Meson B Feynman Rules

7 Kuark dapat memiliki komposisi uuu atau ddd, ambil contoh dari partikel . Kalau kita tinjau prinsip larangan Pauli, maka ia akan melanggar, karena pertukaran kuark- nya selalu simetrik. Jadi diperlukan konsep baru di sini agar eksklusi Pauli tetap berlaku pada partikel , yaitu konsep warna, dimana warna-warna tersebut adalah red, green, blue RGB. Penjelasan lengkap tentang penggabungan kuark dan konsep warna ini diberikan oleh oleh teori kromodinamika kuantum QCD. Konsep warna dalam teori ini tidaklah sama dengan istilah warna dalam kehidupan sehari-hari. Kuark berinteraksi melalui gaya kuat, gaya elektromagnetik dan gaya lemah. Interaksi lemah berperan ketika kuark ini meluruh, dan peluruhan kuark hanya terjadi jika kuark tersebut lebih berat dari hasil peluruhannya. Kuark-kuark yang dapat meluruh adalah, diurutkan dari yang paling berat, t, b, c, dan s. Keempat kuark ini bisa meluruh menjadi u dan d. Tapi, kuark berat seperti t dan b kemungkinan meluruh dahulu ke c atau s baru ke u dan d seperti yang diketahui dari matriks CKM.

2.2 Meson B

Meson B adalah partikel berat yang merupakan gabungan dari kuark b dan kuark u atau d. Meson B ini sangat menarik untuk dibahas, terutama peluruhannya. Alasannya adalah sebagai berikut: a Komposisi dalam meson B dengan kuark b yang jauh lebih berat mengakibatkan meson B cenderung mudah sekali meluruh. b Adanya kebebasan asimptotik pada QCD dan besarnya massa momentum yang dilepaskan oleh kuark ini, maka interaksi electroweak dan kuat sangat berkorelasi. Peran yang dimainkan oleh perhitungan perturbatif dapat diperbaiki lebih jauh dengan metode grup renormalisasi. c Simetri baru yang disebut heavy flavor symmetry HFS muncul dalam Lagrangian efektif yang diturunkan dari QCD dengan limit M → ∞ M adalah kuark berat. Simetri ini membolehkan penentuan faktor bentuk yang terlibat dalam mode peluruhan eksklusif. Beberapa dari prediksi ini memainkan peranan penting dalam penentuan elemen matriks CKM. Ekspansi 1M memberikan kerangka teoritik yang solid untuk model spektator dimana hanya kuark berat saja yang mengalami Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009. USU Repository © 2009 8 peluruhan, sementara konstituen lainnya adalah pengamat spektator Barger, 1987. Maka ketika meson B meluruh, interaksi kuat menjadi relatif lebih kecil dibanding interaksi lemah. Konsekuensi yang muncul dari alasan diatas adalah pada SM dimana perhitungan QCD yang menjelaskan interaksi kuat dapat diabaikan. Dengan demikian teori SM yang kita gunakan untuk menjelaskan peluruhan meson B ini adalah standard model elektro-lemah elektroweak standard model.

2.3 Electroweak Standard Model

Pada bagian ini penulis akan menguraikan secara singkat interaksi elektroweak dalam SM. Teori ini diperkenalkan oleh S.L. Glashow, S. Weinberg, dan A. Salam sehingga sering juga disebut sebagai teori GWS yang merupakan unifikasi dari interaksi lemah dan elektromagnetik. Kedua interaksi tersebut sebelumnya dirumuskan secara terpisah. Perumusan elektromagnetik diberikan oleh model QED Quantum Electro Dynamic, dan interaksi lemah dirumuskan oleh model V-A Vector – Axial Vector dan model IVB Intermediate Vector Boson Barger, 1987. Grup simetri yang sesuai untuk interaksi elektro-lemah adalah grup 2 1 L Y SU U × . Secara garis besar SM dikembangkan dari teori medan kuantum yang merupakan penggabungan dari teori relativitas khusus dan mekanika kuantum.

2.3.1 Lagrangian untuk Sektor Kuark

Pada pembahasan mengenai partikel elementer, keadaan mengenai sistem partikel tersebut direpresentasikan dalam medan field. Dari eksperimen peluruhan inti beta didapat bahwa state untuk kuark left-handed adalah doublet sedangkan kuark right- handed adalah singlet. i L L i L u Q d     ≡       dan , , i i R R R Q u d ≡ 2.1 dimana i u berarti up, charm, top, i d berarti down, strange, dan bottom. Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009. USU Repository © 2009 9 Keseluruhan interaksi pada sistem fermion kuark di atas tercakup pada lagrangiannya. Dari persamaan Dirac Martin, 2008, lagrangian dapat ditulis sebagai . i m ψγ ψ ψψ = ∂ − 2.2 Suku pertama pada ruas kanan disebut suku kinetik. Suku inilah yang bertanggung jawab terhadap keberadaan partikel atau medan tersebut. Sedangkan suku kedua merupakan suku massa, yang ditandai oleh interaksi partikel dengan antipartikelnya. Karena hukum fisika mengenai partikel tersebut ada dalam lagrangiannya, maka jika mengacu ke postulat Einstein, seluruh hukum fisika harus invarian terhadap setiap transformasi. Artinya, jika dilakukan transformasi gauge lokal, secara umum berbentuk , i x U e α = pada medan, maka lagrangian tidak berubah, yang dinyatakan oleh 0. δ = 2.3 Berdasarkan syarat di atas, maka penambahan suku apapun pada lagrangian dapat dibenarkan sepanjang tidak mengubah lagrangian. Model GWS menggunakan simetri gauge lokal 2 1 , L Y SU U × dengan operator transformasi yang berbentuk 2 , a Y ig x igT U e e θ ′ = 2.4 dengan g dan g ′ merupakan konstanta kopling, 1 , 2 a a T σ = adalah operator isospin 2 2, × dan 1, 2,3. a = Jika ini dilakukan pada medan, maka agar persamaan 2.3 berlaku maka perlu dikonstruksi suatu covariant derivative, , D yang berbentuk , 2 a a i D igT W g YB ′ = ∂ − − 2.5 dimana Y merupakan parameter bebas yang disebut hypercharge. Operator isospin dan hypercharge memenuhi hubungan Gell-Mann-Nishijima Quigg, 1983 dimana 3 . 2 Y Q T = + 2.6 Disini diperkenalkan juga medan vektor baru a W dan . B Sebagai konsekuensi diperkenalkannnya medan gauge baru, maka perlu dibentuk suku kinetik dari medan gauge sebagai berikut 1 1 4 4 i G i F F B B ν ν ν ν = − − 2.7 Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009. USU Repository © 2009 10 dimana i F ν adalah kuat medan 2 , SU i i i ijk j k u F W W g W W ν ν ν ν = ∂ −∂ − ǫ 2.8 dan B ν adalah kuat medan 1 , U B B B ν ν ν = ∂ −∂ 2.9 Jika persamaan 2.5 digunakan pada suku kinetik persamaan 2.2, maka diperoleh sektor fermion dari lagrangian sebagai berikut 3 1 2 1 2 3 . 2 F gW g YB g W iW i i g W iW gW g YB ψγ ψ     ′ + −       = ∂ −         ′  + − +        2.10

2.3.2 Mekanisme Higgs

Prinsip invarian yang dibangun pada subbab sebelumnya, menyatakan bahwa lagrangian harus invarian terhadap simetri yang dibawa. Konsekuensinya adalah tidak terdapat suku massa boson gauge yang berbentuk W M W W dan W M B B karena tidak invarian terhadap simetri 2 1 , L Y SU U × yang berarti boson gauge itu tidak bermassa. Medan boson gauge ini biasa disebut sebagai Yang-Mills field. Untuk kasus teori elektroweak, telah diketahui dari hasil peluruhan beta, bahwa boson gauge yang terlibat sangat masif. Ini bertentangan dengan teorema Yang-Mills bahwa boson gauge harus massless. Untuk mengakomodasi boson gauge masif ini, maka simetri 2 1 L Y SU U × harus dirusak. Namun, penambahan suku W M W W tetap tidak diperbolehkan karena mengakibatkan teori electroweak ini tidak bisa direnormalisasi. Renormalisasi adalah syarat bagi teori dalam fisika partikel agar besaran fisis yang dihitung berdasarkan teori tersebut, dalam hal ini matriks transisi yang akan memberikan decay rate, tidak bernilai divergen. Salah satu cara perusakan simetri ini adalah melalui mekanisme Higgs Kane, 1987, yang dilakukan dengan memperkenalkan boson Φ yang berbentuk doublet sebagai berikut Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009. USU Repository © 2009 11 . φ φ +     Φ =       2.11 Boson ini memiliki hypercharge, 1. Y = Akibat adanya boson Higgs, maka muncul suku kinetik Higgs pada lagrangian yang berbentuk HG D D V ∗ = Φ Φ− Φ 2.12 dengan D dinyatakan dalam persamaan 2.5. Sedangkan V dinyatakan dalam 2 2 † † V λ Φ = − Φ Φ + Φ Φ 2.13 yang jelas invarian terhadap transformasi gauge. Disini adalah parameter massa dan λ adalah kontanta kopling diri. Untuk 2 dan λ bernilai positif, kurva V terlihat seperti pada gambar 2.1, yang memiliki vacuum expectation value VEV pada keadaan dasar yang besarnya , 2 υ     Φ =       2.14 dimana 2 . υ λ ≡ 2.15 Sehingga medan Higgs kini dapat ditulis menjadi . φ υ φ +     Φ =      +   2.16 Gambar 2.1 Potensial interaksi Higgs Karena VEV dipilih untuk nilai yang tidak sama dengan nol, maka terlihat dari gambar 2.1 bahwa lagrangian tidak simetris pada keadaan dasar, yang berarti simetri telah dirusak. Namun, karena perhitungan tetap dilakukan pada daerah di sekitar Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009. USU Repository © 2009 12 ground state Φ yang tidak sama dengan nol tersebut, maka hasil ini didapat tetap konvergen. Massa boson gauge dapat ditentukan dari persamaan 2.12 dengan mengganti Φ pada persamaan tersebut dengan persamaan 2.16. Suku yang relevan memberikan 2 2 2 2 1 2 2 3 1 8 massa gauge g W g W gW g B υ   ′ = + + − +     2 2 3 2 3 2 2 8 g gg W g W W W B gg g B υ υ + −    ′   −         = +                 ′ ′ −    2.17 karena 1 2 1 , 2 W W iW ± ≡ ∓ yang akan memberikan massa W sebesar 1 . 2 g υ Bagian yang tidak diagonal harus didiagonalisasi untuk memberikan boson gauge yang fisis. Proses ini menyebabkan medan gauge 3 W dan B teredefenisi menjadi 3 3 cos sin sin cos Z W B A W B ω ω ω ω θ θ θ θ ≡ − ≡ + 2.18 dengan tan . g g ω θ ′ = Salah satu nilai eigen matriks massa 2 2 × pada persamaan 2.17 memiliki harga nol. Ini terkait dengan medan baru . A Dengan demikian, interaksi electroweak diperantarai oleh tiga boson gauge masif dan satu boson gauge massless. Sebagai akibatnya, turunan kovarian pada persamaan 2.5 dinyatakan dalam 2 3 2 2 2 1 2 2 g Y D i W T W T i Z g T g g g + + − −    ′ = ∂ − + − −      ′ + 3 2 2 , 2 gg Y i A T g g   ′   − +      ′ + 2.19 dimana 1 2 . T T iT ± = ± Suku terakhir pada persamaan diatas memperlihatkan bahwa boson gauge massless A terikat dengan generator gauge 3 2 . Y T + Sesuai dengan persamaan 2.6, maka suku ini berarti interaksi elektromagnetik. Jadi, dapat didefenisikan 2 2 , gg e g g ′ ≡ ′ + 2.20 Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009. USU Repository © 2009 13 dimana e adalah muatan elektron. Jelas terlihat bahwa boson gauge massless tersebut adalah foton. Proses perusakan simetri diatas telah berhasil mendapatkan massa boson gauge, yang memerantarai interaksi electroweak ini. Dengan demikian, lagrangian untuk sektor kuark jika ditulis dalam ketiga boson gauge baru tersebut menjadi i i i i F L L R R R R Q i Q u i u d i d = ∂ + ∂ + ∂ , W W Z EM g W J W J Z J eA J + + − − + + + + 2.21 dimana 1 , 2 i i W L L J u d γ + = 1 , 2 i i W L L J d u γ − = 2 2 1 1 2 2 sin sin cos 2 3 3 i i i i Z L L R R J u u u u ω ω ω γ θ γ θ θ           = − + −               2 2 1 1 1 sin sin , 2 3 3 i i i i L L R R d d d d ω ω γ θ γ θ           + − + +               2 1 . 3 3 i i i i EM J u u d d γ γ         = + −             2.22

2.3.3 Massa Kuark

Prinsip mekanisme Higgs di atas tidak hanya bisa mendapatkan massa untuk boson, namun juga dikembangkan untuk menentukan massa fermion. Untuk itulah, maka suku massa harus diperkenalkan pada lagrangian, yang berbentuk interaksi antara partikel dan antipartikelnya, . massa m ψψ = 2.23 Disini, m merupakan besaran kopling interaksi yang diinterpretasikan sebagai massa. Jika ditulis dalam komponen left-handed dan right-handed, . massa L R R L m ψ ψ ψ ψ = + 2.24 Mengingat persamaan 2.1, komponen left-handed harus berbentuk doublet dan komponen right-handed berbentuk singlet, maka persamaan 2.24 diatas tidak Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009. USU Repository © 2009 14 bisa dikalikan. Untuk itulah, mekanisme Higgs kembali digunakan, yaitu dengan menyelipkan medan Higgs Φ di antara fermion. Sehingga suku massa sekarang mengandung medan boson Higgs dan fermion, yang dituliskan sebagai ij i j ij i j HF u L R u L R f Q u f Q u = − Φ − Φ ij i j i j i j u L R L R L R f u u d u u u φ φ υ − = − + + ij i j i j i j d L R L R L R f u d d d d d φ φ υ + − + + 2.25 dimana 2 i τ ∗ Φ = Φ 2.26 Disini terdapat besaran kopling baru, yaitu u f dan d f yang menandakan adanya interaksi kuark dengan boson Higgs, yaitu interaksi tiga field yang biasa disebut interaksi Yukawa. Interaksi ini berjalan dengan perantaraan boson , φ , φ − dan . φ + Sedangkan interaksi partikel dan antipartikel pada persamaan 2.25 memberikan suku massa, i ij j i ij j massa L u R L d R u f u d f d υ υ = − − 2.27 Namun, karena konstanta kopling u f dan d f secara umum tidak diagonal, maka secara fisis massa kuark belum didapat. Agar didapat massa fisis dari kuark, maka harus dilakukan diagonalisasi. † † k ki ij jl j k ki ij jl j massa L u R L d R u U f U u d V f V d υ υ ′ ′ ′ ′ = − − , k kl kl l k kl kl l L u R L d R u m u d m d δ δ = − − 2.28 dimana † , kl ki ij jl u u m U f U υ = dan † . kl ki ij jl d d m V f V υ = 2.29 Disini, field untuk kuark telah teredefenisi menjadi , i ij j u U u′ = dan , i ij j d V d ′ = 2.30 Dengan state yang mengandung tanda prima merupakan eigenstate massa.

2.3.4 Mixing pada Kuark

Akibat meredefinisi medan pada suku massa, maka secara umum, eigenstate pada lagrangian yang gauge invariant biasa disebut weak eigenstate juga harus Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009. USU Repository © 2009 15 diredefenisi. Dari lagrangian suku kinetik pada persamaan 2.21, proses redefenisi saling menghilangkan pada interaksi yang melibatkan pertukaran boson Z dan foton. Sedangkan untuk interaksi yang melibatkan pertukaran boson W menjadi † 1 1 2 2 i i i ik kj j W L L L L J u d u U V d γ γ + ′ ′ = = 1 . 2 i ij j L CKM L u V d γ ′ ′ = † 1 1 2 2 i i i ik kj j W L L L L J d u d V U u γ γ − ′ ′ = = 1 . 2 i ij j L CKM L d V u γ ′ ′ = 2.31 dimana, CKM V disebut matriks Cabibbo-Kobayashi-Maskawa atau matriks CKM Pich, 2005, yang nilainya diperoleh dari data eksperimen. ud us ub CKM cd cs cb td ts tb V V V V V V V V V                 V = 0,9738 0, 9750 0, 218 0, 224 0, 001 0, 007 0, 218 0, 224 0, 9734 0,9752 0, 030 0, 058 0, 003 0, 019 0, 029 0, 058 0,9983 0, 9996   − − −        ≈ − − −        − − −   2.32 Matriks diatas menunjukkan bahwa pada sektor kuark terjadi pencampuran mixing. Artinya, keadaan kuark merupakan kombinasi linier dari kuark lainnya. Ini berarti terdapat probabilitas untuk bertransisi dari satu generasi kuark ke generasi lainnya.

2.4 Feynman Rules

Pada subbab sebelumnya telah dibahas tentang penurunan lagrangian sistem yang dikonsentrasikan pada sektor kuark, kemudian dilanjutkan dengan penjabaran kuark mixing. Dari lagrangian ini dapat dijabarkan bagaimana interaksi antara fermion dengan fermion, fermion dengan boson, fermion dengan partikel Higgs dan seterusnya. Demikian juga dengan matriks CKM, dari sini dapat diketahui transisi yang bisa terjadi antara kuark satu dengan kuark lainnya. Sekarang setelah didapatkan lagrangian yang lengkap maka dapat dibuat daftar Feynman rule yang diperlukan Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009. USU Repository © 2009 16 dalam perhitungan amplitudo peluruhan. Tetapi tidak semua Feynman rule dituliskan disini, hal ini hanya untuk memfokuskan penulisan dan pembahasan hanya pada proses peluruhan yang sedang ditinjau. Berikut daftar Feynman rule-nya Barger, 1987, a. Garis eksternal Keadaan awal fermion: ∼ , u p s Keadaan akhir fermion: ∼ , u k s Keadaan awal antifermion: ∼ , p s υ Keadaan akhir antifermion: ∼ , k s υ b. Propagator Boson W Boson W memediasi interaksi lemah dengan nilai propagator: ∼ 2 2 . W W W ig p M i M ν − − + Γ Dimana p adalah jumlah momentum partikel keadaan awal, sedangkan W Γ dan W M merupakan laju peluruhan dan massa dari boson W. c. Verteks interaksi ∼ 5 1 . 2 2 ab ig V γ γ − − ∼ 5 1 . 2 2 dc ig V ν γ γ ∗ − − Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009. USU Repository © 2009 17

2.5 Peluruhan Tiga Benda