Persamaan Black-Scholes Metode Binomial untuk Menentukan Harga Opsi Call Indonesia dan Strategi Lindung Nilainya

2.6 Faktor-faktor yang Mempengaruhi Harga Opsi

2.6.1 Harga Aset yang Mendasari dan Harga Eksekusi Jika suatu opsi call dieksekusi pada suatu waktu di masa yang akan datang, pembayarannya sebesar selisih antara harga aset yang mendasari dan harga eksekusi. Suatu opsi call akan menjadi lebih bernilai jika harga aset yang mendasarinya meningkat dan akan menjadi kurang bernilai jika harga eksekusi meningkat. Sedangkan pada opsi put, pembayaran atas eksekusi opsi sebesar selisih antara harga eksekusi dan harga aset yang mendasarinya. 2.6.2 Tanggal Jatuh Tempo Pada tipe Amerika, opsi call maupun opsi put akan menjadi lebih berharga jika jatuh temponya semakin meningkat. Sedangkan pada opsi tipe Eropa, nilainya tidak terpengaruh dengan waktu jatuh tempo, hal ini berkenaan dengan waktu eksekusi hak. 2.6.3 Volatilitas Volatilitas aset yang mendasari adalah sebuah ukuran tingkat ketidakpastian mengenai pergerakan aset yang mendasari tersebut di masa yang akan datang. Jika volatilitas semakin meningkat maka akan semakin meningkat pula peluang aset yang mendasari untuk mengalami peningkatan atau penurunan. Pemilik dari suatu opsi call memperoleh manfaat dari kenaikan harga tetapi dibatasi oleh risiko penurunan harga. Begitu pula bagi pemegang opsi put yang memperoleh manfaat dari penurunan harga tetapi dibatasi oleh risiko kenaikan harga. 2.6.4 Dividen Dividen yang diharapkan selama opsi masih berlaku akan mempunyai pengaruh terhadap pengurangan harga aset yang mendasari pada tanggal pembagian dividen. Tanggal pembagian dividen dapat memberikan sentimen negatif bagi nilai opsi call, tetapi berdampak baik untuk meningkatkan nilai opsi put.

2.7 Persamaan Black-Scholes

Fischer Black dan Myron Scholes dalam merumuskan nilai suatu opsi mendasarkan pada beberapa asumsi, yaitu: 1 Harga aset yang mendasari mengikuti proses Wiener yang mempunyai fungsi kepekatan peluang lognormal. 2 Tidak ada biaya transaksi dan pajak. 3 Tidak ada pembayaran dividen selama opsi berlaku. 4 Tidak terdapat peluang arbitrage. 5 Perdagangan dari aset yang mendasari bersifat kontinu. 6 Short selling diijinkan. 7 Suku bunga bebas risiko adalah konstan dan sama untuk semua waktu jatuh tempo. Untuk memodelkan persamaan Black-Scholes, didefinisikan atau ditentukan beberapa istilah, yaitu: Definisi 2.1 Proses Stokastik Proses stokastik   T t t X X   , adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh sample space Ω ke suatu ruang state state space S. Definisi 2.2 Gerak Brown Proses stokastik   T t t X X   , disebut gerak Brown jika: 1 X0 = 0. 2 Untuk n t t t     ... 2 1 , peubah acak 1   i i t X t X , i = 1,2,..,n saling bebas. 3 Untuk setiap t 0, Xt berdistribusi normal dengan rataan 0 dan varian t 2  Ross 1996. Definisi 2.3 Gerak Brown Geometris Jika   ,  t t X adalah gerak brown, maka proses stokastik   ,  t t Z yang didefinisikan t X e t Z  disebut gerak Brown Geometris Ross 1996. Definisi 2.4 Proses Wiener Proses Wiener adalah gerak Brown dengan rataan 0 dan varian 1 Niwiga 2005. Definisi 2.5 Proses Wiener Umum Proses Wiener umum untuk suatu peubah acak X dapat dinyatakan sebagai berikut Hull 2003: t dW b dt a t dX   2.1 dt a disebut sebagai komponen deterministik dan t dW b menyatakan komponen stokastik, serta Wt adalah proses Wiener, sedangkan a dan b masing- masing menyatakan drift rate dan varian rate dari X. Definisi 2.6 Proses Ito’ Proses Ito’ adalah proses Wiener umum dengan a dan b menyatakan suatu fungsi dari peubah acak X dan waktu t. Proses Ito’ dapat dinyatakan sebagai berikut Hull 2003:     , , t dW t t X b dt t t X a t dX   2.2 Lema 2.1 Lema Ito’ Misalkan proses Xt memenuhi persamaan 2.2 dan fungsi , t t X f t Y  adalah kontinu serta turunan-turunan , t t X f t , , t t X f X , , t t X f XX kontinu, maka , t t X f t Y  memenuhi persamaan berikut Gihman, 1972:   2 , 2 1 , , t dX t t X f t dX t t X f dt t t X f t dY XX X t    2.3 dengan 2 2 , , dX f d f dX df f dt df f XX X t    dan   dt t dW t dtdW dt t dW dt     2 2 , Model Harga Saham Jika S harga saham pada waktu t, µ adalah parameter konstan yang menyatakan tingkat rata-rata pertumbuhan harga saham dan  volatilitas harga saham, maka model dari perubahan harga saham, yaitu Hull 2003: t dW t S dt t S t dS     . 2.4 Berdasarkan ketentuan-ketentuan di atas akan diturunkan persamaan Black Scholes. Misalkan Xt mengikuti proses Wiener umum, yaitu persamaan 2.1. Persamaan ini dapat dikembangkan menjadi persamaan 2.2. Selanjutnya akan ditentukan model dari proses harga saham S. Diasumsikan bahwa tidak terjadi pembayaran dividen pada saham. Misalkan St adalah harga saham pada waktu t. Mengingat proses Ito’, perubahan St akan memiliki nilai harapan drift rate µS. Parameter µ menyatakan tingkat rata-rata pertumbuhan harga saham dan µStdt disebut komponen deterministik. Karena harga saham juga dipengaruhi oleh faktor ketidakpastian maka komponen stokastiknya adalah t dW t S  , dengan  menyatakan volatilitas harga saham. Volatilitas harga saham mengindikasikan tingkat risiko dari harga saham. Dengan demikian model dari harga saham adalah berbentuk 2.4, yaitu: t dW t S dt t S t dS     . Dengan persamaan 2.4 ini, dapat diterapkan lema Ito’ untuk suatu fungsi , S t V , yaitu nilai opsi dengan harga saham S pada waktu t, sehingga diperoleh: 2 1 2 2 2 2 t dW S V S dt S V S t V S V S dV                      . 2.5 Untuk menghilangkan proses Wiener dipilih sebuah portofolio yang diinvestasikan pada saham dan derivatif. Strategi yang dipilih adalah membeli suatu opsi dan menjual S V   saham. Misalkan  adalah nilai portofolio yang didefinisikan oleh S S V V      . 2.6 Perubahan portofolio pada selang waktu dt didefinisikan sebagai dS S V dV d      . 2.7 Dengan menyubstitusikan persamaan 2.3 dan 2.5 ke dalam 2.7 diperoleh dt S V S t V d             2 2 2 2 2 1   . 2.8 penurunan dapat dilihat pada lampiran 1. Return dari investasi sebesar  pada saham tidak berisiko akan memiliki pertumbuhan sebesar r  dt dalam selang waktu dt. Agar tidak terdapat peluang arbitrage, nilai pertumbuhan ini harus sama dengan ruas kanan dari persamaan 2.8, yaitu: . 2 1 2 2 2 2 dt S V S t V dt r               2.9 Substitusi persamaan 2.6 ke dalam persamaan 2.9, diperoleh . 2 1 2 2 2 2 dt S V S t V dt S t V V r                       sehingga . 2 1 2 2 2 2           rV t V S V rS S V S  2.10 Persamaan 2.10 ini dikenal sebagai persamaan diferensial Black-Scholes-Merton Hull 2003.

2.8 Formulasi Harga Black-Scholes