuah saham hanya dapat memiliki dua nilai yang
mungkin pada saat opsi kadaluwarsa. Saham tersebut mungkin meningkat up hingga harga tertinggi atau turun down hingga harga terendah Bodie 1997.
Meskipun tampaknya merupakan penyederhanaan yang berlebihan, tetapi cara ini memungkinkan untuk lebih dekat memahami model-model yang lebih rumit dan
realistik.
2.11 Model Binomial dengan Suku Bunga Diskret
Penghitungan nilai opsi call tipe Eropa menggunakan metode binomial dengan suku bunga diskret, dengan langkah-langkah sebagai berikut:
Definisikan proses harga saham, yaitu diberikan harga saham sekarang saat T – 1 maka harga saham pada saat T akan bergerak naik dengan faktor u atau akan
bergerak turun dengan faktor d dengan u
d
1
1 1
, d0 dan u0.
Jika c
T
menyatakan nilai opsi call pada waktu T, maka:
Pada waktu T – 1 dapat dibentuk portofolio leverage yang terdiri atas saham S dan obligasi sebesar B yang akan memberikan payoff yang sama seperti payoff opsi
call pada waktu T:
Dengan menyamakan payoff dari opsi call dan payoff dari portofolio leverage pada waktu T diperoleh:
1+u S
T-1
+1+rB = c
T,u
2.22 1+d
S
T-1
+1+rB = c
T,d
2.23 Setelah diselesaikan sistem persamaan linear pada 2.22 dan 2.23 di atas
diperoleh:
1 ,
,
T d
T u
T
S d
u c
c 2.24
1 1
1
, ,
r d
u c
d c
u B
u T
d T
2.25 S
T-1
S
T,u
= 1+uS
T-1
S
T,d
= 1+dS
T-1
c
T-1
c
T,u
= max{0, 1+uS
T-1
– K}
c
T,d
= max{0, 1+dS
T-1
– K}
S
T-1
+B 1+u
S
T-1
+1+rB
1+d S
T-1
+1+rB
dengan menyatakan rasio lindung nilai, artinya untuk membentuk portofolio
yang bebas risiko maka diperlukan perbandingan, yaitu sejumlah saham dan
satu opsi call. Langkah selanjutnya, jika pada waktu T, opsi call dan portofolio leverage
memberikan payoff yang sama, maka pada T-1 harus memiliki nilai yang sama pula. Maka substitusikan persamaan 2.24 dan 2.25 dalam persamaan berikut,
diperoleh B
S c
T T
1 1
1 1
1
, ,
1 1
, ,
r d
u c
d c
u S
S d
u c
c
u T
d T
T T
d T
u T
1
, ,
r d
u c
r u
c d
r
d T
u T
2.26
Dengan mensubstitusikan d
u d
r p
, dan
d u
r u
p
1
diperoleh
1 1
, ,
1
r c
p pc
c
d T
u T
T
. 2.27
Dengan cara yang sama dapat diturunkan nilai opsi call tipe Eropa dengan metode binomial 2 periode, 3 periode dan n periode, yaitu
2 ,
2 ,
, 2
2
1 1
1 2
r c
p c
p p
c p
c
dd T
ud T
uu T
T
2.28
3 ,
3 ,
2 ,
2 ,
3 3
1 1
1 3
1 3
r c
p c
p p
c p
p c
p c
ddd T
udd T
uud T
uuu T
T
2.29
n n
j T
j n
j n
T
r K
S p
p j
n c
1 1
2.30
2.12 Model Binomial dengan Suku Bunga Kontinu
