23
3.2 Perhitungan Amplitudo
Setelah kita menyederhanakan diagram peluruhan dengan interaksi kuark yang tersisa, langkah selanjutnya adalah membuat diagram Feynman sesuai dengan teori model
standar. Disinilah perhitungan dengan model standar diperlukan untuk memberikan penjelasan tentang bagaimana interaksi terjadi. Perhitungan yang dilakukan hanya
pada tree level model standar karena keterbatasan waktu dan juga pengalaman, tetapi hal ini bukanlah penghalang kalau ada peminat lain yang ingin melanjutkan penelitian
ke orde yang lebih tinggi. Adapun diagram Feynman tree level dari proses yang kita bahas adalah ditunjukkan pada gambar 3.4.
Gambar 3.4. Diagram Feynman peluruhan
u
b d
q u → +
Dimana kita defenisikan momentum dan spin dari tiap tiap partikel keadaan awal dan akhir dalam bentuk spinor sebagai berikut,
Partikel Momentum
Spin Spinor
b p
s ,
p s υ
3.1 u
1
k
1
s
1 1
, k s
υ 3.2
u
q
2
k
2
s
2 2
, u k s
3.3 d
3
k
3
s
3 3
, k s
υ 3.4
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009. USU Repository © 2009
24 Setelah menggambarkan diagram Feynman-nya, kita lalu mencari amplitudo
untuk proses ini. Untuk menurunkan amplitudo digunakan Feynman rules yang terdapat pada subbab 2.4. Kita mulai dari bentuk i
− ,
1 1
2 2
, ,
2
L bu
W W
W
ig ig
i p s
P V k s
p M
i M
ν
υ γ
υ
−
−
−
=
−
+ Γ
2 2
3 3
, ,
2
u
L q d
ig u k s
P V k s
ν
γ υ
∗
−
3.5 dimana,
5
1 1
2
L
P γ
= −
. Kita dapat menulis hasil diatas menjadi lebih sederhana dengan penyingkatan pada
notasi spinor Dirac ,
p s υ
υ = ,
1 1
1
, k s
υ υ
= dan yang lainnya. Sehingga diperoleh,
2 1
2 3
2 2
2
u
bu q d
L L
W W
W
V V g
P u
P p
M i
M υγ
υ γ
υ
∗
= −
+ Γ
3.6
Karena persamaan laju peluruhan dinyatakan dalam kuadrat kompleks dari , maka
kita cari
2
, dimana
2 ∗
= . Bentuk konjugate kompleks
∗
adalah,
2 1
2 3
2 2
2
u
bu q d
L L
W W
W
V V g
P u
P p
M i
M
ν ν
υγ υ
γ υ
∗ ∗
∗ ∗
= −
− Γ
3.7 Sehingga kita dapatkan,
2 2
4 2
1 2
3 1
2 3
2 2
2 2
2
4
u
bu q d
L L
L L
W W
W
V V
g P
u P
P u
P p
M M
ν ν
υγ υ
γ υ
υγ υ
γ υ
∗ ∗
= −
+ Γ
3.8
Untuk mengevaluasi bentuk konjugate kompleks dapat dilakukan dengan mengubah spinor dan matriks Dirac ke bentuk konjugate hermit, kemudian mengubahnya
kembali ke bentuk semula. Untuk suku konjugate kompleks yang kedua,
† †
† †
2 3
2 3
3 2
L L
L
u P
u P
P u
ν ν
ν
γ υ
γ γ υ
υ γ γ
∗ ∗
= =
† †
3 2
3 2
L R
P u
P u
ν ν
υ γ γ
υ γ γ
= =
3 2
R
P u
ν
υ γ
= 3.9
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009. USU Repository © 2009
25 Di sini kita gunakan hubungan dalam mekanika kuantum seperti pada lampiran
dimana
† L
L
P P
= , dan
† ν
ν
γ γ γ γ
= , dan
L R
P P
γ γ
= , dan
† 3
3
υ γ υ
= . Maka dengan cara yang sama, dapat diperoleh suku konjugate kompleks yang pertama,
1 1
L R
P P
ν ν
υγ υ
υ γ υ
∗
=
3.10 Sehingga persamaan 3.8 dapat kita tuliskan menjadi,
2 4
2 1
1 2
3 3
2 2
2 2
2 2
4
u
bu q d
L R
L R
W W
W
V V g
P P
u P
P u
p M
M
ν ν
υγ υ
υ γ υ
γ υ
υ γ
= −
+ Γ
3.11
Karena matriks proyeksi spin hanya diijinkan dihitung pada spin yang memberikan kontribusi, maka kita dapat menjumlahkan semua semua spin yang berlabel s ,
1
s ,
2
s ,
3
s .
1 2
3
2 4
2 1
1 2
3 3
2 2
2 2
2 2
, , ,
4
u
bu q d
L R
L R
s s s s W
W W
V V g
P P
u P
P u
p M
M
ν ν
υγ υ
υ γ υ
γ υ
υ γ
= −
+ Γ
∑
3.12 Maka dengan menggunakan trik yang terdapat pada lampiran E.9 diperoleh,
1
1 1 1
1 s
k m
υ υ = −
∑
3.13
3
3 3
3 3
s
k m
υ υ = −
∑
3.14 Massa dapat diabaikan karena batas energi tinggi. Sehingga persamaan 3.12 menjadi,
1 2
2 4
2 1
2 3
2 2
2 2
2 2
,
4
u
bu q d
L R
L R
s s W
W W
V V g
P k P u
P k P u
p M
M
ν ν
υγ γ υ
γ γ
= −
+ Γ
∑
3.15 Kemudian kita sederhanakan persamaan diatas dengan mengeliminasi matriks
proyeksi menggunakan ketentuan,
1 1
1 L
R R
R R
P k P k P P
k P =
= 3.16
3 3
3 L
R R
R R
P k P k P P
k P =
= 3.17
Sehingga persamaan 3.15 menjadi,
1 2
2 4
2 1
2 3
2 2
2 2
2 2
,
4
u
bu q d
R R
s s W
W W
V V g
k P u
k P u
p M
M
ν ν
υγ γ υ
γ γ
= −
+Γ
∑
3.18
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009. USU Repository © 2009
26 Langkah selanjutnya kita gunakan trik lain. Sebuah perkalian dot dari dua matriks
adalah sama dengan trace dari perkalian dua matriks itu dalam orde kebalikannya. Misalnya,
1 1 1 2
1 3 1 4
1 1
2 1 2
2 2
3 2
4 2
2 1
2 3
4 1
2 3
4 3 1
3 2
3 3 3
4 3
3 4 1
4 2
4 3
4 4
4 4
Tr Tr
b a b a
b a b a
b b
b a b a
b a b a
b b
a a
a a
a a
a a
b a b a
b a b a
b b
b a b a
b a b a
b b
= =
3.19
Dengan menggunakan trik ini untuk tiap-tiap ekspansi dalam tanda kurung pada persamaan 3.18, kita pindahkan spinor yang berada didepan ke belakang sehingga
menjadi sebuah trace.
1 1
Tr
R R
k P k P
ν ν
υγ γ υ
γ γ υυ
=
3.20
2 3
2 3
2 2
Tr
R R
u k P
u k P
u u
ν ν
γ γ
γ γ
=
3.21 Sehingga persamaannya berubah menjadi,
1 2
2 4
2 1
3 2
2 2
2 2
2 2
,
Tr Tr
4
u
bu q d
R R
s s W
W W
V V g
k P k P
u u p
M M
ν ν
γ γ υυ
γ γ
=
−
+ Γ
∑
3.22
Kemudian lakukan penjumlahan terhadap
1
s dan
2
s dengan menggunakan trik biasa seperti pada persamaan 3.13 dan 3.14. Sehingga diperoleh,
2 4
2 1
3 2
2 2
2 2
2
Tr Tr
4
u
bu q d
R R
W W
W
V V g
k P p
k P k
p M
M
ν ν
γ γ
γ γ
=
−
+ Γ
3.23 Langkah selanjutnya adalah mengevaluasi trace yang tersisa. Kita mempunyai trace
suku kedua lalu kita pecah menjadi dua suku,
5 3
2 3
2
1 Tr
Tr 2
R
k P k
k k
ν ν
γ γ
γ γ
γ
+
=
3 2
3 2
5
1 1
Tr Tr
2 2
k k
k k
ν ν
γ γ
γ γ
γ
=
+
3.24
Untuk suku kedua pada persamaan 3.24 diatas, kita menggunakan keadaan bahwa
5
γ adalah anti komutatif dengan semua matriks gamma. Dengan menggunakan sifat- sifat matriks gamma dan teorema trace yang terdapat pada lampiran maka diperoleh,
3 2
5 3
2 5
Tr Tr
k k
k k
α β
ν α
ν β
γ γ
γ γ γ γ γ γ
=
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009. USU Repository © 2009
27
3 2
4 k k
i
α β
ανβ
= ǫ
3.25 Dimana
ανβ
ǫ adalah tensor Levi-Civita antisimetrik total yang didefenisikan dalam
lampiran D.9. Sedangkan untuk suku yang pertama juga bisa kita hitung,
3 2
3 2
Tr Tr
k k
k k
α β
ν α
ν β
γ γ
γ γ γ γ
=
3 2
4 4
4 k k
g g g g
g g
α β
α νβ
ν αβ
β αν
= −
+
3 2
3 2
2 3
4 4
4 k k
g k k
k k
ν ν
ν
= −
⋅ +
3.26 Sehingga dengan menggabungkan persamaan 3.25 dan persamaan 3.26 diatas, kita
peroleh nilai trace suku kedua pada persamaan 3.23,
3 2
3 2
3 2
2 3
3 2
Tr 2
R
k P k
k k g
k k k k
ik k
α β
ν ν
ν ν
ανβ
γ γ
= −
⋅ +
+
ǫ
3.27 Dengan cara yang sama kita dapatkan bentuk trace suku yang pertama dari persamaan
3.23 yaitu,
1 1
1 1
1
Tr 2
R
k P p
k p g
k p
p k ik
ν ν
ν ν
ρνσ ρ
σ
γ γ
= −
⋅ +
+
p ǫ
3.28 Sekarang kita kalikan bersama kedua trace ini melibatkan indeks
dan ν . Sebagai
catatan bahwa perkalian silang yang hanya berisi satu tensor ǫ dapat dihilangkan. Hal ini dikarenakan tensor epsilon yang antisimetrik pada relasi dan ν , dimana bentuk
perkalian lainnya adalah simetrik. Perkalian kedua trace menghasilkan,
1 3
2 1
1 1
1
Tr Tr
4
R R
k P p
k P k
k p g
k p p k
ik
ν ν
ν ν
ρνσ ν
ρ σ
γ γ
γ γ
= −
⋅ +
+ ×
p ǫ
3 2
3 2
2 3
3 2
k k g
k k k k
ik k
α β
ν ν
ν ανβ
− ⋅
+ +
ǫ
1 3
2
16 k k p k
= ⋅
⋅ 3.29
Setelah kita selesai mengevaluasi semua trace yang tersisa, maka kita kembalikan hasil perkalian trace yang diperoleh ke persamaan 3.23. Maka diperoleh kuadrat
amplitudo invarian untuk proses yang kita tinjau,
2 4
2 1
3 2
2 2
2 2
2
4
u
bu q d
W W
W
g V V k k
p k p
M M
= ⋅
⋅ −
+ Γ
3.30
Setelah kita berhasil mereduksi persamaan kuadrat amplitudo invarian diatas menjadi lebih sederhana, langkah selanjutnya adalah kita kembali ke proses peluruhan
yang ditinjau sebelumnya. Seperti yang pernah dijelaskan diatas, bahwa proses
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009. USU Repository © 2009
28 peluruhan tingkat kuark
u
b d
q u → +
adalah merupakan proses peluruhan tiga benda seperti yang dibahas di subbab 2.4. Selanjutnya kita akan menghitung laju peluruhan
dari proses yang kita tinjau pada tingkat kuark dengan menggunakan persamaan- persamaan peluruhan tiga benda tersebut.
Kita terapkan diagram peluruhan tingkat kuark pada gambar 3.3 ke diagram peluruhan tiga benda pada gambar 2.1, dimana
b
M m
= sedang indeks 1,2, dan 3 dapat kita ganti
berturut-turut dengan u ,
u
q , dan d .
Kembali ke hasil yang kita peroleh pada persamaan 3.30, kita perlu sekali lagi mengevaluasi perkalian dot dari
1 3
k k ⋅
dan
2
p k ⋅
. Untuk itu, sekarang kita tinggal menentukan di dalam kerangka acuan mana kita mulai menghitung. Kita pilih
partikel induk
b
m sebagai acuannya, dimana
2
k berada pada sumbu-z. Sehingga,
, 0, 0, 0
b
p m
= 3.31
2
, 0, 0,
u u
q q
k E
E =
3.32 Maka,
2
u
b q
p k m E
⋅ = 3.33
Kemudian kita hitung
1 3
k k ⋅
dengan menggunakan hukum kekekalan momentum,
1 2
3
p k
k k
= + + 3.34
Sehingga kita dapatkan,
2 2
2 1
3 1
3 1
3
1 2
k k k
k k
k
⋅ =
+ −
−
2 2
2 2
1 3
1 2
p k
k k
= −
− −
2 2
2 2
2 2
1 3
1 2
2 p
k p k
k k
= +
− ⋅ −
−
2 2
2 2
1 3
1 2
2
u u
b q
b q
u d
k k m
m m E
m m
⋅ = +
− −
−
3.35
Nilai
b
m juga dapat langsung kita masukkan ke nilai p pada propagator Boson W.
Setelah kita berhasil mengevaluasi kinematikanya, maka sekarang kita telah memiliki hasil akhir dari perhitungan kuadrat kompleks amplitudo
2
, yaitu:
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009. USU Repository © 2009
29
2 4
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
u u
u u
bu q d
b q
b q
u d
b q
b W
W W
g V V m
m m E
m m
m E m
M M
= +
− −
−
−
+ Γ
3.36
3.3 Perhitungan Laju Peluruhan
Kategori