Variansi dan Kovariansi Variabel Acak

BAB II LANDASAN TEORI

A. Variansi dan Kovariansi Variabel Acak

Pada Subbab ini akan dibahas konsep-konsep statistika yang akan digunakan untuk analisis regresi. Definisi 2.1 Definisi Probabilitas Variabel Random Diskrit Probabilitas Y bernilai y, PY = y didefinisikan sebagai jumlahan probabilitas dari semua titik sampel di S yang bernilai y, dapat ditulis P Y = y sebagai py. Definisi 2.2 Misal Y adalah variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas p y. Maka nilai harapan dari Y, EY didefinisikan menjadi ∑ Teorema 2.3 Untuk setiap distribusi probabilitas diskrit: 1. 2. ∑ , dengan asumsi seluruh nilai y memiliki probabilitas tak nol. Teorema 2.4 Misal Y adalah variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas py dan gY adalah fungsi bilangan real dari Y. Maka nilai harapan dari gY adalah ∑ Bukti: Teorema ini akan dibuktikan dengan cara mengambil variabel acak Y berhingga dengan nilai . Karena gy mungkin bukanlah fungsi satu-satu, andaikan gY bernilai dengan m ≤ n. Mengikuti Definisi 2.1 variabel acak gY untuk setiap i =1,2, ... ,m dapat ditulis ∑ Maka, dengan menggunakan Definisi 2.2 persamaan dapat ditulis menjadi ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Teorema 2.5 Misal Y adalah variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas py dan c adalah konstanta. Maka . Bukti : Mengikuti fungsi karena Teorema 2.4 ∑ ∑ Karena ∑ Teorema 2.3 maka . Teorema 2.6 Misal Y adalah variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas p y, gY adalah fungsi dari Y, dan c adalah konstanta. Maka . Bukti dengan menggunakan Teorema 2.4 ∑ ∑ Teorema 2.7 Misal Y adalah variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas py dan adalah k fungsi dari Y. Maka Bukti dengan menggunakan Teorema 2.4 ∑ ∑ ∑ ∑ Definisi 2.8 Misal adalah fungsi variabel random diskrit , , memiliki fungsi probabilitas bersama maka nilai harapan dari adalah ∑ ∑ ∑ Jika adalah variabel random kontinu dengan fungsi densitas bersama , maka ∫ ∫ ∫ Teorema 2.9 Misal g adalah fungsi variabel acak dan c adalah bilangan konsta. maka . Bukti dengan menggunakan Definisi 2.8 ∑ ∑ ∑ Teorema 2.10 Misal adalah variabel acak dan adalah fungsi dari . Maka Bukti : ∑ ∑ ∑ ∑ Definisi 2.11 Jika adalah variabel random dengan rata-rata , maka variansi dari variabel random adalah Standar deviasi dari adalah akar kuadrat dari . Definisi 2.12 Jika adalah variabel random dengan rata-rata , maka covariansi dari adalah = E Teorema 2.13 Jika adalah variabel random dengan rata-rata , maka = Bukti: = E = E Dengan menggunakan Teorema 2.9 dan Teorema 2.10 didapat persamaan = Karena = dan = maka = = = Teorema 2.14 Misal dan adalah variabel acak diskrit dengan dan didefinisikan ∑ dan ∑ untuk setiap konstanta dan . Maka: a. ∑ b. ∑ ∑ ∑ , Dimana ∑ ∑ adalah semua pasangan i,j dengan ij. c. ∑ ∑ Bukti: Teorema terdiri atas tiga bagian, dimana a secara langsung mengikuti Teorema 2.9 dan Teorema 2.10 . untuk membuktikan b, kita menggunakan Definisi 2.11 ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Dengan menggunakan definisi variansi dan kovariansi didapat persamaan ∑ ∑ ∑ Karena = , maka ∑ ∑ ∑ Bukti untuk c akan di tunjukkan dengan cara serupa. = E { } = { ∑ ∑ ∑ ∑ } = E { ∑ [∑ ]} = E [∑ ∑ ] = ∑ ∑ [ ] = ∑ ∑ Dari bukti di atas dapat disimpulkan bahwa = , ini berarti b adalah kasus khusus dari c.

B. Analisis Regresi