3.2.1 Analisis Komponen Utama
Analisis Komponen Utama AKU digunakan untuk mengetahui apakah penelitian ini layak untuk analisis lebih lanjut dalam hal ini Analisis Faktor, di
lihat dari nilai Kaiser Meyer Olkin KMO dan uji Bartlett. Analisis Komponen Utama AKU atau Principal Component Analysis
PCA adalah suatu teknik menyusutkan reduksi data dimana tujuan utamanya untuk mengurangi banyaknya dimensi peubah yang saling berkorelasi menjadi
peubah-peubah baru {disebut Komponen Utama KU} yang tidak berkorelasi dengan mempertahankan sebanyak mungkin keragaman dalam himpunan data
tersebut. Artinya dengan dimensi yang lebih kecil diharapkan lebih mudah melakukan penafsiran atau interpretasi tanpa kehilangan banyak informasi tentang
data. Banyaknya KU peubah baru yang terbentuk diharapkan seminimal mungkin, akan tetapi mampu menerangkan keragaman total yang maksimal.
Secara aljabar linier, komponen utama merupakan kombinasi-kombinasi linier dan p peubah acak X
1,
X
2,
X
3,
X
4,
…., X
p
. Secara geometris kombinasi linier ini merupakan sistem koordinat baru yang didapat dari rotasi sistem semula
dengan X
1
, X
2
, X
3,
.…., X
p
sebagai sumbu koordinat. Sumbu baru tersebut merupakan arah dengan variabilitas maksimum dan memberikan kovariasi yang
lebih sederhana. Sebagai catatan, dalam Analisis Komponen Utama, asumsi populasi mengikuti distribusi Normal Multivariate tidak diperlukan.
Komponen utama yang dibentuk merupakan kombinasi linear dari peubah- peubah asli, dimana koefisiennya adalah vektor ciri eigen vector. Vektor ciri
dihasilkan dari akar ciri eigen value matriks kovarian atau matriks korelasi.
Penggunaan matriks kovarian atau matriks korelasi tergantung dari kesamaan satuan peubah-peubah yang dianalisis. Apabila satuannya sama digunakan matriks
kovarian, sedang bila tidak sama digunakan matriks korelasi. Bila komponen utama diturunkan dari populasi normal multivariate
dengan random vektor
2 1
,..., ,
P
X X
X
X
dan vektor mean
2 1
,..., ,
p
μ
dan matriks
kovarians
Σ dengan akar ciri eigen value yaitu
...
2 1
p
didapat kombinasi linier komponen utama adalah:
p p
X e
X e
X e
1 2
21 1
11
...
X
e Y
1
1
p p
X e
X e
X e
2 2
22 1
12
...
X
e Y
2
2
….
p pp
p p
X e
X e
X e
...
2 2
1 1
X e
Y
p
p
1 Maka: Varian
i i
i
e e
Y
2
Kovarian
k i
k i
e e
Y ,
Y
3
i , k = 1, 2, …, p Syarat untuk membentuk komponen utama yang merupakan kombinasi
linear dari peubah X agar mempunyai varian maksimum adalah dengan memilih vektor ciri eigen vector yaitu
2 1
,..., ,
p
e e
e e
sedemikian hingga varian
k i
i
e e
Y
maksimum dan
1
i i
e e
Komponen utama pertama adalah kombinasi linear
X e
1
yang memaksimumkan var
X e
1
dengan syarat 1
1 1
e e
Komponen utama kedua adalah kombinasi linier
X e
2
yang memaksimumkan var
2
X e
dengan syarat 1
2 2
e e
Komponen utama ke-i adalah kombinasi linier
X e
i
yang memaksimumkan var
X e
i
dengan syarat 1
i i
e e
dan kov
X
e X,
e
k i
untuk k i. Antar komponen utama tersebut tidak berkorelasi dan mempunyai variasi
yang sama dengan akar ciri dari Σ. Akar ciri dari matriks ragam peragam Σ
merupakan varian dari komponen utama Y, sehingga matriks ragam peragam dari Y adalah:
p
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
.
2 1
Σ
Total keragaman peubah asal akan sama dengan total keragaman yang diterangkan oleh komponen utama yaitu:
p j
i p
p j
Y tr
1 2
1 1
var ...
var
Σ X
i
4 Penyusutan dimensi dari peubah asal dilakukan dengan mengambil
sejumlah kecil komponen yang mampu menerangkan bagian terbesar keragaman data. Apabila komponen utama yang diambil sebanyak q komponen, di mana
q p, maka proporsi dari keragaman total yang bisa diterangkan oleh komponen utama ke-i adalah:
atau 5
q j
p p
j q
j q
,..., 3
, 2
, 1
, 100
100 ...
1 2
1
Penurunan komponen utama dari matriks korelasi dilakukan apabila data sudah terlebih dahulu ditransformasikan kedalam bentuk baku Z. Transformasi ini
dilakukan terhadap data yang satuan pengamatannya tidak sama. Bila peubah yang diamati ukurannya pada skala dengan perbedaan yang sangat lebar atau
satuan ukurannya tidak sama, maka peubah tersebut perlu dibakukan standardized.
Peubah baku Z didapat dari transformasi terhadap peubah asal dalam matriks berikut:
μ X
V Z
1 12
6
V
12
adalah matriks simpangan baku dengan unsur diagonal utama adalah
2 1
ii
sedangkan unsur lainnya adalah nol. Nilai harapan E Z = 0 dan keragamannya
adalah
ρ V
V Z
1 12
1 12
Cov 7
Dengan demikian komponen utama dari Z dapat ditentukan dari vektor ciri
yang didapat melalui matriks korelasi peubah asal
ρ. Untuk mencari akar ciri dan
menentukan vektor pembobotnya sama seperti pada matriks
Σ. Sementara teras
matriks korelasi
ρ akan sama dengan jumlah p peubah yang dipakai.
Penetapan banyaknya KU untuk dapat ditafsirkan dengan baik dapat dilihat dari:
1. Proporsi keragaman kumulatif dari KU Menurut Morrison 1990, banyaknya KU yang dipilih sudah cukup
memadai apabila KU tersebut mempunyai persentase keragaman kumulatif tidak kurang dari 75 dari total keragaman data. Sedangkan Johnson dan Wichern
2002 mengisyaratkan bahwa KU dengan kondisi persentase keragaman
kumulatif sebesar 80-90, dapat menggambarkan data asalnya. Keragaman total KU:
p i 1
Var Y
i
=
1
+
2
+…+
p
=
p i 1
i
8
2. Nilai dari akar ciri Pemilihan komponen utama yang digunakan, didasarkan pada nilai akar
cirinya. Menurut Kaiser dalam Ekaria, 2004, pemilihan KU berdasarkan pendekatan akar ciri yang nilainya
1. AKU seringkali disajikan dalam tahap pertengahan dalam penelitian yang
lebih besar. KU bisa merupakan masukan pada Analisis Faktor atau Analisis Cluster.
KU terpilih selanjutnya digunakan sebagai pembentuk peubah dalam Analisis Faktor. Langkah selanjutnya adalah melakukan pengujian terhadap
matriks korelasi dari data yang menjadi objek pengamatan. Matriks korelasi digunakan untuk melihat keeratan hubungan antara peubah yang satu dengan
peubah yang lain. Ada dua macam pengujian yang dapat dilakukan terhadap matriks korelasi, yaitu:
o Uji Bartlett
Pengujian ini dilakukan untuk melihat apakah matrik korelasinya bukan merupakan suatu matrik identitas, jika matrik korelasinya merupakan matrik
identitas, maka tidak ada korelasi antarpeubah yang digunakan. Uji ini dipakai bila sebagian besar dari koefisien korelasi kurang dari 0,5. Langkah-langkahnya
adalah:
1. Hipotesis H
o
: Matriks korelasi merupakan matriks identitas H
1
: Matriks korelasi bukan merupakan matriks identitas 2. Statistik uji
R ln
6 5
2 1
2
p
N
9
N = Jumlah observasi p = Jumlah peubah
R = Determinan dari matriks korelasi
3. Keputusan Uji Bartlett akan menolak H
jika nilai
2 2
1 2 obs
p p
,
10 o
Uji Kaiser Meyer Olkin KMO Uji KMO digunakan untuk mengetahui apakah metode penarikan sampel
yang digunakan memenuhi syarat atau tidak. Disamping itu, uji KMO dalam Analisis Faktor berguna untuk mengetahui apakah data yang digunakan dapat
dianalisis lebih lanjut atau tidak dengan Analisis Faktor. Rumusan uji KMO adalah
i i
j i
ij j
i ij
i j
i ij
a r
r KMO
2 2
2
; i = 1,2,…,p ; j = 1,2,…,p 11
di mana: r
ij
= Koefisisen korelasi sederhana antara peubah i dan j a
ij
= Koefisien korelasi parsial antara peubah i dan j Adapun penilaian uji KMO dari matrik antarpeubah adalah sebagai berikut:
0,90KMO1,00 ; data sangat baik untuk analisis faktor.
0,80KMO0,90 ; data baik untuk analisis faktor. 0,70KMO0,80 ; data agak baik untuk analisis faktor.
0,60KMO0,70 ; data lebih dari cukup untuk analisis faktor. 0,50KMO0,60 ; data cukup untuk analisis faktor.
KMO0,50 ; data tidak layak untuk uji lebih lanjut dengan analisis fak- tor.
3.2.2 Analisis Faktor
Kategori