Dengan demikian penyelesaian kuadrat terkecil untuk adalah ̂yang dapat diperoleh melalui tahap pendiferensialkan
̂ ̂terhadap ̂, dan menyamakan dengan nol. Sehingga ditemukanlah
penyelesaian untuk mencari ̂, seperti persamaan 2.16.
̂ .
E. Koefisien Determinasi
Koefisien determinasi adalah koefisien yang menjelaskan
besarnya presentase variansi Y yang dapat dijelaskan dengan model. Koefisien determinasi dapat digunakan untuk menjelaskan kebaikan
model. Diberikan diagram Venn untuk memberikan gambaran mengenai konsep koefisien determinasi.
Gambar 2.2
Pada diagram venn di atas, lingkaran Y mewakili variansi dalam variabel bebas Y dan lingkaran X mewakili variansi dalam variabel
penjelas X. Irisan menunjukan bagian variansi yang dapat dijelaskan. Pada diagram Venn a adalah kondisi awal variansi. Diagram Venn b
menunjukan adanya irisan antara kedua lingkaran X dan Y tersebut. Hal ini menunjukan bahwa sebagian variansi dari Y dapat dijelaskan oleh variansi
X . Semakin besar irisan yang ditunjukan pada diagram Venn c, d, e
semakin besar pula variansi Y yang dijelaskan oleh variansi X. Ketika lingkaran Y dan lingkaran X itu berhimpit seperti tampak pada diagram
Venn f, hal ini menunjukan bahwa 100 persen dari variansi Y dapat dijelaskan oleh variansi X.
semata-mata merupakan ukuran dari irisan antara variansi Y dan variansi X. Pada gambar diagram Venn menunjukan
bahwa irisan antara variansi Y dan variansi X meningkat, ini berarti meningkat pula proporsi variansi Y yang dapat dijelaskan oleh X. Ketika
lingkaran Y dan lingkaran X berhimpit, dapat dikatakan bahwa nilai , karena 100 persen dari variansi Y dapat dijelaskan oleh X.
Sebaliknya, ketika lingkaran Y dan lingkaran X tidak berhimpit dan tidak beririsan, dapat dikatakan
, artinya variansi Y tidak dapat dijelaskan oleh X.
Dengan demikian, untuk menghitung dapat menggunakan
persamaan 2.3 dan 2.4 sehingga dapat ditulis ̂
̂ 2.26
Sebelumnya, akan ditunjukkan bahwa ∑
̂ ̂ dan diberikan
bahwa ̂
̂ ,
∑ ̂
̂ ∑ ̂
̂ ̂ ∑
̂
̂ ∑ ̂
̂ ∑ ̂
̂ ∑ ̂ ∑
̂ ̂
̂ ∑ ̂
∑ ̂
∑ ̂
∑ 2.27
Diketahui bahwa ̅
̂ ̂ ̅ 2.28
Selanjutnya dengan model 2.29
didapatkan persamaan baru melalui cara mengurangkan persamaan 2.29 dan 2.28
̅ ̂
̅
Sehingga dapat diduga dengan
̂ ̂
Dengan mengkuadratkan dan menjumlahkan persamaan 2.26, maka didapatkan persamaan sebagai berikut
∑ ∑
̂ ̂
∑ ∑
̂ ̂
∑ ̂
∑ ̂
̂ ∑ ̂
∑ ̂
∑ ̂
̂ ∑ ̂
∑ ̂
∑ ̂
2.30 Berbagai jumlah kuadrat yang muncul dalam persamaan 2.30
dapat digambarkan sebagai berikut: 1.
∑ ∑
̅ yang disebut sebagai jumlah kuadrat total TSS
2. ∑
̂ yang disebut sebagai jumlah kuadrat dari regresi atau jumlah
kuadrat yang dapat dijelaskan oleh regresi ESS dan 3.
∑ ̂
yang disebut jumlah kuadrat galat RSS Dengan kata lain, persamaaan 2.30 dapat ditulis ulang menjadi
TSS = ESS + RSS 2.31
Definisi 2.17
Koefisien determinasi didefinisikan sebagai: 2.32
Dalam kasus dua variabel, ̂
∑ ∑
Dalam kasus tiga variabel, ̂ ∑
̂ ∑ ∑
Dengan menggeneralisasikan, kita mendapatkan untuk kasus k-variabel ̂ ∑
̂ ∑ ̂ ∑
∑
∑ ∑
̅ ∑
∑ ̅ ∑
̅ ̅
̂ ∑ ̂ ∑
̂ ∑ ̂
̅ Dalam notasi matriks
dapat ditulis menjadi ̂
̅ ̅
F. Asumsi-asumsi dalam Regresi
