2.12 Model Binomial dengan Suku Bunga Kontinu
Perhitungan nilai opsi call tipe Eropa menggunakan metode binomial dengan suku bunga kontinu, dengan langkah-langkah sebagai berikut:
Definisikan proses harga saham, yaitu diberikan harga sekarang saat T–1 maka harga saham pada saat T akan naik dengan faktor kenaikan u dan akan turun
dengan faktor penurunan d dengan d 1 u, demikian juga terhadap nilai opsinya yaitu dari f menjadi f
u
dan f
d
dengan S merupakan harga saham saat waktu T – 1, f
u
dan f
d
adalah harga opsi pada waktu T
yang didefinisikan sebagai ,
max K
u S
f
u
dan ,
max K
d S
f
d
dengan K merupakan harga eksekusi pada waktu T. Portofolio yang dibentuk adalah posisi long untuk sejumlah
saham dan posisi short untuk satu opsi call
Portofolio akan menjadi bebas risiko ketika S
u – f
u
= S
d – f
d
, sehingga diperoleh nilai
d S
u S
f f
d u
. 2.31
Nilai portofolio pada waktu T adalah S
u – f
u
, sehingga nilai portofolio pada saat ini merupakan present value dari
S u – f
u
yaitu S
u – f
u
e
-rT
, dengan r adalah suku bunga bebas risiko. Ekspresi lain dari portofolio pada saat ini adalah
S –f.
Sehingga dengan membandingkan di antara dua pernyataan di atas diperoleh S
– f = S
u – f
u
e
-rT
f = S
– S
u – f
u
e
-rT
2.32 S
S u
S d
f f
u
f
d
S - f
S u - f
u
S d - f
d
substitusikan nilai pada persamaan 2.32
rT u
d u
d u
e f
u S
d S
u S
f f
S d
S u
S f
f f
rT d
rT u
rT
e f
d u
d e
f d
u d
e f
1
rT d
u
e f
p pf
f
1
2.33
dengan d
u d
e p
rT
dan untuk pembahasan selanjutnya p disebut sebagai peluang
risiko netral. Dengan langkah-langkah yang dilakukan seperti di atas, untuk metode
binomial dengan dua periode, diperoleh
t r
ud uu
u
e f
p pf
f
1
2.34
t r
dd du
d
e f
p pf
f
1
2.35
rT d
u
e f
p pf
f
1
2.36
dengan d
u d
e p
rT
.
Substitusikan persamaan 2.34 dan 2.35 ke dalam persamaan 2.36 diperoleh harga opsi call dengan model binomial dua periode adalah
f = [p
2
f
uu
+ p1 – pf
ud
+ 1 – p
2
f
dd
]e
-2r t
. 2.37
Untuk penentuan harga opsi call dengan metode binomial tiga periode dirumuskan
f = [p
3
f
uuu
+ 3p
2
1 – pf
uud
+3p1 – p
2
f
udd
+ 1 – p
3
f
ddd
]e
-3r t
. 2.38
Sehingga untuk n periode pada metode binomial dengan waktu kontinu diperoleh
t nr
n j
n j
n j
e K
S p
p j
n f
1 2.39
dengan t = Tn.
III PENENTUAN NILAI OPSI INDONESIA
3.1
Spesifikasi Opsi Indonesia
Opsi saham Indonesia mulai diperjualbelikan pada Bursa Saham Indonesia pada tanggal 9 September 1994. Opsi saham Indonesia dapat dipertimbangkan
sebagai opsi berbatas tipe Amerika di mana akan dieksekusi secara otomatis jika harga menyentuh atau melalui batas sebelum jatuh tempo maturity. Imbalan
payoff berdasarkan weigthed moving Average WMA harga saham yang diperjualbelikan underlying stock. Batas tetap pada tingkat harga eksekusi
strike ditambah atau dikurang 10 persen. Contoh kontrak: Kontrak ini membolehkan pemegang saham untuk
membeli 1 saham ABC dengan harga Rp. 100.000 sebelum atau pada saat 28 Agustus 2009. Kontrak opsi dapat dieksekusi kapan saja selama periode opsi
saham, sampai waktu jatuh tempo T atau sampai harga WMA menyentuh atau melalui batas B = 0.9 untuk put, B = 1.1 untuk call.
Gunardi, et. al 2006 telah mengkaji penentuan harga opsi Indonesia pada ekonomi Black-Scholes. Mereka menghasilkan aproksimasi secara analitik untuk
harga opsi. Akan tetapi mereka tidak mengkonstruksi strategi hedging menggunakan opsi. Dalam karya ilmiah ini, pertama mempertimbangkan opsi
Indonesia dengan tipe Eropa menggunakan simulasi Monte Carlo serta model binomial. Pada tingkatan selanjutnya, diperbolehkan eksekusi lebih awal pada
model sebelumnya dan menyelesaikannya dengan model binomial. Pada saat menentukan harga opsi berbatas barrier option menggunakan model binomial,
Boyle dan Lau 1994 memprediksi bahwa konvergensi metode sangat lambat, dan menemukan bahwa hasilnya cenderung mempunyai bias tetap. Untuk
menyelesaikan masalah ini, mereka mengemukakan suatu metode untuk mendapatkan langkah waktu yang tepat untuk mengurangi bias.
3.2 Model
Kategori